§8.7　向量法求空間角考試要求　能用向量法解決異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問題中的作用．知識(shí)梳理1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝__________.2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝____________.3．二面角(1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝________.(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos θ|＝__________________________，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写?/span>“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．(　　)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．(　　)(3)兩異面直線所成角的范圍是，直線與平面所成角的范圍是.(　　)(4)二面角的平面角為θ，則兩個(gè)面的法向量的夾角也是θ.(　　)  教材改編題1．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－，則直線l與平面α所成的角為(　　)A．30°   B．60°C．120°   D．150°2．已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為(　　)A.   B.C.   D.3．平面α的一個(gè)法向量為m＝(1,2，－2)，平面β的一個(gè)法向量為n＝(2,2,1)，則平面α與平面β所成銳二面角的正切值為(　　)A.   B.C.   D.題型一　異面直線所成的角例1 (1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為，AB＝1，則直線AB1與CD1所成的角為(　　)A．30°  B．45°  C．60°  D．90°聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·杭州模擬)如圖，已知圓錐CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圓O的直徑，點(diǎn)D在上，且∠AOD＝2∠BOD，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為(　　) A.   B.C.   D.聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量．(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．(4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．跟蹤訓(xùn)練1 (1)有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為________．(2)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，＝λ(0<λ<1)，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則λ的值為______． 題型二　直線與平面所成的角例2 (12分)(2022·全國甲卷)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. (1)證明：BD⊥PA；[切入點(diǎn)：由等腰梯形ABCD的性質(zhì)求BD長](2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．[關(guān)鍵點(diǎn)：建立空間直角坐標(biāo)系求法向量]　思維升華 利用空間向量求線面角的解題步驟跟蹤訓(xùn)練2 如圖，在六面體PACBD中，△PAB是等邊三角形，平面PAB與平面ABD所成角為30°，PC＝AB＝AD＝BD＝AC＝BC＝4.(1)證明：AB⊥PD；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面PAB所成角的正切值的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三　二面角例3 如圖①，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖②，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上(不同于A，B兩點(diǎn))，連接OE并延長至點(diǎn)Q，使AQ∥OB.(1)證明：OD⊥平面PAQ；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若BE＝2AE，求二面角A－BQ－C的余弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?/span>(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。?/span>跟蹤訓(xùn)練3 (2022·貴陽模擬)如圖，AC，BD為圓柱OO′底面⊙O的兩條直徑，PA為圓柱OO′的一條母線，且AP＝AC. (1)證明：AB⊥PD；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若∠AOD＝，求二面角D－PC－B的正弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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