考試要求 1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義．
知識梳理
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)．
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.
常用結(jié)論
1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若F為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任意一點，則eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，則eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
4．若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.
5．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)．( √ )
(2)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.( × )
(3)若向量eq \(AB,\s\up6(→))與向量eq \(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．( × )
(4)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ )
教材改編題
1．給出下列命題：
①若a與b都是單位向量，則a＝b；
②直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量；
③若用有向線段表示的向量eq \(AM,\s\up6(→))與eq \(AN,\s\up6(→))不相等，則點M與N不重合；
④海拔、溫度、角度都不是向量．
則所有正確命題的序號是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
答案 D
解析 ①錯誤，由于單位向量長度相等，但是方向不確定；②錯誤，由于只有方向，沒有大小，故x軸、y軸不是向量；③正確，由于向量起點相同，但長度不相等，所以終點不同；④正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量．
2．下列各式化簡結(jié)果正確的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
答案 B
3．已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.
答案 －eq \f(1,3)
解析 由題意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))
題型一 平面向量的概念
例1 (1)給出下列命題，正確的有( )
A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同
B．若A，B，C，D是不共線的四點，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形
C．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線
答案 B
解析 A錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；
B正確，因為eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；
C錯誤，當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；
D錯誤，當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．
(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))
C.eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \(PF,\s\up6(→)) D.eq \(EP,\s\up6(→))＝eq \(PF,\s\up6(→))
答案 D
教師備選
下列命題為假命題的是( )
A．若a與b為非零向量，且a∥b，則a＋b必與a或b平行
B．若e為單位向量，且a∥e，則a＝|a|e
C．兩個非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，則a與b共線且反向
D．“兩個向量平行”是“這兩個向量相等”的必要不充分條件
答案 B
思維升華 平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點
(1)非零向量的平行具有傳遞性．
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)．
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．
(4)eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．
跟蹤訓練1 (1)下列命題不正確的是( )
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若a，b都為非零向量，則使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線
D．若a＝b，b＝c，則a＝c
答案 A
解析 A項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；
B項，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；
C項，因為eq \f(a,|a|)與eq \f(b,|b|)都是單位向量，所以只有當eq \f(a,|a|)與eq \f(b,|b|)是相反向量，即a與b是反向共線時才成立，故C正確；
D項，由向量相等的定義知D正確．
(2)對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 若a＋b＝0，
則a＝－b，則a∥b，即充分性成立；若a∥b，則a＝－b不一定成立，即必要性不成立，
即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要條件．
題型二 平面向量的線性運算
命題點1 向量加、減法的幾何意義
例2 (2022·濟南模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2 023，則|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是______，最小值是________．
答案 2 023 0
解析 當單位向量e1，e2，…，e2 023方向相同時，
|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，
|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|
＝2 023；
當單位向量e1，e2，…，e2 023首尾相連時，
e1＋e2＋…＋e2 023＝0，
所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值為0.
命題點2 向量的線性運算
例3 如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC邊上一點，且eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，F(xiàn)是AE的中點，則下列關(guān)系式不正確的是( )
A.eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))
B.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(BF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
D.eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 C
解析 因為eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
所以選項A正確；
因為eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(BC,\s\up6(→))))，
而eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
代入可得eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以選項B正確；
因為eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
而eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
代入得eq \(BF,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以選項C不正確；
因為eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))，
而eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
代入得eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以選項D正確．
命題點3 根據(jù)向量線性運算求參數(shù)
例4 (2022·青島模擬)已知平面四邊形ABCD滿足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))，平面內(nèi)點E滿足eq \(BE,\s\up6(→))＝3eq \(CE,\s\up6(→))，CD與AE交于點M，若eq \(BM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，則x＋y等于( )
A.eq \f(5,2) B．－eq \f(5,2)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
答案 C
解析 如圖所示，
易知BC＝4AD，
CE＝2AD，
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))－eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋6eq \(AD,\s\up6(→)))－eq \(AB,\s\up6(→))
＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))，
∴x＋y＝eq \f(4,3).
教師備選
1．(2022·資陽模擬)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若點O滿足eq \(AO,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))，則eq \(OC,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)) D．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析 如圖所示，
∵D為BC的中點，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∵eq \(AO,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))，
∴eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))
＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
2．(2022·長春調(diào)研)在△ABC中，延長BC至點M使得BC＝2CM，連接AM，點N為AM上一點且eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AM,\s\up6(→))，若eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(1,3)
答案 A
解析 由題意，知eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)×eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝－eq \f(1,6)，μ＝eq \f(1,2)，則λ＋μ＝eq \f(1,3).
思維升華 平面向量線性運算的常見類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．
(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值．
跟蹤訓練2 (1)點G為△ABC的重心，設eq \(BG,\s\up6(→))＝a，eq \(GC,\s\up6(→))＝b，則eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．b－2a B.eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b
C.eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b D．2a＋b
答案 A
解析 如圖所示，由題意可知
eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(GC,\s\up6(→))，
故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))－2eq \(BG,\s\up6(→))＝b－2a.
(2)(2022·大連模擬)在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，P為線段DE上的動點，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則λ＋μ等于( )
A．1 B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D．2
答案 B
解析 如圖所示，由題意知，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
設eq \(DP,\s\up6(→))＝xeq \(DE,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋xeq \(DE,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋x(eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))
＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)xeq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(1－x)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以μ＝eq \f(2,3)x，λ＝eq \f(2,3)(1－x)，
所以λ＋μ＝eq \f(2,3)x＋eq \f(2,3)(1－x)＝eq \f(2,3).
題型三 共線定理及其應用
例5 設兩向量a與b不共線．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)．求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．
(1)證明 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，
eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)．
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共線，
又它們有公共點B，
∴A，B，D三點共線．
(2)解 ∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共線的兩個向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
教師備選
1．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，若S△ABC＝6，則△PAB的面積為( )
A．2 B．3
C．4 D．8
答案 A
解析 ∵eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＝2(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))，
∴3eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(CB,\s\up6(→))，且兩向量方向相同，
∴eq \f(S△ABC,S△PAB)＝eq \f(BC,AP)＝eq \f(|\(CB,\s\up6(→))|,|\(PA,\s\up6(→))|)＝3，
又S△ABC＝6，∴S△PAB＝eq \f(6,3)＝2.
2．設兩個非零向量a與b不共線，若a與b的起點相同，且a，tb，eq \f(1,3)(a＋b)的終點在同一條直線上，則實數(shù)t的值為________．
答案 eq \f(1,2)
解析 ∵a，tb，eq \f(1,3)(a＋b)的終點在同一條直線上，且a與b的起點相同，
∴a－tb與a－eq \f(1,3)(a＋b)共線，
即a－tb與eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b共線，
∴存在實數(shù)λ，使a－tb＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a－\f(1,3)b))，
又a，b為兩個不共線的非零向量，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝\f(2,3)λ，,t＝\f(1,3)λ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,2)，,t＝\f(1,2).))
思維升華 利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．
(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(3)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.
跟蹤訓練3 (1)若a，b是兩個不共線的向量，已知eq \(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq \(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq \(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三點共線，則k等于( )
A．－1 B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 B
解析 由題意知，
eq \(NQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＝a－(k＋1)b，
因為M，N，Q三點共線，故存在實數(shù)λ，
使得eq \(MN,\s\up6(→))＝λeq \(NQ,\s\up6(→))，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
(2)如圖，已知A，B，C是圓O上不同的三點，線段CO與線段AB交于點D(點O與點D不重合)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，eq \r(2)] D．(－1,0)
答案 B
解析 因為線段CO與線段AB交于點D，
所以O，C，D三點共線，
所以eq \(OC,\s\up6(→))與eq \(OD,\s\up6(→))共線，
設eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OD,\s\up6(→))，則m>1，
因為eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
所以meq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
可得eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(λ,m)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(μ,m)eq \(OB,\s\up6(→))，
因為A，B，D三點共線，
所以eq \f(λ,m)＋eq \f(μ,m)＝1，可得λ＋μ＝m>1，
所以λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞)．
課時精練
1. 如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \(BE,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))
答案 D
解析 根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，
易得，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))
＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→)).
2．若a，b為非零向量，則“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共線”的( )
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)分別表示與a，b同方向的單位向量，eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，則有a，b共線，而a，b共線，則eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)是相等向量或相反向量，所以“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共線”的充分不必要條件．
3．設a＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))，b是一個非零向量，則下列結(jié)論不正確的是( )
A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)＋b＝a
C．a(chǎn)＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b|
答案 B
解析 由題意得，a＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，且b是一個非零向量，所以a∥b成立，所以A正確；由a＋b＝b，所以B不正確，C正確；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，
所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正確．
4．(2022·汕頭模擬)下列命題中正確的是( )
A．若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ使得a＝λb
B．若a∥b，b∥c，則a∥c
C．若a·b＝0，則a＝0或b＝0
D．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
答案 D
解析 若a∥b，且b＝0，則可有無數(shù)個實數(shù)λ使得a＝λb，故A錯誤；
若a∥b，b∥c(b≠0)，則a∥c，若b＝0，
則a，c不一定平行，故B錯誤；
若a·b＝0，也可以為a⊥b，故C錯誤；
根據(jù)向量加法的三角形法則和向量減法的幾何意義知，|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立，故D正確．
5．在平行四邊形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(BD,\s\up6(→))交于點O，E是線段OD的中點．若eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，則eq \(AE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
答案 C
解析 如圖所示，
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,4)b
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b.
6．下列說法正確的是( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))與向量eq \(BA,\s\up6(→))的長度相等
B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同
C．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反
D．向量的模是一個正實數(shù)
答案 A
解析 A項，eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BA,\s\up6(→))的長度相等，方向相反，正確；
B項，兩個有共同起點且長度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點相同，故錯誤；
C項，向量a與b平行時，若a或b為零向量，不滿足條件，故錯誤；
D項，向量的模是一個非負實數(shù)，故錯誤.
7. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)為DE的中點，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，則x等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 C
解析 連接AE(圖略)，因為F為DE的中點，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))，
而eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
又eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以x＝eq \f(1,2).
8. 莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且eq \f(PT,AT)＝eq \f(\r(5)－1,2).下列關(guān)系中正確的是( )
A.eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(TS,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(RS,\s\up6(→))
B.eq \(CQ,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(TS,\s\up6(→))
C.eq \(ES,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(BQ,\s\up6(→))
D.eq \(AT,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(CR,\s\up6(→))
答案 A
解析 由題意得，eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(TS,\s\up6(→))＝eq \(TE,\s\up6(→))－eq \(TS,\s\up6(→))＝eq \(SE,\s\up6(→))＝eq \f(\(RS,\s\up6(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(RS,\s\up6(→))，所以A正確；eq \(CQ,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(TA,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(ST,\s\up6(→))，所以B錯誤；eq \(ES,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(RC,\s\up6(→))－eq \(QC,\s\up6(→))＝eq \(RQ,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(QB,\s\up6(→))，所以C錯誤；eq \(AT,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(SD,\s\up6(→))＋eq \(RD,\s\up6(→))，eq \f(\r(5)－1,2)eq \(CR,\s\up6(→))＝eq \(RS,\s\up6(→))＝eq \(RD,\s\up6(→))－eq \(SD,\s\up6(→))，若eq \(AT,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(CR,\s\up6(→))，則eq \(SD,\s\up6(→))＝0，不符合題意，所以D錯誤．
9．(2022·太原模擬)已知不共線向量a，b，eq \(AB,\s\up6(→))＝ta－b(t∈R)，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋3b，若A，B，C三點共線，則實數(shù)t＝__________.
答案 －eq \f(2,3)
解析 因為A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)k，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(AC,\s\up6(→))，
所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，
即(t－2k)a＝(3k＋1)b.
因為a，b不共線，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－2k＝0，,3k＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,3)，,t＝－\f(2,3).))
10．已知△ABC的重心為G，經(jīng)過點G的直線交AB于D，交AC于E，若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))，則eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝________.
答案 3
解析 如圖，設F為BC的中點，
則eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,λ)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,μ)eq \(AE,\s\up6(→))，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3λ)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3μ)eq \(AE,\s\up6(→))，
又G，D，E三點共線，
∴eq \f(1,3λ)＋eq \f(1,3μ)＝1，即eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝3.
11．若正六邊形ABCDEF的邊長為2，中心為O，則|eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))|＝________.
答案 2eq \r(3)
解析 正六邊形ABCDEF中，eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))，
在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，
∴|eq \(EA,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋22－2×2×2×cs 120°)＝2eq \r(3)，
即|eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
12．在平行四邊形ABCD中，點M為BC邊的中點，eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.
答案 eq \f(5,3)
解析 eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))＋μ(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝(λ－μ)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)＋μ))eq \(AD,\s\up6(→))，
又因為eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))
所以λ＋μ＝eq \f(5,3).
13．點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，則△ABC是________三角形．
答案 直角
解析 因為點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，
且|eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，
所以|eq \(CB,\s\up6(→))|－|(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))＋(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))|＝0，
即|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|，
等式兩邊平方并化簡得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∠BAC＝90°，則△ABC為直角三角形．
14．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點D，若AB＝4，且eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋λeq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ＝________，AD的長為________．
答案 eq \f(3,4) 3eq \r(3)
解析 ∵B，D，C三點共線，
∴eq \f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq \f(3,4).
如圖，過D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點M，N，
則eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于D，
∴四邊形AMDN是菱形，
∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，
∴AD＝3eq \r(3).
15．(2022·滁州模擬)已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，則△ABC的面積為( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3)
答案 B
解析 設BC的中點為D，AC的中點為M，連接PD，MD，BM，如圖所示，
則有eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→)).
由eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
得eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(PD,\s\up6(→))，
又D為BC的中點，M為AC的中點，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(DM,\s\up6(→))，則eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \(DM,\s\up6(→))，
則P，D，M三點共線且D為PM的中點，
又D為BC的中點，
所以四邊形CPBM為平行四邊形．
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，
所以|eq \(MC,\s\up6(→))|＝|eq \(BP,\s\up6(→))|＝2，則|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4，
且|eq \(BM,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，
所以△AMB為等邊三角形，∠BAC＝60°，
則S△ABC＝eq \f(1,2)×2×4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3).
16．若2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC∶S△ABC＝________.
答案 1∶6
解析 若2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
設eq \(OA′,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC′,\s\up6(→))＝3eq \(OC,\s\up6(→))，
可得O為△A′BC′的重心，如圖，
設S△AOB＝x，S△BOC＝y(tǒng)，S△AOC＝z，
則S△A′OB＝2x，S△BOC′＝3y，S△A′OC′＝6z，
由2x＝3y＝6z，
可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.向量運算
法則(或幾何意義)
運算律
加法
交換律：a＋b＝b＋a；
結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
|λ a|＝|λ||a|，當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；
當λ

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