§4.9　解三角形及其應用舉例考試要求　1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題.3.通過解決實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．知識梳理測量中的幾個有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)東南方向與南偏東45°方向相同．(　　)(2)若△ABC為銳角三角形且A＝，則角B的取值范圍是.(　　)(3)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(　　)(4)俯角是鉛垂線與目標視線所成的角，其范圍為.(　　)教材改編題1.為了在一條河上建一座橋，工人施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B(如圖)，要測量A，B兩點間的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以計算出A，B兩點間的距離為(　　)A．20 m   B．30 mC．40 m   D．50 m2.如圖所示，為測量某樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點之間的距離為60 m，則樹的高度為(　　)A．(30＋30)m   B．(15＋30)mC．(30＋15)m   D．(15＋15)m3．在某次海軍演習中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測得乙護衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護衛(wèi)艦的距離為________海里．題型一　解三角形的應用舉例命題點1　測量距離問題例1 (1)(2023·重慶模擬)一個騎行愛好者從A地出發(fā)，向西騎行了2 km到達B地，然后再由B地向北偏西60°騎行2 km到達C地，再從C地向南偏西30°騎行了5 km到達D地，則A地到D地的直線距離是(　　)A．8 km  B．3 km  C．3 km  D．5 km聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·東北師大附中模擬)為加快推進“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設，如圖，在某市地面有四個5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距離為10 km；基站A，B在江的北岸，測得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則基站A，B的距離為(　　)A．10 km   B．30(－1)kmC．30(－1)km   D．10 km聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2　測量高度問題例2 (1)(2023·青島模擬)如圖甲，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競賽場館，大跳臺的設計中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素．如圖乙，某研究性學習小組為了估算賽道造型最高點A距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)找到一座建筑物CD，測得CD的高度為h，并從C點測得A點的仰角為30°；在賽道與建筑物CD之間的地面上的點E處測得A點，C點的仰角分別為75°和30°(其中B，E，D三點共線)．該學習小組利用這些數(shù)據(jù)估算得AB約為60米，則CD的高h約為(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(　　)A．11米  B．20.8米  C．25.4米  D．31.8米聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史和文化，它時刻撬動著人們認識商丘、走進商丘的欲望．吳斌同學在今年國慶期間到商丘去旅游，經(jīng)過“商”字城雕時，他想利用解三角形的知識測量一下該雕塑的高度(即圖中線段AB的長度)．他在該雕塑塔的正東C處沿著南偏西60°的方向前進7米后到達D處(A，C，D三點在同一個水平面內(nèi))，測得圖中線段AB在東北方向，且測得點B的仰角為71.565°，則該雕塑的高度大約是(參考數(shù)據(jù)：tan 71.565°≈3)(　　)A．19米  B．20米  C．21米  D．22米聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點3　測量角度問題例3 (1)(2023·南通模擬)圖1是南北方向水平放置的圭表(一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成)的示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面．已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻(太陽直射點的緯度為南緯23°26′)，在某地利用一表高為2 dm的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為2.98 dm，則該地的緯度約為北緯(參考數(shù)據(jù)：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)(　　)A．23°26′   B．32°34′C．34°   D．56°聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·無錫模擬)《后漢書·張衡傳》：“陽嘉元年，復造候風地動儀．以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形．中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機．外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之．其牙機巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際．如有地動，尊則振龍，機發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之．振聲激揚，伺者因此覺知．雖一龍發(fā)機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在．驗之以事，合契若神．”如圖為張衡地動儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在相距200 km的A，B兩地各放置一個地動儀，B在A的東偏北60°方向，若A地地動儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東______km.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 解三角形的應用問題的要點(1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素．(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解．跟蹤訓練1 (1)某貨輪在A處測得燈塔B在北偏東75°方向上，距離為12 n mile，測得燈塔C在北偏西30°方向上，距離為8 n mile.貨輪由A處向正北航行到D處時，測得燈塔B在南偏東60°方向上，則下列說法正確的是(　　)A．A處與D處之間的距離是8 n mileB．燈塔C與D處之間的距離是16 n mileC．燈塔C在D處的南偏西30°方向上D．D在燈塔B的北偏西30°方向上(2)落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，則滕王閣的高度OP＝______米．(3)如圖所示，工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點進行測量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A處測得水深AD＝120 m，于B處測得水深BE＝200 m，于C處測得水深CF＝150 m，則cos∠DEF＝________.題型二　解三角形中的最值和范圍問題例4 (2023·九江模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(a2＋c2－b2)＝－2absin C.(1)求角B；(2)若D為AC的中點，且BD＝2，求△ABC面積的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 解三角形中最值(范圍)問題的解題策略利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡整理，構(gòu)造關(guān)于某一個角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍)．跟蹤訓練2 (2023·南京模擬)在①bcos＝ccos B；②2S△ABC＝·，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答．問題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且________．(1)求角B；(2)在△ABC中，b＝2，求△ABC周長的最大值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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