A. a+b=0 B. a=b
C. a 與b 共線反向D. 存在正實(shí)數(shù)λ ,使a=λb
2. 已知a ,b 為不共線的非零向量，AB=a+5b ，BC=?2a+8b ，CD=3a?3b ，則( )
A. A ,B ,C 三點(diǎn)共線B. A ,B ,D 三點(diǎn)共線C. B ,C ,D 三點(diǎn)共線D. A ,C ,D 三點(diǎn)共線
3.設(shè)D 為△ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足CD=3BD ，則( )
A. AD=32AB?12AC B. AD=32AB+12AC
C. AD=43AB?13AC D. AD=43AB+13AC
4.已知點(diǎn)O 為△ABC 的外接圓的圓心，且OA+OB+CO=0 ，則△ABC 的內(nèi)角A 等于( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5.已知點(diǎn)O 是平面上一定點(diǎn)，點(diǎn)A ，B ，C 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 滿足：OP=OA+λABAB+ACAC ，λ∈[0,+∞) ，則點(diǎn)P 的軌跡一定通過△ABC 的( )
A. 內(nèi)心B. 垂心C. 重心D. 外心
6. （多選）設(shè)點(diǎn)M 是△ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A. 若AM=12AB+12AC ，則點(diǎn)M 是邊BC 的中點(diǎn)
B. 若AM=2AB?AC ，則點(diǎn)M 在邊BC 的延長(zhǎng)線上
C. 若AM=?BM?CM ，則點(diǎn)M 是△ABC 的重心
D. 若AM=xAB+yAC ，且x+y=12 ,則△MBC 的面積是△ABC 面積的12
7. 若AP=12PB ，AB=λ+1BP ，則λ= .
8.設(shè)a ，b 是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量ka+2b 與8a+kb 的方向相反，則k= .
9. 當(dāng)非零向量a ，b 滿足 時(shí)，a+b 平分a 與b 的夾角.
10. 在直角梯形ABCD 中，∠A=90° ，∠B=30° ，AB=23 ，BC=2 ，點(diǎn)E 在線段CD 上（點(diǎn)E 不與點(diǎn)C ，D 重合），若AE=AD+μAB ，則μ 的取值范圍是 .
[B級(jí) 綜合運(yùn)用]
11. 已知在?ABCD 中，點(diǎn)E 為CD 的中點(diǎn)，AM=mAB ，AN=nADm?n≠0 ，若MN//BE ，則nm= ( )
A. 1 B. 2 C. 12 D. ?2
12.（多選）在△ABC 中，點(diǎn)D 滿足BD=DC ，當(dāng)點(diǎn)E 在線段AD 上移動(dòng)時(shí)，記AE=λAB+μAC ，則( )
A. λ=2μ B. λ=μ
C. λ?22+μ2 的最小值為2D. λ?22+μ2 的最小值為52
13.如圖，在△ABO 中，已知OA=a ，OB=b ，OM=13a ，ON=12b ，則用向量a ，b 表示OP= .
14.若點(diǎn)M 是△ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AM=35AB+25AC ,則△ABM 與△ABC 的面積之比為 .
2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.1-平面向量的概念及線性運(yùn)算-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】
[A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1. 已知a ,b 是兩個(gè)非零向量，且a+b=a+b ，則下列說法正確的是( D )
A. a+b=0 B. a=b
C. a 與b 共線反向D. 存在正實(shí)數(shù)λ ,使a=λb
[解析]選D.因?yàn)閍 ,b 是兩個(gè)非零向量，且a+b=a+b ,則a 與b 共線同向，故D正確.
2. 已知a ,b 為不共線的非零向量，AB=a+5b ，BC=?2a+8b ，CD=3a?3b ，則( B )
A. A ,B ,C 三點(diǎn)共線B. A ,B ,D 三點(diǎn)共線C. B ,C ,D 三點(diǎn)共線D. A ,C ,D 三點(diǎn)共線
[解析]選B.由于a ,b 為不共線的非零向量，根據(jù)向量共線定理，向量AB ，BC ，向量BC ，CD 顯然不共線，A，C錯(cuò)誤；BD=BC+CD=a+5b=AB ，AB 與BD 有公共點(diǎn)B ，所以A ，B ，D 三點(diǎn)共線，B正確；又AC=AB+BC=?a+13b ，顯然和CD 也不共線，D錯(cuò)誤.故選B.
3.設(shè)D 為△ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足CD=3BD ，則( A )
A. AD=32AB?12AC B. AD=32AB+12AC
C. AD=43AB?13AC D. AD=43AB+13AC
[解析]選A.如圖所示，因?yàn)镃D=3BD ，所以C ，B ，D 三點(diǎn)共線且CD=3BD ，
所以CB=2BD ，即BD=12CB ，
所以AD=AB+BD=AB+12CB=AB+12AB?AC=32AB?12AC .故選A.
4.已知點(diǎn)O 為△ABC 的外接圓的圓心，且OA+OB+CO=0 ，則△ABC 的內(nèi)角A 等于( A )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
[解析]選A.由OA+OB+CO=0 ,得OA+OB=O
C.又O 為△ABC 的外接圓的圓心，根據(jù)加法的幾何意義，四邊形OACB 為菱形，且∠CAO=60° ，因此∠CAB=30° .
5.已知點(diǎn)O 是平面上一定點(diǎn)，點(diǎn)A ，B ，C 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 滿足：OP=OA+λABAB+ACAC ，λ∈[0,+∞) ，則點(diǎn)P 的軌跡一定通過△ABC 的( A )
A. 內(nèi)心B. 垂心C. 重心D. 外心
[解析]選A.因?yàn)锳BAB ，ACAC 分別表示向量AB ，AC 方向上的單位向量，所以ABAB+ACAC 的方向與∠BAC 的平分線方向一致，所以O(shè)P?OA=AP=λABAB+ACAC ，λ∈[0,+∞) ，所以向量AP 的方向與∠BAC 的平分線方向一致，所以點(diǎn)P 的軌跡一定通過△ABC 的內(nèi)心.故選A.
6. （多選）設(shè)點(diǎn)M 是△ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是( ACD )
A. 若AM=12AB+12AC ，則點(diǎn)M 是邊BC 的中點(diǎn)
B. 若AM=2AB?AC ，則點(diǎn)M 在邊BC 的延長(zhǎng)線上
C. 若AM=?BM?CM ，則點(diǎn)M 是△ABC 的重心
D. 若AM=xAB+yAC ，且x+y=12 ,則△MBC 的面積是△ABC 面積的12
[解析]選ACD.若AM=12AB+12AC ，則點(diǎn)M 是邊BC 的中點(diǎn)，故A正確；若AM=2AB?AC ，即有AM?AB=AB?AC ，即BM=CB ，則點(diǎn)M 在邊CB 的延長(zhǎng)線上，故B錯(cuò)誤；若AM=?BM?CM ，即AM+BM+CM=0 ，則點(diǎn)M 是△ABC 的重心，故C正確；如圖，AM=xAB+yAC ,且x+y=12 ，可得2AM=2xAB+2yAC ,設(shè)AN=2AM ，則B ,C ,N 三點(diǎn)共線，且M 為AN 的中點(diǎn)，則△MBC 的面積是△ABC 面積的12 ，故D正確.
7. 若AP=12PB ，AB=λ+1BP ，則λ= ?52 .
[解析]由AP=12PB 可知，點(diǎn)P 是線段AB 上靠近點(diǎn)A 的三等分點(diǎn)，則AB=?32BP ，所以λ+1=?32 ,解得λ=?52 .
8.設(shè)a ，b 是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量ka+2b 與8a+kb 的方向相反，則k= ?4 .
[解析]由題意知，ka+2b=λ8a+kbλ

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