初中蘇科版3.1 勾股定理測試題

這是一份初中蘇科版3.1 勾股定理測試題，共25頁。試卷主要包含了填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、填空題
1．如圖，已知∠ABP＝30°，AB＝2 cm，點P為∠ABC的邊BC上一動點，則當(dāng)BP＝_______cm時，△BAP為直角三角形．
2．如圖，在矩形ABCD中，，，點E是BC邊上的一個動點，將沿DE折疊，使點C落在點C′處，連接、，當(dāng)為直角三角形時，折痕DE的長為________．
3．如圖，已知∠B=45°，AB=2cm，點P為∠ABC的邊BC上一動點，則當(dāng)BP=_________cm時，△BAP為直角三角形．
4．如圖，在中，，，是邊上的一個動點，點與點關(guān)于直線對稱，當(dāng)為直角三角形時，則的長為______.
5．如圖，在中，，，，點，分別是邊，上的動點，沿所在的直線折疊，使點的對應(yīng)點始終落在邊上，若為直角三角形，則的長為__________
6．如圖，已知為等腰直角三角形，，點在上，，為邊上的動點，則周長的最小值是________．
7．如圖所示，矩形中，，，點E是線段上的一個動點（點E與點A不重合），沿折疊，使點A落在P處，連接，若是直角三角形，則的最小值為________．
8．如圖，在矩形中，，點是邊上（不與、重合）一個動點，連接，把沿直線折疊，點落在點處，當(dāng) 為直角三角形時，則 的周長為________．
9．如圖，在矩形中，，點E為射線上的一個動點，若與關(guān)于直線對稱，當(dāng)為直角三角形時，的長為________．
10．如圖，在中，，，點為的中點，點為邊上一動點，連接．將沿折疊，點的對應(yīng)點為點．若為直角三角形，則的長為______．
11．如圖，在中，，，，點D是AC上一動點，連接BD，將沿BD折疊，點C落在點處，連接，當(dāng)是直角三角形時，CD的長為________．
12．如圖，在中，，點是的中點，點是邊上一動點，沿所在直線把翻折到的位置，交邊于點，若為直角三角形，則的長為_____________．
13．如圖，矩形中，，點E為上一個動點，把沿折疊，點D的對應(yīng)點為，連接，當(dāng)是直角三角形時，的長為________．
14．如圖，在矩形中，，點E為邊AD上一動點，連接BE，把沿BE折疊，使點落在點處，當(dāng)是直角三角形時，AE的長為__________．
15．如圖，在矩形中，，點是上一個動點，連接，將沿折疊，點落在點處，連接，若是直角三角形，則的長為___________．
16．如圖，在中，，，點是線段延長線上的一個動點，，則當(dāng)為直角三角形時，的長為______．
17．如圖，在中，，，點P是上的一個動點，連接，點Q在上（不與點B、P重合），連接、，若為直角三角形，則的最小值為________．

18．如圖，矩形中，，點為邊上一動點，連接，把沿折疊，使點落在點處，當(dāng)是直角三角形時，則的長為____．

19．如圖，已知∠AON=30°，OA=6，點P是射線ON上一動點，當(dāng)△AOP為直角三角形時，OP=_________
20．在矩形中，，，點為線段上一個動點，把沿折疊，使點落在點處，當(dāng)為直角三角形時，的長為_________．
21．如圖，點C為直線l上的一個動點，于D點，于E點，，，當(dāng)長為________________為直角三角形．
22．如圖，在中，，，點是邊上的動點，設(shè)，當(dāng)為直角三角形時，的值是__________.
23．如圖，長方形中，，，點為射線上的一個動點，若與關(guān)于直線對稱，若為直角三角形，則的長為______．
24．如圖，ABCD是長方形紙片，，，點E是邊BC上的動點，將沿直線AE折疊，點B落在點位置，則當(dāng)恰為直角三角形時，BE的長等于_______．

25．如圖，在正方形中，，點是線段上的動點，將沿直線翻折，得到，點是上一點，且，連接，，當(dāng)?shù)拈L為______時，是直角三角形．
26．如圖，在中，，，，點是邊上一動點，連接，與關(guān)于直線對稱，點是的中點，連接，當(dāng)是直角三角形時，的長為____．

27．如圖，在矩形中，，，點為邊上一動點，連接，把沿折疊，使點落在點處，當(dāng)是直角三角形時，的長為__________．

二、解答題
28．如圖，，，，，是直線上一動點，請你探索：當(dāng)點離點多遠時，是一個以為斜邊的直角三角形？
參考答案
1．或
【分析】由于直角頂點不能確定，故應(yīng)分∠APB=90°與∠BAP=90°兩種情況進行分類討論．
解：當(dāng)∠APB=90°時，
∵∠B=30°，AB=2cm，
∴AP=1 cm，
∴BP===；
當(dāng)∠BAP=90°時，
∵∠B=30°，AB=2cm，
∴BP=2AP，AP=BP，
∴=
∴= 解得BP=.
故答案為：或.
【點撥】本題考查勾股定理的逆定理， 含30°角的直角三角形.
2．或
解：∵四邊形為矩形，，．
如解圖①，當(dāng)時，則，，
由折疊的性質(zhì)得，，
，，，，
在中，由勾股定理得，；
如解圖②，當(dāng)時，由折疊的性質(zhì)得，，
在中，由勾股定理得，，
，
設(shè)，則，，
在中，由勾股定理得，，
解得．在中，
由勾股定理得，．
綜上所述，當(dāng)為直角三角形時，折痕的長為或．

【思維教練】
要求折痕DE的長，當(dāng)為直角三角形時，分和兩種情況，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理計算即可．
3．或．
【分析】分BP為直角邊或斜邊來討論，借助勾股定理逐一解析，即可解決問題．
解：若BP為三角形的直角邊，則AB為該三角形的斜邊；
∵∠B＝45°，
∴∠BAP＝90°?45°＝45°，
∴AP＝BP，
設(shè)，
由勾股定理得：
，而AB＝2，
∴，
∴，
若BP為斜邊，則∠BAP＝90°；
∵∠B＝45°，
∴∠APB＝90°?45°＝45°，
∴∠B＝∠APB，
∴AP＝AB＝2；由勾股定理得：
∴BP＝．
故答案為：或．
【點撥】該題主要考查了等腰三角形的判定、勾股定理等幾何知識點的應(yīng)用問題；借助分類討論，靈活運用勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理活解答是解題的關(guān)鍵．
4．7或17
【分析】過點C作CF⊥AB于F，分當(dāng)點在上時和當(dāng)點在上時兩種情況，分情況進行討論即可得出答案.
解：過點C作CF⊥AB于F，
∵
∴
在 中，由勾股定理得
①如圖1，當(dāng)點在上時
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
②如圖2，當(dāng)點在上時
∵，
∴.
∴.
∴.
故答案為7或17
【點撥】本題主要考查勾股定理及軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
5．或
【分析】先依據(jù)勾股定理求得的長，有和種情況，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．
解：由翻折的性質(zhì)可知：．
在中，，，，
依據(jù)勾股定理可得到：．
設(shè)，則．
當(dāng)時，，即，解得：．
當(dāng)時，，即，解得：．
綜上所述，的長為或．
故答案為：或．
【點撥】本題主要考查的是翻折變換，銳角三角函數(shù)的定義，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．
6．12
解：如解圖，作點關(guān)于的對稱點，連接交于，即為所求點，再連接，∵為等腰直角三角形，點關(guān)于的對稱點為，∴，，∵，，∴，∴，∴周長的最小值為：．
7．
解：根據(jù)題意可知，當(dāng)是直角三角形時，的延長線過，連接，過作的垂線交于點．
沿折疊，使點落在處，
∴，
令，
∴，，
∴，
根據(jù)勾股定理可知：．
在中，，
∴，
∴，
∴．
8．或
【分析】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，分兩種情況討論，由勾股定理可求的長，即可求的周長．
解：∵四邊形是矩形，
∴ ，．
∵把沿直線折疊，
∴，，．
若，且，
∴四邊形是矩形，且，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴
∴的周長；
若，且
∴，
∴，，三點共線．
在中，，
∴的周長，
故答案為：或．
【點撥】本題主要考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運用分類討論思想是解決問題的關(guān)鍵．
9．1或25
解：如解圖①，若點E在線段上，∵與關(guān)于直線對稱，∴，，∵為直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴點E、C、三點共線，在中，，∴，∴；如解圖②，當(dāng)點E在線段的延長線上，且點C在上時，∵與關(guān)于直線對稱，∴，在中，，∵，∴，∵，∴在和中，，∴，∴，∴．綜上所述，的長是1或25．

10．或7
【分析】分兩種情形：和，分別就這兩種情形求解即可．
解：①如圖1，當(dāng)時
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，，
∵
∴，，三點共線
∵D點是BC的中點
∴
∴
∴
∵，
∴
解得
②如圖2，當(dāng)時，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：
∴
∵
∴
∴
∴
③的情形不存在
綜上所述，的長為或7
故答案為或7．
【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識，關(guān)鍵是分類討論．
11．3或
解：在中，．①如解圖①，當(dāng)，由折疊可得，，，∴四邊形BCDC′是正方形，∴；②如解圖②，當(dāng)，由折疊可得，，，∴點A、B、三點共線，∴．設(shè)，則．在中，即，解得．∴．綜上所述，CD的長為3或．
12．或4
【分析】當(dāng)△為直角三角形時，需要分類討論，點，，分別為直角頂點時，畫出圖形求解即可．
解：在中，，，，點是的中點，
，，，
由折疊可知，，
①由點運動可知點不可能是直角頂點；
②如圖，當(dāng)點為直角頂點，即，
，
，，
，，
；
③如圖，當(dāng)點是直角頂點時，即，連接，
由題意可知△，
，
故答案為：或4．
【點撥】本題考查翻折變換、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
13．或2
解：如解圖①，當(dāng)點落在上時，，
此時是直角三角形，依題意，得，在中，
∵，
∴，
∴，設(shè)，則，，
在中，由勾股定理，得，
解得；
如解圖②，當(dāng)點落在以為直徑的半圓上時，，
此時是直角三角形．由題意易得，．
綜上所述，的長為或2．

14．4 cm或5 cm
解：沿折疊，使點落在點處，，，①當(dāng)時，如解圖①，，，，，，，；②當(dāng)時，則點落在上，如解圖②，設(shè)，則，，，∴在中，，，在中，，解得，即的長為．綜上所述，當(dāng)是直角三角形時，的長為或．

15．或
【分析】由題意可知∠ECF≠90°，故分兩種情況：①當(dāng)∠EFC＝90°時，②當(dāng)∠CEF＝90°時，分別利用折疊的性質(zhì)和勾股定理求出BE，即可得到CE的長．
解：由題意可知∠ECF≠90°，故分兩種情況：
①當(dāng)∠EFC＝90°時，如圖1，
∵∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，
∴A、F、C三點共線，
∵，
∴，
設(shè)BE＝x，則EF＝x，CE＝4－x，
∵AF＝AB＝3，
∴FC＝5－3＝2，
在Rt△CEF中，EF2+FC2＝CE2，
∴，
解得：，
∴CE＝4－x＝；
②當(dāng)∠CEF＝90°時，如圖2，
由折疊的性質(zhì)得：∠AEB＝∠AEF＝，
∴AB＝BE＝3，
∴CE＝4－3＝1，
綜上所述，的長為1或，
故答案為：1或．
【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，作出符合題意的圖形，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
16．或
【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)∠AMB＝90°時，②當(dāng)∠ABM＝90°時，分別根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)或勾股定理，進行計算求解即可．
解：如圖1，當(dāng)∠AMB＝90°時，
∵O是AB的中點，AB＝2，
∴OM＝OB＝1，
又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，
∴BOM是等邊三角形，
∴BM＝BO＝1，
∴RtABM中，AM＝＝；
如圖2，當(dāng)∠ABM＝90°時，

∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴MO＝2BO＝AB＝2，
∴RtBOM中，BM＝＝，
∴RtABM中，AM＝＝，
綜上所述，當(dāng)ABM為直角三角形時，AM的長為或．
故答案為：或．
【點撥】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線、等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，運用分類討論以及數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關(guān)鍵．
17．
解：由題知，在中，，∴，∴點Q在以為直徑的圓上．如答圖，設(shè)點Q所在圓的圓心為E，連接、．由三角形三邊關(guān)系可知，∴，∴當(dāng)A、Q、E三點共線時，有最小值，此時的最小值為．根據(jù)題意得，，∴，∴，即的最小值為．
18．4或5
解：如解圖①，當(dāng)時，連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，;如解圖②，當(dāng)時，則點落在上，連接，設(shè)，則，∴在中，，在中，根據(jù)勾股定理得，即，解得．綜上所述，當(dāng)是直角三角形時，的長為4或5．

19．或
【分析】分情況討論當(dāng)∠A為90°與∠APO為90°時，再直角三角形的性質(zhì)，利用勾股定理即可求得答案．
解：當(dāng)∠A=90°時
∵∠AON=30°，△AOP為直角三角形，
∴OP=2AP
由勾股定理可知OP2-AP2=AO2
∴3AP2=36
∴AP=
∴OP=
當(dāng)∠APO=90°時
∵∠AON=30°，△AOP為直角三角形，
∴AP=OA=3,
∴OP=
故答案為：或
【點撥】此題考查含30度角的直角三角形，勾股定理，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則.
20．或
【分析】分情況討論，當(dāng)點F落在AC上或點F落在BC上，第一種情況利用面積法列式求出DE的長，第二種情況利用勾股定理的方程思想列式求出DE的長．
解：如圖，若點F落在AC上，為直角三角形，
∵，，，
∴，
∵折疊，
∴，，
∵，
∴，
∴；
如圖，若點F落在BC上時，為直角三角形，
∵折疊，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案是：或．
【點撥】本題考查折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和勾股定理的方程思想．
21．3或2或．
【分析】作BF⊥AD于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BF=DE=4，DF=BE=1，根據(jù)勾股定理用CD表示出AC、BC，根據(jù)勾股定理的逆定理列式計算，得到答案．
解：作BF⊥AD于F，
則四邊形DEBF為矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，


當(dāng)△ABC為直角三角形時，
即
解得，CD=3，
如圖2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，當(dāng)∠ACB=90°時，
由勾股定理得，

由得：
解得：
同理可得：當(dāng)∠ABC=90°時，
綜上：的長為：3或2或．
故答案為：3或2或．
【點撥】本題考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么
22．或
【分析】分兩種情況討論：①∠APB=90°，②∠BAP=90°，分別作圖利用勾股定理即可解出．
解：①當(dāng)∠APB=90°時，如圖所示，
在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，
∴AP=AB=
∴BP=
②當(dāng)∠BAP=90°時，如圖所示，
在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，
∴，
即
解得
綜上所述，的值為或．
故答案為：或．
【點撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形中30度所對的直角邊是斜邊的一半．
23．2或18
【分析】分點在線段上，點在線段的延長線上兩種情況討論，由題意可得，，，，根據(jù)勾股定理和全等三角形的性質(zhì)，可求的長．
解：若點在線段上，
若與△關(guān)于直線對稱，
，，，
△為直角三角形，
，
，
，，
，
點，點，點共線，
在中，．
，
，
若點在線段的延長線上，且點在上，
若與△關(guān)于直線對稱，
，，
在△中，，
，，
，且，，
△，
，
，
故答案為：2或18．
【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵
24．3或6
【分析】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，，，分，兩種情況討論，由勾股定理可求的長，即可求的長．
解：四邊形是長方形，
，，，經(jīng)過折疊之后，
，，，
若，且，
四邊形是矩形，且，
四邊形是正方形，
，
若，且
，
點，點，點三點共線，
在△ABC中，，
，
在△B′EC中，，
，
故答案為：3或6.
【點撥】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
25．或
【分析】分兩種情況討論，利用直角三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理求解即可．
解：①當(dāng)E在AH的上方時，且∠AEH=90，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠AEP=∠D=90，AD=AE，DP=PE，
∴∠AEP=∠AEH=90，AD=AE=AB，
∴點P、E、H在同一直線上，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
，
∴Rt△ABHRt△AEH(HL)，
∴EH=BH=3，
設(shè)DP=x，則PC=8－x，HC=8-3=5， PH=PE+HE=x+3，
在Rt△CPH中，，即，
解得，即DP=；
②當(dāng)E在AH的下方時，且∠AEH=90，如圖：
此時，點E與點B重合，則點P與點C重合，
∴DP=；
綜上，當(dāng)DP的長為或時，是直角三角形．
故答案為：或．
【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
26．或4
解：由題意可得，，分兩種情況：如圖①，當(dāng)時，點，，在同一直線上，由對稱的性質(zhì)可得，，而，∴，設(shè)，則，過點作于點，則，∴，∵在中，，∴，解得；如圖②，當(dāng)時，點，，在同一直線上，同理可得，，設(shè)，則，過點作于點，則，∴，∵在中，，∴，解得．綜上所述，當(dāng)是直角三角形時，的長為或4．

27．或
解：沿折疊，使點落在點處，，，①當(dāng)時，如解圖①，，，，，，，；②當(dāng)時，則點落在上，如解圖②，設(shè)，則，，，∴在中，，，在中，，解得，即的長為，綜上所述，當(dāng)是直角三角形時，的長為或．

28．8cm
【分析】設(shè)BC=x，則CD=（34－x），根據(jù)勾股定理可得:AC2=AB2+BC2=62+x2，△ACD是以DC為斜邊的直角三角形，AD=24cm,根據(jù)勾股定理可得:AC2=CD2－AD2=（34－x）2－242，得到方程62+x2=（34－x）2－242，解方程即可求解．
解：設(shè)BC=xcm，則CD=（34﹣x）cm．
∵在△ABC中,∠ABC=90°，AB=6cm，
∴AC2=AB2+BC2=62+x2．
∵△ACD是以DC為斜邊的直角三角形，AD=24cm，
∴AC2=CD2﹣AD2=（34﹣x）2﹣242，
∴62+x2=（34﹣x）2﹣242，
解得x=8，
即BC=8cm．
【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)勾股定理表示出AC2，列出方程是解題關(guān)鍵．