考試要求 1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．
知識梳理
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小稱為向量的________．
(2)零向量：長度為________的向量，記作________．
(3)單位向量：長度等于____________的向量．
(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量________．
(5)相等向量：長度相等且方向______的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向______的向量．
2．向量的線性運(yùn)算
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)λ，使________________．
常用結(jié)論
1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(————→))＋eq \(A2A3,\s\up6(————→))＋eq \(A3A4,\s\up6(————→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up6(————→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若F為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
4．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)．( )
(2)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.( )
(3)若向量eq \(AB,\s\up6(→))與向量eq \(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．( )
(4)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( )
教材改編題
1．下列命題不正確的是( )
A．零向量的長度等于0
B．若a＝b，b＝c，則a＝c
C．零向量是唯一沒有方向的向量
D．若a，b都為非零向量，則使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線
2．下列各式化簡結(jié)果正確的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
3．已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.
題型一 平面向量的基本概念
例1 (1)下列說法中正確的是( )
①單位向量都相等；
②任一向量與它的相反向量不相等；
③若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)；
④若a與b是相反向量，則|a|＝|b|.
A．①③④ B．②③④
C．②④ D．③④
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(2)(2023·福州模擬)如圖，在正△ABC中，D，E，F(xiàn)均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和eq \(FC,\s\up6(→))相等的是( )
A.eq \(EF,\s\up6(→)) B.eq \(FB,\s\up6(→)) C.eq \(DF,\s\up6(→)) D.eq \(ED,\s\up6(→))
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思維升華 平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(diǎn)
(1)非零向量的平行具有傳遞性．
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．
(4)eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)下列命題中正確的個數(shù)是( )
①向量eq \(AB,\s\up6(→))的長度與向量eq \(BA,\s\up6(→))的長度相等；
②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；
③兩個有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；
④兩個終點(diǎn)相同的向量，一定是共線向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量為( )
A.eq \(BA,\s\up6(→)) B.eq \(CD,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(OD,\s\up6(→))
題型二 平面向量的線性運(yùn)算
命題點(diǎn)1 向量加、減法的幾何意義
例2 (2022·濟(jì)南模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2 023，則|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．
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命題點(diǎn)2 向量的線性運(yùn)算
例3 (2022·新高考全國Ⅰ)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，則eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
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命題點(diǎn)3 根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)
例4 (2022·大連模擬)在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，P為線段DE上的動點(diǎn)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則λ＋μ等于( )
A．1 B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D．2
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思維升華 平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．
(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫成的星星圖形，有許多國家的國旗設(shè)計(jì)都包含五角星，如中華人民共和國國旗．如圖，在正五角星中，每個角的角尖為36°，則下列說法正確的是( )
A.eq \(CH,\s\up6(→))＋eq \(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(FE,\s\up6(→))
C.eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FG,\s\up6(→))＝2eq \(HG,\s\up6(→)) D.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AJ,\s\up6(→))
(2)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，△ABC的面積是S1，△PAB的面積是S2，則( )
A．S1＝4S2 B．S1＝3S2
C．S1＝2S2 D．S1＝S2
(3)在△ABC中，P是BC上一點(diǎn)，若eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則2λ＋μ＝________.
題型三 共線定理及其應(yīng)用
例5 已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；
(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.
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思維升華 利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．
(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(3)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.
跟蹤訓(xùn)練3 (1)若a，b是兩個不共線的向量，已知eq \(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq \(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq \(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三點(diǎn)共線，則k等于( )
A．－1 B．1 C.eq \f(3,2) D．2
(2)如圖，△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，AM與CN交于點(diǎn)D，eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))，
則λ等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,6)向量運(yùn)算
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
交換律：a＋b＝______；
結(jié)合律：(a＋b)＋c＝_____
減法
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
|λa|＝________，當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向________；
當(dāng)λ

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