第七章7.5　正態(tài)分布(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)A級 必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點二]某廠生產(chǎn)的零件外徑X~N(10,0.04),今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件,測得其外徑分別為9.9 cm,9.3 cm,則可認(rèn)為(　　)A.上午生產(chǎn)情況正常,下午生產(chǎn)情況異常B.上午生產(chǎn)情況異常,下午生產(chǎn)情況正常C.上午、下午生產(chǎn)情況均正常D.上午、下午生產(chǎn)情況均異常2.[探究點一]如圖所示是當(dāng)σ取三個不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線的圖象,那么σ1,σ2,σ3的大小關(guān)系是(　　)A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ33.[探究點二]已知X~N(0,1),則X在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)取值的概率約為(　　)A.0.954 5 B.0.045 5C.0.977 3 D.0.022 754.[探究點二]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,4),若P(m≤X≤104)≈0.135 9,則m等于(　　)A.100 B.101C.102 D.1035.[探究點二]已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.682 7,則σ=　　　　　,P(|X-2|≤4)≈　　　　　. 6.[探究點二]某班有50名學(xué)生,一次考試的數(shù)學(xué)成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為　　　　. 7.[探究點一、二]已知某地外來務(wù)工人員年均收入X服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線如圖所示.(1)寫出此地外來務(wù)工人員年均收入的正態(tài)密度函數(shù)解析式;(2)估計此地外來務(wù)工人員年均收入在8 000~8 500元的人數(shù)所占的百分比.                  8.[探究點二]在某次大型考試中,某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80,52),現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成績在80~85分的有17人,則該班成績在90分以上的同學(xué)約有多少人?             B級 關(guān)鍵能力提升練9.若隨機(jī)變量X的正態(tài)密度函數(shù)為f(x)=,X在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為p1,p2,則p1,p2的關(guān)系為(　　)A.p1>p2 B.p1<p2 C.p1=p2 D.不確定10.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,102),則下列選項不正確的是(　　)A.E(X)=100 B.D(X)=100C.P(X≥90)≈0.841 35 D.P(X≤120)≈0.998 7511.在某市高三質(zhì)量檢測考試中,學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(98,100).已知參加本次考試的全市學(xué)生有9 455人,如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是108分,那么他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第(　　)A.1 500名 B.1 700名 C.4 500名 D.8 000名12.(多選題)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其正態(tài)曲線在(-∞,80]上單調(diào)遞增,在[80,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且P(72≤X≤88)≈0.682 7,則(　　)A.μ=80B.σ=4C.P(X>64)≈0.977 25D.P(64<X<72)≈0.135 913.(多選題)下列說法正確的是(　　)A.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布B6,,則P(X=3)=B.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.9,則P(0≤X≤2)=0.4C.已知隨機(jī)變量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,則P(X>2)的值為D.已知X是一個離散型隨機(jī)變量,則E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+314.已知隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)=,x∈R,則函數(shù)f(x)的極值點為　　　　　,X落在區(qū)間(2,3]上的概率約為　　　　　. 15.[2023廣東佛山二模]某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項指標(biāo)X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚,記Y表示800≤X<801的瓷磚片數(shù),則E(Y)=　　　　　. 16.某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管,質(zhì)檢員從中抽出若干根對其直徑(單位:mm)進(jìn)行測量,得出這批鋼管的直徑X服從正態(tài)分布N(65,4.84).(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢時,測得一根鋼管的直徑為73 mm,他立即要求停止生產(chǎn),檢查設(shè)備,請你根據(jù)所學(xué)知識,判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理,并說明判斷的依據(jù);(2)如果鋼管的直徑X在60.6 mm~69.4 mm之間為合格品(合格品的概率精確到0.01),現(xiàn)要從60根該種鋼管中任意挑選3根,求次品數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.(精確到0.01)       C級 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.某市教育局為了了解高三學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)情況,對全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測試(滿分為100分),經(jīng)分析,全市學(xué)生體能測試成績X服從正態(tài)分布N(80,σ2),已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位同學(xué).(1)求抽到的三位同學(xué)該次體能測試成績在區(qū)間(80,85),(85,95),(95,100)內(nèi)各有一位同學(xué)的概率;(2)記抽到的三位同學(xué)該次體能測試成績在區(qū)間(75,85)內(nèi)的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).        參考答案7.5　正態(tài)分布1.A　因測量值X為隨機(jī)變量,又X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,記I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],則9.9∈I,9.3?I.故選A.2.D　當(dāng)μ=0,σ=1時,正態(tài)曲線f(x)=在x=0處取最大值,故σ2=1.由正態(tài)曲線的性質(zhì),得當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,反之越“矮胖”.故選D.3.D　由題知對應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=0,所以P(X<-2)=0.5-P(-2≤X≤2)≈0.5-×0.9545=0.02275.4.C　∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,4),∴P(98≤X≤102)≈0.6827,P(96≤X≤104)≈0.9545,∴P(102≤X≤104)≈(0.9545-0.6827)=0.1359.又P(m≤X≤104)≈0.1359,∴m=102.5.2　0.84　∵X~N(4,σ2),∴μ=4.∵P(2≤X≤6)≈0.6827,∴∴σ=2.∴P(|X-2|≤4)=P(-2≤X≤6)=P(-2≤X≤2)+P(2≤X≤6)=[P(-2≤X≤10)-P(2≤X≤6)]+P(2≤X≤6)=P(-2≤X≤10)+P(2≤X≤6)≈×0.9973+×0.6827=0.84.6.10　由題意知,P(ξ>110)==0.2,故估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為0.2×50=10.7.解設(shè)此地外來務(wù)工人員年均收入X~N(μ,σ2),結(jié)合題圖可知,μ=8000,σ=500.(1)此地外來務(wù)工人員年均收入的正態(tài)密度函數(shù)解析式為f(x)=,x∈R.(2)∵P(7500≤X≤8500)=P(8000-500≤X≤8000+500)≈0.6827,∴P(8000≤X≤8500)=P(7500≤X≤8500)≈0.34135=34.135%.故此地外來務(wù)工人員年均收入在8000~8500元的人數(shù)所占的百分比約為34.135%.8.解∵成績服從正態(tài)分布N(80,52),∴μ=80,σ=5,則μ-σ=75,μ+σ=85.∴成績在[75,85]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的68.27%,成績在[80,85]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的34.135%.設(shè)該班有x名同學(xué),則34.135%x=17,解得x≈50.∵μ-2σ=70,μ+2σ=90,∴成績在[70,90]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的95.45%,成績在90分以上的同學(xué)約占全班同學(xué)的2.275%.50×2.275%≈1,故估計該班成績在90分以上的同學(xué)有1人.9.C　由題意知μ=0,σ=1,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對稱,所以p1=p2.10.D　∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,102),∴E(X)=μ=100,D(X)=σ2=102=100,故A,B正確;根據(jù)題意可得P(90≤X≤110)≈0.6827,P(80≤X≤120)≈0.9545,∴P(X≥90)≈0.5+×0.6827=0.84135,故C正確;P(X≤120)≈0.5+×0.9545=0.97725,故D錯誤.故選D.11.A　因為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(98,100),所以P(X>108)=[1-P(88≤X≤108)]=[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(1-0.6827)=0.15865.所以0.15865×9455≈1500.12.ACD　因為正態(tài)曲線在(-∞,80]上單調(diào)遞增,在[80,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對稱,所以μ=80,故A正確;因為P(72≤X≤88)≈0.6827,結(jié)合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,可知σ=8,故B錯誤;因為P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,且P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈×(1-0.9545)=×0.0455=0.02275,所以P(X>64)≈0.97725,故C正確;因為P(X<72)=(1-P(72≤X≤88))≈×(1-0.6827)=0.15865,所以P(64<X<72)=P(X>64)-P(X>72)≈0.97725-(1-0.15865)=0.1359,故D正確.13.AB　∵隨機(jī)變量X服從二項分布B6,,則P(X=3)=×3×1-3=,故A正確;∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),∴正態(tài)曲線的對稱軸是直線x=2,∵P(X≤4)=0.9,∴P(2≤X≤4)=0.4,∴P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4)=0.4,故B正確;已知隨機(jī)變量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,則P(X>2)=[1-P(|X|≤2)]=,故C錯誤;已知X是一個離散型隨機(jī)變量,則E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),故D錯誤.14.x=1　0.135 9　由概率分布密度函數(shù)知μ=1,σ=1,所以正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=1對稱,且在x=1處取得最大值.根據(jù)正態(tài)密度曲線的特點可知x=1為f(x)的極大值點.由X~N(1,1)知P(2<X≤3)=[P(-1≤X≤3)-P(0≤X≤2)]=[P(1-2×1≤X≤1+2×1)-P(1-1≤X≤1+1)]≈×(0.9545-0.6827)=0.1359.15.1　由題意,X~N(800,σ2),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線X=800對稱,所以P(X<800)=0.5.因為P(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1.由題意,Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.16.解(1)由題得μ=65,σ=2.2,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,∴P(X>71.6)==0.00135,而73∈(μ+3σ,+∞),此事件為小概率事件,故該質(zhì)檢員的決定有道理.(2)因為μ=65,σ=2.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由題意可知鋼管直徑滿足μ-2σ≤X≤μ+2σ為合格品,所以該批鋼管為合格品的概率約為0.95,所以在60根鋼管中,合格品約57根,次品約3根,任意挑選3根,則次品數(shù)Y的可能取值為0,1,2,3.P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=.則次品數(shù)Y的分布列為Y0123P所以E(Y)=0×+1×+2×+3×=0.15.17.解(1)P(80<X<85)=0.5-P(X<75)=0.2,P(85<X<95)=0.5-0.2-0.1=0.2,故所求概率P=×0.2×0.2×0.1=0.024.(2)P(75<X<85)=1-2P(X<75)=0.4,故ξ~B(3,0.4),P(ξ=0)=0.63=0.216,P(ξ=1)=×0.4×0.62=0.432,P(ξ=2)=×0.42×0.6=0.288,P(ξ=3)=×0.43=0.064.所以隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0123P0.2160.4320.2880.064E(ξ)=3×0.4=1.2. 

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7.5 正態(tài)分布

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