目標(biāo)導(dǎo)航
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 確定圓的條件
確定圓的條件：不在同一直線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。
外心概念：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，改圓稱為該三角形的外接圓，三角形稱為圓的內(nèi)接三角形。
外接圓的圓心稱為三角形的外心，是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。
掌握過(guò)不在同一直線上三點(diǎn)作圓的尺規(guī)作圖方法。
【微點(diǎn)撥】
1.定理： 不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．
2.三角形的外接圓．
3.定義：經(jīng)過(guò)三角形各項(xiàng)點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，
4.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形
5.三角形的外心:
三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心；
三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)；
三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．
【即學(xué)即練1】下列命題正確的是（ ）
A．兩點(diǎn)之間，直線最短
B．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和
C．不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓
D．一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)線段平行且相等
【答案】C
【解析】解：A．兩點(diǎn)之間，線段最短，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B．多邊形的外角和是360°，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C．不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故選項(xiàng)正確，符合題意；
D．一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)線段平行或者在同一條直線上，并且相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
【即學(xué)即練2】如圖，⊙是的外接圓，則點(diǎn)是的（ ）
A．三條高線的交點(diǎn)B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
C．三條中線的交點(diǎn)D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)
【答案】B
【解析】∵⊙O是三角形的外接圓，
∴點(diǎn)O是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn).
故選：B.
能力拓展
考法01 三角形的外接圓
【典例1】下列命題中，是真命題的是（ ）
A．三角形的外心是三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)
B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
C．連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形
D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形
【答案】D
【解析】解：A．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，故為假命題，不符合題意；
B．在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故為假命題，不符合題意；
C．對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)連線所得四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形，故為假命題，不符合題意；
D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，為真命題，符合題意．
故選D．
考法02 尺規(guī)作圖：三角形的外接圓
【典例2】如圖，已知，用尺規(guī)按照下面步驟操作：
①作線段的垂直平分線；②作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；③以為圓心，長(zhǎng)為半徑作．
結(jié)論Ⅰ：點(diǎn)是的內(nèi)心．
結(jié)論Ⅱ：．
對(duì)于結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ，下列判斷正確的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都對(duì)B．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì)C．Ⅰ不對(duì)Ⅱ?qū)．Ⅰ對(duì)Ⅱ不對(duì)
【答案】B
【解析】由作圖可知，點(diǎn)O為三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，因此點(diǎn)O為三角形的外心，與不一定相等，所以結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ都不對(duì)，故B正確．
故選：B．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．下列判斷中正確的是（ ）
A．平分弦的直徑垂直于弦B．垂直于弦的直線平分弦所對(duì)的弧
C．平分弧的直徑平分弧所對(duì)的的弦D．三點(diǎn)確定一個(gè)圓
【答案】C
【解析】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、平分弧的直徑平分弧所對(duì)的的弦，故選項(xiàng)正確；
D、不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C．
2．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．已知圓心和半徑可以作一個(gè)圓
B．經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)A的圓能做無(wú)數(shù)個(gè)
C．經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A，B的圓能做兩個(gè)
D．經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C只能做一個(gè)圓
【答案】C
【解析】解：A. 已知圓心和半徑可以作一個(gè)圓，正確，不符合題意；
B. 經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)A的圓能做無(wú)數(shù)個(gè)，正確，不符合題意；
C. 經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A，B的圓能做無(wú)數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤，符合題意；
D. 經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C只能做一個(gè)圓，正確，不符合題意；
故選：C．
3．小明家的圓形玻璃打碎了，其中三塊碎片如圖所示，為了配到與原來(lái)大小一樣的圓形玻璃，小明應(yīng)帶到商店去的一塊碎片是（ ）
A．①B．②C．③D．均不可能
【答案】A
【解析】第①塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長(zhǎng)．
故選：A．
4．Rt△ABC的外接圓⊙O的半徑r＝5cm，則斜邊AB的長(zhǎng)是（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
【答案】A
【解析】解：∴Rt△ABC的外接圓⊙O的半徑r＝5cm，
∴斜邊AB＝2r＝10cm，
故選：A．
5．?ABC的三邊長(zhǎng)分別為6,8,10，則?ABC的外接圓的半徑為 _______ .
【答案】5
【解析】解：∵62＋82=102
∴?ABC是直角三角形，
∴?ABC的外接圓的半徑=斜邊=5
故答案為5.
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作一圓弧，則該弧所在圓的圓心坐標(biāo)為________．
【答案】（2，0）
【解析】解：如圖所示：D（2，0），
故答案為：（2，0）．
7．已知：，求作的外接圓，作法：①分別作線段BC，AC的垂直平分線EF和MN，它們交于點(diǎn)O；②以點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑畫弧，如圖⊙O即為所求，以上作圖用到的數(shù)學(xué)依據(jù)是___________________．
【答案】線段的垂直平分線的性質(zhì)
【解析】解：如圖，連接，
∵點(diǎn)O為AC和BC的垂直平分線的交點(diǎn)，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O為的外接圓．
故答案為：線段的垂直平分線的性質(zhì)．
8．已知△ABC 的一邊長(zhǎng)為 10，另兩邊長(zhǎng)分別是方程 x2 ? 14 x ? 48 ? 0 的兩個(gè)根若用一圓形紙片將此三角形完全覆蓋，則該圓形紙片的最小半徑是_______________．
【答案】5
【解析】解：解方程x2-14x+48=0得：x1=6，x2=8，
即△ABC的三邊長(zhǎng)為AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=62+82=100，AB2=100，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°
∵若用一圓形紙片將此三角形完全覆蓋，
則該圓形紙片正好是△ABC的外接圓，
∴△ABC的外接圓的半徑是AB=5，
故答案為5．
題組B 能力提升練
1．下列各命題中，真命題是（ ）
A．兩點(diǎn)之間，射線最短B．不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓
C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形D．三角形的外心是三角形三條高的交點(diǎn)
【答案】B
【解析】解：A、兩點(diǎn)之間線段最短，故該項(xiàng)不是真命題；
B、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故該項(xiàng)是真命題；
C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故該項(xiàng)不是真命題；
D、三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故該項(xiàng)不是真命題；
故選：B．
2．下列命題是真命題的是（ ）
A．內(nèi)錯(cuò)角相等B．四邊形的外角和為180°
C．等腰三角形兩腰上高相等D．平面內(nèi)任意三點(diǎn)都可以在同一個(gè)圓上
【答案】C
【解析】解：A、內(nèi)錯(cuò)角不一定相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
B、四邊形的外角和為360°，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
C、等腰三角形兩腰上高相等，故原命題正確，是真命題，符合題意；
D、平面內(nèi)不在同一條直線的三點(diǎn)可以在同一個(gè)圓上，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．
故選C．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（3，﹣1）B．（3，﹣2）C．（3，﹣3）D．（3，﹣4）
【答案】B
【解析】解：∵M(jìn)為Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，
∴點(diǎn)M為AC中點(diǎn)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），
設(shè)點(diǎn)C橫坐標(biāo)為（x,y）,
∴，
解得x=-5，y=-2，
∴點(diǎn)C（-5，-2），
∵AB⊥x軸，
∴點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)相同都是3，
∵∠ABC＝90°，
∴BC∥x軸，
∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)相同都是-2，
∴點(diǎn)B（3，-2）．
故選：B．
4．如圖所示，在的網(wǎng)格中，A、B、D、O均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)O是△ABD的（ ）
A．外心B．重心C．中心D．內(nèi)心
【答案】A
【解析】解：∵
∴O是△ABD的外心
故選A
5．三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4，第三邊的長(zhǎng)是方程的根，則該三角形外接圓的半徑為______．
【答案】
【解析】解：，
，
解得，
當(dāng)時(shí)，不能構(gòu)成三角形；
當(dāng)時(shí)，，
這個(gè)三角形是斜邊為5的直角三角形，
該三角形外接圓的半徑為，
故答案為：．
6．如圖，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，C的距離均等于a（a為常數(shù)）．那么常數(shù)a的值等于________．
【答案】5
【解析】解：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，
即可知道點(diǎn)到點(diǎn)A，B，C的距離相等，
如下圖：
，
，
故答案是：5．
7．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以做______個(gè)圓，不在同一直線的______個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．
【答案】 無(wú)數(shù) 三
【解析】解：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以做無(wú)數(shù)個(gè)圓，
不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，
故答案為：無(wú)數(shù)，三．
8．在平面直角坐標(biāo)系中有，，三點(diǎn)，，，．現(xiàn)在要畫一個(gè)圓同時(shí)經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)，則圓心坐標(biāo)為_______．
【答案】(2，0)【解析】∵，，
∴AB的垂直平分線為
設(shè)圓心為
∵點(diǎn)O也在BC的垂直平分線上，
∴
根據(jù)勾股定理得

解得
∴圓心坐標(biāo)為
故答案為：(2，0)．
9．請(qǐng)用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：一個(gè)⊙O，使⊙O與AB、BC所在直線都相切，且圓心O在邊AC上．
【答案】見解析
【解析】解：作∠ABC的平分線交AC于O點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OC為半徑作圓，則為所求作的圓．
10．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在以BC為直徑的半圓內(nèi)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留作圖痕跡）
（1）在圖①中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在圖②中過(guò)點(diǎn)A作線段BC的中垂線．
【答案】（1）如圖①中，線段EF即為所求．見解析；（2）如圖②中，直線AG即為所求．見解析.
【解析】解：（1）如圖①中，線段EF即為所求．
（2）如圖②中，直線AG即為所求．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，點(diǎn)E在AB上，=，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得∠BPE=60°，則線段PD的最小值為（ ）
A．4B．2C．2-2D．2-4
【答案】C
【解析】解：∵AB=，=，
∴，，
如圖，以 BE為邊在矩形內(nèi)作等邊三角形 BEF，再作等邊三角形BEF的外接⊙O，則點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)，連接OD，交⊙O于點(diǎn)M，則當(dāng)點(diǎn) P與點(diǎn)M重合時(shí)， PD最短，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)C， 作 OH⊥AB 于點(diǎn)H，連接OB，
∵ △BEF為等邊三角形，⊙O為其外接圓，
∴OH垂直平分BE，
∴∠OBH=30°，，
∴OH=，，
∴DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=，
在Rt△DOG中，，
∴，
故選：C．
2．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟：（1）分別以B、C為圓心，大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交M、N；（2）作直線MN，交AB于D，連結(jié)CD，若CD＝AD，∠B＝20°，則下列結(jié)論：①∠ADC＝40°②∠ACD＝70°③點(diǎn)D為△ABC的外心④∠ACD＝90°，正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】B
【解析】由題意可知，直線MN是線段BC的垂直平分線，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠CBD＝40°，故A選項(xiàng)正確；
又∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠ACD＝70°，故B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵AD＝CD，BD＝CD，
∴AD＝BD，即D是AB的中點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確；
故選B．
3．過(guò)A，B，C三點(diǎn)能確定一個(gè)圓的條件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①②B．①②③C．②③D．①③
【答案】C
【解析】經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定圓，能構(gòu)成三角形的三點(diǎn)一定可以確定一個(gè)圓,因?yàn)橹挥蠧選項(xiàng)中的三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，故選C.
4．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C同時(shí)也在上，若點(diǎn)P是的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是______．
【答案】
【解析】解：連接AC，確定弧AB所在圓的圓心O的位置，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，
由圖可知，
∴，
∴，
∵要使△APB的面積最大，即點(diǎn)P到AB的距離要最大，
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E的位置時(shí)，三角形APB的面積最大，
∴此時(shí)，
故答案為：．
5．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，并且在同一個(gè)圓上，取格點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)．
（Ⅰ）四邊形外接圓的半徑為__________．
（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺畫出線段，使平分，且點(diǎn)在圓上，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）__________．
【答案】 取格點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接即為所求．
【解析】解：（Ⅰ）四邊形ABCD外接圓的圓心位于格點(diǎn)O的位置，連接OA，OB，OC，OD，
由題意可得OA=OB=OC=OD=
故答案為：
（Ⅱ）取格點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，
由格點(diǎn)特征結(jié)合四邊形外接圓的半徑可得△EFK≌△ODG，
∴∠OGD=∠EKF=90°，即OP⊥CD
∴點(diǎn)P是的中點(diǎn)
∴∠CAP=∠DAP
∴即為所求
6．如圖，點(diǎn)是外心，，是的中點(diǎn)，
（1）連接，則______；
（2）若，是邊上的高，則的大小為______．
【答案】 30° 23°
【解析】解：（1）如圖1，連接OC，
點(diǎn)是外心，
OA=OB=OC，
，，，
，，
．
故答案為：30°；
（2）如圖2，連接OC，
OB=OC，是的中點(diǎn)，
=30°，，，
=90°-30°=60°，
，
，，，，，
，
，
是邊上的高，
．
故答案為：23°．
7．如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，，，相交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若．
①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
②當(dāng)?shù)耐庑脑谄鋬?nèi)部時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)① ；②
【分析】(1)證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
(2)解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②．
∵的外心在其內(nèi)部，
∴為銳角三角形，
∴，，
∴．
8．如圖，方格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是單位1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖．
（1）將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；
（2）直接寫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱圖形的△A2B2C2的點(diǎn)C2的坐標(biāo)（ ）
（2）畫出△ABC的外接圓圓D，（用適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业綀A心），并寫出其圓心點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】（1）畫圖見解析，A1（0，-4），B1（3，-3），C1（3，-1）；（2）（1，3）；（3）圓D見解析，D（-2，-1）
【解析】解：（1）△A1B1C1如圖所示．A1（0，-4），B1（3，-3），C1（3，-1）．
（2）∵C（-1，-3），
∴關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱圖形的點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（1，3）；
（3）△ABC的外接圓如圖所示，
圓心D的坐標(biāo)為（-2，-1）．
9．中國(guó)清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學(xué)教科書用器畫》由國(guó)人自編（圖1），書中記載了大量幾何作圖題，所有內(nèi)容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：
(1)根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)根據(jù)（1）完成的圖，直接寫出，，的大小關(guān)系．
【答案】(1)見解析
(2)
【解析】(1)解：（1）如圖：
(2)．
理由：連接DF，EG如圖所示
則BD=BF=DF，BE=BG=EG
即和均為等邊三角形
∴
∵
∴
課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
能用尺規(guī)作圖過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓作三角形的外接圓
1.了解“不在同一條直線上三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的定理及掌握它的作圖方法。
2.理解不在同一條直線上得三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，掌握過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓的方法，了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念。
原文
釋義
甲乙丙為定直角．
以乙為圓心，以任何半徑作丁戊??；
以丁為圓心，以乙丁為半徑畫弧得交點(diǎn)己；
再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交點(diǎn)庚；
乙與己及庚相連作線．
如圖2，為直角．
以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線，分別于點(diǎn)，；
以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧與交于點(diǎn)；
再以點(diǎn)為圓心，仍以長(zhǎng)為半徑畫弧與交于點(diǎn)；
作射線，．

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