第3章 圓的基本性質(zhì)（B卷?）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 評卷人得分  一、單選題1．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（　?。?/span>A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊2．下列說法正確的是（ ）A．直徑是弦，弦是直徑 B．過圓心的線段是直徑C．圓中最長的弦是直徑 D．直徑只有二條3．已知的半徑為5，點到圓心的距離為，如果點在圓內(nèi)，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．4．在⊙O中，圓心O到弦AB的距離為AB長度的一半，則弦AB所對圓心角的大小為（　?。?/span>A．30° B．45° C．60° D．90°5．往直徑為26cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示．若水面寬，則水的最大深度為（ ）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm6．如圖，在中，，，則的度數(shù)為（    ）A．10° B．20°C．30° D．40°7．如圖，是的直徑，四邊形內(nèi)接于，，則的度數(shù)是（    ）A． B． C． D．8．如圖，在中，，以為直徑的恰好經(jīng)過點B，交于點E，當(dāng)點E為的中點時，下列結(jié)論錯誤的是（    ）A．平分 B． C． D．的長為9．如圖，AB是的直徑，弦CD交AB于點P，，，，則CD的長為（    ）A． B． C． D．810．如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F，連接EF，則線段EF長度的最小值為（ ）A．2 B． C． D．3 評卷人得分  二、填空題11．圓內(nèi)接正五邊形中，每個外角的度數(shù)      度．12．為半圓的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點在半圓上，斜邊過點，一條直角邊交該半圓于點．若，則線段的長為      ．13．如圖，四邊形內(nèi)接于，延長交圓于點，連接.若， ，則          度.14．如圖，正方形ABCD的邊長為4，分別以各邊中點為圓心、邊長為直徑在正方形內(nèi)部畫圓，求陰影部分的面積     ．（結(jié)果保留π）15．如圖，在半徑為1的扇形AOB中，，點P是弧AB上任意一點（不與點A，B重合），，垂足分別為C，D，則CD的長為        ．16．如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為     ．  評卷人得分  三、解答題17．已知扇形的圓心角為，面積為，求扇形的弧長．18．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，OD∥AC．求證：點D平分．19．如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬5m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3.6m，求此貨船是否能順利通過拱橋？20．我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．如圖，將△ABC放在每個小正方形邊長為1的網(wǎng)格中，點A、B、C均落在格點上．（1）用無刻度直尺畫出△ABC的最小覆蓋圓的圓心（保留作圖痕跡）；（2）該最小覆蓋圓的半徑是 ．21．已知：如圖，是的直徑，點、在上，于，于，且，與相等嗎？為什么？22．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F．（1）若∠E=∠F時，求證：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°時，求∠A的度數(shù)；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大?。?/span>23．如圖，已知，為的直徑，過點作弦垂直于直徑于，點恰好為的中點，連接，．（1）求證：；（2）若，求的半徑；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．
參考答案：1．A【分析】要確定圓的大小需知道其半徑，根據(jù)垂徑定理知第一塊可確定半徑的大小【詳解】解：第一塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．故選：A．【點睛】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．2．C【詳解】解：A、直徑是弦，但弦不一定是直徑，不符合題意；B、過圓心的弦是直徑，但線段不一定是直徑，不符合題意；C、圓中最長的弦是直徑，符合題意；D、直徑有無數(shù)條，不符合題意，故選C．3．D【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進行判斷．【詳解】解：點在圓內(nèi)，且的半徑為5，，故選：D．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．4．D【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及垂徑定理得出∠BOC的度數(shù)進而求出．【詳解】解：如圖所示：連接BO，AO，∵圓心O到弦AB的距離為AB長度的一半，∴DO=DB，DO⊥AB，∴∠B=∠BOC=45°，則∠A=∠AOC=45°，∴∠AOB=90°．故選D．考點：垂徑定理；等腰直角三角形．5．C【分析】連接OA，作OD⊥AB，交AB于點C，交圓于點D，根據(jù)垂徑定理求得OC，利用圓的半徑求得CD即可.【詳解】如圖，連接OA，作OD⊥AB，交AB于點C，交圓于點D，∵AB=24，∴AC=12，∵OA=13，在直角三角形OAC中，OC==5，∴CD=OD-OC=13-5=8，故選C.【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，過圓心向弦作垂線構(gòu)造垂徑定理是解題的關(guān)鍵.6．B【分析】根據(jù)圓心角定理：等弧對等角，根據(jù)條件求出相應(yīng)角的角度，作適當(dāng)?shù)妮o助線，找到的關(guān)系，即得答案．【詳解】如圖，連接，，根據(jù)等弧對等角，，在中，，是等腰三角形，，同理在中，得出：，，故選：B．【點睛】本題主要考查了圓心角定理，在同圓或等圓中，相等的弧長對應(yīng)相等的圓心角，解題的關(guān)鍵是：理解并掌握定理，需要把所求角轉(zhuǎn)化為兩個角之差．7．B【分析】先利用圓周角性質(zhì)與∠BDC=20°，求出∠C，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可．【詳解】解∵CD為直徑，∴∠DBC=90o，∵∠BDC=20°，∴∠C=90°-∠BDC=90°-20°=70°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A=180°﹣∠C=180°﹣70°=110°，故選擇：B．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理可判斷A，根據(jù)扇形，面積公式和割補法可判斷B，根據(jù)圓周角定理可判斷C，根據(jù)弧長公式可判斷D．【詳解】解：A.∵點E為的中點，∴，∴∠1=∠2，∴平分，故A正確；C.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC//AD，∴∠2=∠3，∴，∵，∴，故C正確；B.連接OB，OE，作EH⊥OD，∵，∴∠AOB=∠BOE=∠DOE=60°，∵OA=OB=OE，∴△OAB，△OBE都是等邊三角形，∴OA=BE，∵BC=AD，∴CE=OD，∵CE//OD，∴四邊形ODCE是平行四邊形，∵AD=6，∴OD=OE=3，∴EH=sin60°×OE=，∴S陰影=S平行四邊形ODCE-S扇形ODE，=3×-=，故C錯誤；D. 的長=，故D正確．故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓周角定理的推論、弧長和扇形公式，以及銳角三角函數(shù)的知識，熟練掌握圓的有關(guān)定理和公式是解答本題的關(guān)鍵．9．A【分析】過點作于點，連接，根據(jù)已知條件即可求得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得，根據(jù)勾股定理即可求得，根據(jù)垂徑定理即可求得的長．【詳解】解：如圖，過點作于點，連接， AB是的直徑，，，，在中，故選A【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，掌握以上定理是解題的關(guān)鍵．10．C【詳解】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2， ∴AD=BD=2，即此時圓的直徑為2，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=∴EF=2EH=． 故選C．11．72【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，外角的個數(shù)等于邊數(shù)，根據(jù)正多邊形的每一個外角都相等，用即可求解．【詳解】解：．故答案為：72．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，多邊形的外角和問題，掌握多邊形的外角和為360°是解題的關(guān)鍵．12．【分析】連接，，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得是等腰直角三角形，進而勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，，，，為直徑，，是等腰直角三角形．，，．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．13．50°【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠EBC＝90°，求出∠BCE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BCD＝180°?∠A＝70°，計算即可．【詳解】∵EC是⊙O的直徑，∴∠EBC＝90°，∴∠BCE＝90°?∠E＝20°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCD＝180°?∠A＝70°，∴∠OCD＝∠BCD?∠BCE＝50°，故填：50°.【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．14．8π﹣16/-16+8π【分析】陰影部分的面積是四個半圓的面積的和減去正方形的面積，據(jù)此求解即可．【詳解】S陰影＝4S半圓﹣S正方形＝4×π×22﹣4×4＝8π﹣16，故答案為：8π﹣16【點睛】本題考查了扇形的面積的計算方法，解題的關(guān)鍵是了解陰影部分的面積計算方法，難度不大．15．【分析】連接AB，如圖，先計算出AB=，再根據(jù)垂徑定理得到AC=PC，BD=PD，則可判斷CD為△PAB的中位線，然后根據(jù)三角形中位線定理求解．【詳解】解：連接AB，如圖，∵OA=OB=1，∠AOB=90°，∴AB=OA=，∵OC⊥AP，OD⊥BP，∴AC=PC，BD=PD，∴CD為△PAB的中位線，∴CD=AB=．故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱巳切蔚闹形痪€定理．16．【分析】作點A關(guān)于MN的對稱點A′，連接A′B，與MN的交點即為點P，此時PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．【詳解】解：作點A關(guān)于MN的對稱點A′，連接A′B，與MN的交點即為點P，PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，  ∵A′點為點A關(guān)于直線MN的對稱點，∠AMN=30°， ∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°， 又∵B為的中點， ∴， ∴∠BON=∠AOB=∠AON=×60°=30°， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°， 又∵MN=4， ∴OA′=OB=MN=×4=2， ∴Rt△A′OB中，A′B=，即PA+PB的最小值為． 故答案為：．【點睛】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖及軸對稱的最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和圓周角定理、圓心角定理是解題的關(guān)鍵．17．厘米【分析】設(shè)扇形的半徑和弧長分別為和，則根據(jù)扇形面積公式求得半徑，進而根據(jù)弧長公式即可求解．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑和弧長分別為和，則，，．扇形的弧長為厘米．【點睛】本題考查了扇形面積公式與弧長公式，掌握公式是解題的關(guān)鍵．18．見解析.【分析】連接BC，根據(jù)圓周角定理求出∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理求出即可．【詳解】證明：連接CB，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AC，∴∠OEB＝∠ACB＝90°，即OD⊥BC，∵OD過O，∴點D平分．【點睛】本題考查了圓周角定理和垂徑定理，能正確運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．19．（1）r＝6.5；（2）此貨船不能順利通過這座拱橋，見解析【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解；（2）連接ON，OB，通過求距離水面2米高處即ED長為2時，橋有多寬即MN的長與貨船頂部的3米做比較來判定貨船能否通過．先根據(jù)半弦，半徑和弦心距構(gòu)造直角三角形求出半徑的長，再根據(jù)Rt△OEN中勾股定理求出EN的長，從而求得MN的長．【詳解】解：（1）如圖，連接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D為AB中點，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，設(shè)OB＝OC＝ON＝r，則OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得：r＝6.5．（2）∵CD＝4m，船艙頂部為長方形并高出水面AB＝2m，∴CE＝4﹣3.6＝0.4（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.4＝6.1（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣6.12＝5.04（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈4.48m＜5m．∴此貨船能不順利通過這座拱橋．【點睛】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．20．（1）見解析；（2）【分析】（1）作出線段AB，AC的垂直平分線的交點O即可．（2）連接OA，利用勾股定理求出OA即可．【詳解】解：（1）如圖，點O即為所求．（2）半徑OA=．故答案為：．【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的外接圓，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解三角形的外心是各邊垂直平分線的交點．21．相等，理由見解析【分析】連接、，證明≌可得，則有，即有．【詳解】解：與相等．理由如下：連接、，如圖，∵，，∴，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，∴，∴，【點睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系和全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等是解題的關(guān)鍵．22．（1）見解析；（2）48°；（3）∠A=90°﹣．【詳解】試題分析：（1）在△CDE與△CBF中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，可得∠CDE=∠CBF，從而得∠ADC=∠ABC，由圓內(nèi)接四邊形定理可得∠ADC+∠ABC=180°，從而可得∠ADC=∠ABC=90°；由（1）可知∠ABC=90°，從而∠A=90°-∠E=48°；由四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，可得∠ADC+∠ABC=180°，從而得∠EDC+∠FBC=180°，在利用三角形內(nèi)角和定理可得∠E+∠F+∠ECD+∠FCB=180°，從而得∠ECD+∠FCB=180°-（α+β），由周角可得∠BCD+∠FCE=180°+（α+β），從而可得∠BCD=90°+，從而得∠A=90°-；試題解析：（1）在△CDE與△CBF中，∵∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，∴∠CDE=∠CBF，∴180°-∠CDE=180°-∠CBF，即∠ADC=∠ABC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABC=90°；∵∠E=∠F=42°，由（1）可知∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠E=48°；∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠EDC+∠FBC=180°，∵∠E+∠EDC+∠ECD=180°，∠F+∠FCB+∠FBC=180°，∴∠E+∠F+∠ECD+∠FCB=180°，∴∠ECD+∠FCB=180°-（α+β），∴∠BCD+∠FCE=360°-（∠ECD+∠FCB）=180°+（α+β），∵∠BCD=∠FCE，∴∠BCD=90°+，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠A=90°-；考點：1．三角形內(nèi)角和定理；2．圓內(nèi)接四邊形定理． 23．（1）證明見解析；（2）的半徑為2；（3）．【分析】（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理得出∠CBD=∠AEB=90°，∠A=∠C，進而求得∠ABE=∠CDB，得出，即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理易求得∠A=∠ABE，得出∠A=30°，解直角三角形求得AB，即可求得⊙O的半徑；（3）根據(jù)S陰=S扇形-S△EOB求得即可．【詳解】（1）證明：連接，∵，為的直徑，∴，∵點恰好為的中點，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵過點作弦垂直于直徑于，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴的半徑為2．（3）連接，∵，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、扇形的面積以及解直角三角形等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵． 

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