考試要求 1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．
知識梳理
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長度(或模)．
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運(yùn)算
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
常用結(jié)論
1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若F為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
4．對于任意兩個(gè)向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)．( √ )
(2)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.( × )
(3)若向量eq \(AB,\s\up6(→))與向量eq \(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．( × )
(4)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ )
教材改編題
1．下列命題不正確的是( )
A．零向量的長度等于0
B．若a＝b，b＝c，則a＝c
C．零向量是唯一沒有方向的向量
D．若a，b都為非零向量，則使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線
答案 C
解析 A項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故A正確；
B項(xiàng)，由向量相等的定義知B正確；
C項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故C不正確；
D項(xiàng)，因?yàn)閑q \f(a,|a|)與eq \f(b,|b|)都是單位向量，所以只有當(dāng)eq \f(a,|a|)與eq \f(b,|b|)是相反向量，即a與b是反向共線時(shí)才成立，故D正確．
2．下列各式化簡結(jié)果正確的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
答案 B
3．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.
答案 －eq \f(1,3)
解析 由題意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))
題型一 平面向量的基本概念
例1 (1)下列說法中正確的是( )
①單位向量都相等；
②任一向量與它的相反向量不相等；
③若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)；
④若a與b是相反向量，則|a|＝|b|.
A．①③④ B．②③④
C．②④ D．③④
答案 D
解析 對于①，單位向量方向不同時(shí)并不相等，①錯(cuò)誤；
對于②，0的相反向量為0，②錯(cuò)誤；
對于③，|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)，③正確；
對于④，相反向量是長度相等，方向相反的向量，④正確．
(2)(2023·福州模擬)如圖，在正△ABC中，D，E，F(xiàn)均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和eq \(FC,\s\up6(→))相等的是( )
A.eq \(EF,\s\up6(→)) B.eq \(FB,\s\up6(→)) C.eq \(DF,\s\up6(→)) D.eq \(ED,\s\up6(→))
答案 D
解析 ∵eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(FB,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))與eq \(FC,\s\up6(→))方向不同，∴eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(FB,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))與eq \(FC,\s\up6(→))均不相等；
∵eq \(ED,\s\up6(→))與eq \(FC,\s\up6(→))方向相同，長度相等，∴eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→)).
思維升華 平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)非零向量的平行具有傳遞性．
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．
(4)eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( )
①向量eq \(AB,\s\up6(→))的長度與向量eq \(BA,\s\up6(→))的長度相等；
②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；
③兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；
④兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，一定是共線向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 對于①，向量eq \(AB,\s\up6(→))與向量eq \(BA,\s\up6(→))的長度相等，方向相反，故①正確；
對于②，向量a與b平行，且a或b為零向量時(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；
對于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；
對于④，兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤．
(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量為( )
A.eq \(BA,\s\up6(→)) B.eq \(CD,\s\up6(→)) C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(OD,\s\up6(→))
答案 D
解析 A，B選項(xiàng)均與eq \(BC,\s\up6(→))方向不同，C選項(xiàng)與eq \(BC,\s\up6(→))長度不相等，D選項(xiàng)與eq \(BC,\s\up6(→))方向相同，長度相等．
題型二 平面向量的線性運(yùn)算
命題點(diǎn)1 向量加、減法的幾何意義
例2 (2022·濟(jì)南模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2 023，則|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．
答案 2 023 0
解析 當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2 023方向相同時(shí)，
|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，
|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|
＝2 023；
當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2 023首尾相連時(shí)，
e1＋e2＋…＋e2 023＝0，
所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值為0.
命題點(diǎn)2 向量的線性運(yùn)算
例3 (2022·新高考全國Ⅰ)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，則eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案 B
解析 因?yàn)锽D＝2DA，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝－2eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故選B.
命題點(diǎn)3 根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)
例4 (2022·大連模擬)在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，P為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則λ＋μ等于( )
A．1 B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D．2
答案 B
解析 如圖所示，由題意知，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
設(shè)eq \(DP,\s\up6(→))＝xeq \(DE,\s\up6(→))，x∈[0,1]，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋xeq \(DE,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋x(eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))
＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)xeq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(1－x)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以μ＝eq \f(2,3)x，λ＝eq \f(2,3)(1－x)，
所以λ＋μ＝eq \f(2,3)x＋eq \f(2,3)(1－x)＝eq \f(2,3).
思維升華 平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．
(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫成的星星圖形，有許多國家的國旗設(shè)計(jì)都包含五角星，如中華人民共和國國旗．如圖，在正五角星中，每個(gè)角的角尖為36°，則下列說法正確的是( )
A.eq \(CH,\s\up6(→))＋eq \(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(FE,\s\up6(→))
C.eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FG,\s\up6(→))＝2eq \(HG,\s\up6(→)) D.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AJ,\s\up6(→))
答案 D
解析 A項(xiàng)，由圖可知CH與ID相交，所以eq \(CH,\s\up6(→))與eq \(ID,\s\up6(→))不是相反向量，故A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)，eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(DE,\s\up6(→))共線，eq \(DE,\s\up6(→))與eq \(FE,\s\up6(→))不共線，所以eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(FE,\s\up6(→))不共線，故B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))≠2eq \(HG,\s\up6(→))，故C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，連接BF，JF，由五角星的性質(zhì)可得四邊形ABFJ為平行四邊形，
根據(jù)平行四邊形法則可得eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AJ,\s\up6(→))，故D正確．
(2)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，△ABC的面積是S1，△PAB的面積是S2，則( )
A．S1＝4S2 B．S1＝3S2
C．S1＝2S2 D．S1＝S2
答案 B
解析 ∵eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＝2(eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))，
∴3eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))并且方向一樣，
設(shè)AP與BC的距離為h，
∵S△PAB＝eq \f(1,2)|eq \(AP,\s\up6(→))|·h，S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up6(→))|·h，
又∵|eq \(BC,\s\up6(→))|＝3|eq \(AP,\s\up6(→))|，
∴S△PAB＝eq \f(1,3)S△ABC，S1＝3S2.
(3)在△ABC中，P是BC上一點(diǎn)，若eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則2λ＋μ＝________.
答案 eq \f(4,3)
解析 在△ABC中，eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，
則eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))不共線，
則λ＝eq \f(1,3)，μ＝eq \f(2,3)，
所以2λ＋μ＝eq \f(4,3).
題型三 共線定理及其應(yīng)用
例5 已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；
(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.
證明 (1)若m＋n＝1，則eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OP,\s\up6(→))＝[m＋(1－m)]eq \(OP,\s\up6(→))，
故meq \(OP,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(OB,\s\up6(→))，
即m(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝(1－m)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))，
meq \(AP,\s\up6(→))＝(1－m)eq \(PB,\s\up6(→))，即eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))共線，
又eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))有公共點(diǎn)P，
則A，P，B三點(diǎn)共線．
(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))，
變形得eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))，即(1＋λ)eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(λ\(OB,\s\up6(→))＋\(OA,\s\up6(→)),1＋λ)＝eq \f(λ\(OB,\s\up6(→)),1＋λ)＋eq \f(\(OA,\s\up6(→)),1＋λ)，又eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，eq \f(λ,1＋λ)＋eq \f(1,1＋λ)＝1，故m＋n＝1.
思維升華 利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)．
(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(3)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.
跟蹤訓(xùn)練3 (1)若a，b是兩個(gè)不共線的向量，已知eq \(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq \(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq \(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三點(diǎn)共線，則k等于( )
A．－1 B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 B
解析 由題意知，
eq \(NQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＝a－(k＋1)b，
因?yàn)镸，N，Q三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)λ，
使得eq \(MN,\s\up6(→))＝λeq \(NQ,\s\up6(→))，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，
整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，
因?yàn)橄蛄縜，b不共線，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λ＝0，,2－λ?k＋1?＝0，))
解得λ＝1，k＝1.
(2)如圖，△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，AM與CN交于點(diǎn)D，eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))，則λ等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,6)
答案 C
解析 在△ABC中，因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，則eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(λ,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，于是得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3λ,4)eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
因?yàn)辄c(diǎn)C，D，N共線，則有eq \f(3λ,4)＋eq \f(λ,2)＝1，解得λ＝eq \f(4,5).
課時(shí)精練
1．化簡2(a－3b)－3(a＋b)的結(jié)果為( )
A．a(chǎn)＋4b B．－a－9b
C．2a＋b D．a(chǎn)－3b
答案 B
解析 2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.
2．下列命題中，正確的是( )
A．若a∥b，b∥c，則a∥c
B．在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反
D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向與a，b之一的方向一定相同
答案 C
解析 對于A選項(xiàng)，0 平行于任意向量，若b＝0，滿足a∥b，b∥c，但不一定滿足a∥c，故A錯(cuò)誤；
對于B選項(xiàng)，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0而不是數(shù)0，故B錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，兩個(gè)單位向量互相平行，這兩個(gè)單位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正確；
對于D選項(xiàng)，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，零向量的方向是任意的，故D錯(cuò)誤．
3．設(shè)a，b是平面內(nèi)兩個(gè)向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 當(dāng)a＝－eq \f(1,2)b時(shí)，|a＋b|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)b＋b))＝eq \f(1,2)|b|＝|a|，推不出|b|＝0；
當(dāng)|b|＝0時(shí)，b＝0，則|a＋b|＝|a＋0|＝|a|，
故“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的必要不充分條件．
4．已知向量a和b不共線，向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq \(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則m等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
答案 A
解析 因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，
所以存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b，
所以2a＋6b＝λa＋mλb，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ，,6＝mλ，))解得m＝3.
5．在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，則|a－b＋c|等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為1的正方形，
eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，
所以a－b＋c＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＋(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|a－b＋c|＝|2eq \(AB,\s\up6(→))|＝2.
6．如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FO,\s\up6(→))，且eq \(FC,\s\up6(→))＝λeq \(FD,\s\up6(→))＋μeq \(FE,\s\up6(→))，則λ＋μ等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 ∵eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(FO,\s\up6(→))＝4×eq \f(1,2)(eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→)))＝2eq \(FD,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))，
∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.
7．已知向量e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ等于( )
A．2 B．－2 C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 因?yàn)閍＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，所以ka＝b，k≠0，
所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.
因?yàn)橄蛄縠1，e2是兩個(gè)不共線的向量，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k＝1，,－k＝λ，))解得λ＝－eq \f(1,2).
8．已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝eq \f(π,3)，若OC與線段AB交于點(diǎn)P，且滿足eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，則λ＋μ的最大值為( )
A.eq \f(2,3) B．1 C.eq \r(3) D．2
答案 D
解析 ∵線段OC與線段AB交于點(diǎn)P，設(shè)eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OP,\s\up6(→)) (x≥1)，
則xeq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，即eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(λ,x)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(μ,x)eq \(OB,\s\up6(→))，
又∵P，A，B三點(diǎn)共線，則eq \f(λ,x)＋eq \f(μ,x)＝1，即λ＋μ＝x，
∵OA＝OB＝1，∴當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)|eq \(OP,\s\up6(→))|最小，此時(shí)x最大，
又∠AOB＝eq \f(π,3)，故此時(shí)|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，又因?yàn)閨eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OP,\s\up6(→))，
即x＝2，即λ＋μ的最大值為2.
9．設(shè)向量a，b不平行，向量ta＋b與a＋3b平行，則實(shí)數(shù)t的值為________．
答案 eq \f(1,3)
解析 ∵向量ta＋b與a＋3b平行，
∴存在實(shí)數(shù)k使得ta＋b＝k(a＋3b)，
化為(t－k)a＋(1－3k)b＝0，
∵向量a，b不平行，
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－k＝0，,1－3k＝0，))解得t＝k＝eq \f(1,3).
10．已知△ABC的重心為G，經(jīng)過點(diǎn)G的直線交AB于D，交AC于E，若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))，則eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝________.
答案 3
解析 如圖，設(shè)F為BC的中點(diǎn)，
則eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,λ)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,μ)eq \(AE,\s\up6(→))，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3λ)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3μ)eq \(AE,\s\up6(→))，
又G，D，E三點(diǎn)共線，
∴eq \f(1,3λ)＋eq \f(1,3μ)＝1，即eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝3.
11．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若eq \(OA,\s\up6(→))－4eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，則eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(CA,\s\up6(→))|)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(4,3)
答案 B
解析 由eq \(OA,\s\up6(→))－4eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝3(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，即eq \(BA,\s\up6(→))＝3eq \(CB,\s\up6(→))，
所以eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up6(→))，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(3,4)|eq \(CA,\s\up6(→))|，即eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(CA,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,4).
12．已知M為△ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，則下列等式成立的是( )
A．|eq \(MA,\s\up6(→))|＝|eq \(MB,\s\up6(→))|＝|eq \(MC,\s\up6(→))|
B.eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0
C.eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(→))
D．S△MBC＝eq \f(1,3)S△ABC
答案 D
解析 如圖，M為△ABC的重心，則eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up6(→))
＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))，C錯(cuò)誤；
由DM＝eq \f(1,3)AD得S△MBC＝eq \f(1,3)S△ABC，D正確．
13．設(shè)P，Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(8,5) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,10)
答案 D
解析 如圖，設(shè)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))，
由平行四邊形法則知NP∥AB，
∴△ABP的面積與△ABC的面積之比為eq \f(1,5)，
同理，由eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，可得△ABQ的面積與△ABC的面積之比為eq \f(2,3)，
∴△ABP的面積與△ABQ的面積之比為eq \f(1,5)∶eq \f(2,3)＝eq \f(3,10).
14．(2023·麗江模擬)在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且滿足|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(AC,\s\up6(→))|，點(diǎn)Q為線段BD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足eq \(AQ,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，則eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值為________．
答案 4＋2eq \r(3)
解析 由題意知點(diǎn)D滿足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，故eq \(AQ,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋3yeq \(AD,\s\up6(→))，由點(diǎn)Q，B，D三點(diǎn)共線可得x＋3y＝1，x>0，y>0，則eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·(x＋3y)＝4＋eq \f(3y,x)＋eq \f(x,y)≥4＋2eq \r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(3y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝eq \f(\r(3)－1,2)，y＝eq \f(3－\r(3),6)時(shí)等號成立．
15．設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是________．(填序號)
①若eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，則eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))；
②若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AC,\s\up6(→))－3eq \(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)共線；
③若點(diǎn)M是△ABC的重心，則eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0；
④若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))且x＋y＝eq \f(1,3)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq \f(2,3).
答案 ①③④
解析 對于①，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，①正確；
對于②，假設(shè)點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)共線，則eq \(MB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，即eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝λ(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，整理得eq \(AM,\s\up6(→))＝－λeq \(AC,\s\up6(→))＋(1＋λ)·eq \(AB,\s\up6(→))，故當(dāng)λ＝－2時(shí)，eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，與條件中的eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AC,\s\up6(→))－3eq \(AB,\s\up6(→))不一致，所以點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)不共線，②錯(cuò)誤；
對于③，如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接AH，若點(diǎn)M是△ABC的重心，則點(diǎn)M在AH上，且MA＝2MH，則eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝2eq \(MH,\s\up6(→))，則eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，③正確；
對于④，由于eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，而x＋y＝eq \f(1,3)，所以3eq \(AM,\s\up6(→))＝3xeq \(AB,\s\up6(→))＋3yeq \(AC,\s\up6(→))，其中3x＋3y＝1，不妨設(shè)eq \(AQ,\s\up6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→))，則Q點(diǎn)在直線BC上，由于△MBC與△ABC同底，而高線之比等于MQ與AQ的比，即比值為2∶3，所以△MBC的面積是△ABC面積的eq \f(2,3)，④正確．
16．如圖，已知正六邊形ABCDEF，M，N分別是對角線AC，CE上的點(diǎn)，使得eq \f(AM,AC)＝eq \f(CN,CE)＝r，當(dāng)r＝________時(shí)，B，M，N三點(diǎn)共線．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 連接AD，交EC于G點(diǎn)，設(shè)正六邊形邊長為a，由正六邊形的性質(zhì)知，AD⊥CE，AD∥CB，G點(diǎn)為EC的中點(diǎn)，且AG＝eq \f(3,2)a，
則eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(GA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(CB,\s\up6(→))，
又eq \f(AM,AC)＝eq \f(CN,CE)＝r(r>0)，則eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \f(\(CM,\s\up6(→)),1－r)，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(\(CN,\s\up6(→)),r)，
故eq \f(\(CM,\s\up6(→)),1－r)＝eq \f(\(CN,\s\up6(→)),2r)＋eq \f(3,2)eq \(CB,\s\up6(→))，即eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(1－r,2r)eq \(CN,\s\up6(→))＋eq \f(3?1－r?,2)eq \(CB,\s\up6(→))，
若B，M，N三點(diǎn)共線，由共線定理知eq \f(1－r,2r)＋eq \f(3?1－r?,2)＝1，解得r＝eq \f(\r(3),3)或－eq \f(\r(3),3)(舍)．向量運(yùn)算
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
交換律：a＋b＝b＋a；
結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；
當(dāng)λ

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