第七章7.3.2　離散型隨機(jī)變量的方差A級 必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一]設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1),則E(X),D(X)的值分別是 (　　)A.0和1 B.p和p2C.p和1-p D.p和(1-p)p2.[探究點一]設(shè)0<a<1,已知隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P若D(X)=,則a=(　　)A. B.C. D.3.[探究點二]由以往的統(tǒng)計資料表明,甲、乙兩名運(yùn)動員在比賽中的得分情況為X1(甲得分)012P0.20.50.3 X2(乙得分)012P0.30.30.4現(xiàn)有一場比賽,應(yīng)派哪位運(yùn)動員參加較好(　　)A.甲 B.乙C.甲、乙均可 D.無法確定4.[探究點一](多選題)已知A1,A2為兩所高校舉行的自主招生考試,某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過的概率均為,該同學(xué)一旦通過某所高校的考試,就不再參加其他高校的考試,設(shè)該同學(xué)通過考試的高校個數(shù)為隨機(jī)變量X,則(　　)A.X的可能取值為0,1 B.X服從兩點分布C.E(X)=1 D.D(X)=5.[探究點二]已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,則對應(yīng)x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分別為　　　　　,　　　　　,　　　　　. 6.[探究點一]設(shè)隨機(jī)變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(X)=　　　　　,D(X)=　　　　　. 7.[探究點一]已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xPp若E(X)=.(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.      B級 關(guān)鍵能力提升練8.已知X的分布列如表所示.X-101P有下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正確的個數(shù)是(　　)A.0 B.1C.2 D.39.設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,隨機(jī)變量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均為0.2,隨機(jī)變量X2取值的概率也均為0.2,若記D(X1),D(X2)分別為X1,X2的方差,則(　　)A.D(X1)>D(X2)B.D(X1)=D(X2)C.D(X1)<D(X2)D.D(X1)與D(X2)的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4的取值有關(guān)10.(多選題)袋內(nèi)有大小完全相同的2個黑球和3個白球,從中不放回地每次任取1個小球,直至取到白球后停止取球,則(　　)A.抽取2次后停止取球的概率為B.停止取球時,取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為C.取球次數(shù)ξ的均值為2D.取球次數(shù)ξ的方差為11.甲、乙、丙三人參加某比賽三個賽區(qū)的志愿服務(wù)活動,若每人只能選擇一個賽區(qū),且選擇其中任何一個賽區(qū)是等可能的.記X為三人選中的賽區(qū)個數(shù),Y為三人沒有選中的賽區(qū)個數(shù),則(　　)A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)12.若X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,則x1+x2的值為　　　　　. 13.已知隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=,則E(ξ)=　　　　　,當(dāng)D(ξ)取最小值時,mn=　　　　　. 14.有甲、乙兩名學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計,他們在解答同一份數(shù)學(xué)試卷時,各自的成績在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示.甲:分?jǐn)?shù)X8090100概率P0.20.60.2乙:分?jǐn)?shù)Y8090100概率P0.40.20.4試分析兩名學(xué)生的成績水平.           15.有10張卡片,其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,從中隨機(jī)地抽出3張卡片,設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X.(1)求X的分布列及方差D(X);(2)若ξ=aX+2,且D(ξ)=33.6,求實數(shù)a的值.C級 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.某迷宮有三個通道,進(jìn)入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門.首次到達(dá)此門,系統(tǒng)會隨機(jī)(即等可能)為你打開一個通道,若是1號通道,則需要1小時走出迷宮;若是2號、3號通道,則分別需要2小時、3小時返回智能門.再次到達(dá)智能門時,系統(tǒng)會隨機(jī)打開一個你未到過的通道,直至走出迷宮為止.令X表示走出迷宮所需的時間.(1)求X的分布列;(2)求X的均值和方差.            參考答案7.3.2　離散型隨機(jī)變量的方差1.D　由X的分布列知,P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,故E(X)=0×(1-p)+1×p=p,易知X服從兩點分布,∴D(X)=p(1-p).2.A　∵E(X)=0×+a×+1×,∴D(X)=[(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2]=(a2-a+1)=,∴4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=.3.A　∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2).則甲比乙得分穩(wěn)定,故派甲運(yùn)動員參加較好.4.ABD　由已知X的可能取值為0,1,且服從兩點分布.P(X=0)=,P(X=1)=,∴E(X)=0×+1×,D(X)=.5.0.4　0.1　0.5　由題意知,解得6.2　8　隨機(jī)變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(Y)=2E(X)+b=4+b.所以E(X)=2.D(Y)=D(2X+b)=4D(X)=32,所以D(X)=8.7.解(1)由+p=1,得p=.又E(X)=0×+1×x=,所以x=2.D(X)=0-2×.(2)因為Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.8.C　E(X)=(-1)×+0×+1×=-,故①正確.D(X)=,故②不正確.由分布列知③正確.9.A　由題意可知E(X1)=E(X2),又由題意可知,X1的波動性較大,從而有D(X1)>D(X2).10.BD　設(shè)取球次數(shù)為ξ,則ξ的可能取值為1,2,3,則P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.對于A選項,抽取2次后停止取球的概率為P(ξ=2)=,A選項錯誤;對于B選項,停止取球時,取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為P(ξ=1)+P(ξ=2)=,B選項正確;對于C選項,取球次數(shù)ξ的均值為E(ξ)=1×+2×+3×,C選項錯誤;對于D選項,取球次數(shù)ξ的方差為D(ξ)=1-2×+2-2×+3-2×,D選項正確.11.D　由題意得X的可能取值為1,2,3,則P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=1×+2×+3×,D(X)=1-2×+2-2×+3-2×.Y的可能取值為0,1,2,則P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,所以E(Y)=0×+1×+2×,D(Y)=0-2×+1-2×+2-2×.故E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故選D.12.3　由已知得即解得又x1<x2,所以所以x1+x2=3.13.　由分布列的性質(zhì)得=1,即m+n=1,.所以E(ξ)=m·+n·,D(ξ)=m-2×+n-2×=m-2×+1-m-2×=m-2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=時,等號成立,此時mn=.14.解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),∴甲生與乙生的成績均值一樣,甲的方差較小,因此甲生的學(xué)習(xí)成績較穩(wěn)定.15.解(1)X的所有可能取值為6,9,12.P(X=6)=,P(X=9)=,P(X=12)=,∴X的分布列為X6912P∴E(X)=6×+9×+12×=7.8,D(X)=(6-7.8)2×+(9-7.8)2×+(12-7.8)2×=3.36.(2)由(1),可知D(ξ)=D(aX+2)=a2D(X)=3.36a2=33.6,解得a=±.16.解(1)X的所有可能取值為1,3,4,6,當(dāng)X=1時,直接從1號通道走出,則P(X=1)=;當(dāng)X=3時,先走2號通道,再走1號通道,則P(X=3)=;當(dāng)X=4時,先走3號通道,再走1號通道,則P(X=4)=;當(dāng)X=6時,先走2號通道,再走3號通道,最后再走1號通道,或者先走3號通道,再走2號通道,最后再走1號通道,則P(X=6)=2××1=.所以X的分布列為X1346P(2)E(X)=1×+3×+4×+6×,D(X)=1-2×+3-2×+4-2×+6-2×. 

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7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

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