第四章§1　自主數(shù)學(xué)建模的結(jié)題報(bào)告　　　【內(nèi)容概述】數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題的過程.主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng),是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.【數(shù)學(xué)建模】數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的基本過程如下:數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題,開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.具體表現(xiàn)為:發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題,猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng),也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.本專題在必修課程和選擇性必修課程的基礎(chǔ)上,通過具體實(shí)例,建立一些基于數(shù)學(xué)表達(dá)的經(jīng)濟(jì)模型和社會(huì)模型,包括存款貸款模型、投入產(chǎn)出模型、經(jīng)濟(jì)增長模型、凱恩斯模型、生產(chǎn)函數(shù)模型、等級(jí)評(píng)價(jià)模型、人口增長模型、信度評(píng)價(jià)模型等.在教學(xué)活動(dòng)中,要讓學(xué)生知道這些模型形成的背景、數(shù)學(xué)表達(dá)的道理、模型參數(shù)的意義、模型適用的范圍,提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng);知道其中的有些模型(以及模型的衍生)獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的理由,理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提升實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力.【數(shù)學(xué)建模實(shí)例】 實(shí)例1　設(shè)計(jì)的最優(yōu)化問題[問題情境]如圖,高新區(qū)某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所,它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為400 m2的十字形地域.計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇,造價(jià)為8 400元/m2;在四個(gè)相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪花崗巖地坪,造價(jià)為420元/m2;再在四個(gè)空角(圖中四個(gè)三角形)上鋪草坪,造價(jià)為160元/m2.設(shè)總造價(jià)為y(單位:元),AD長為x(單位:m).(1)用x表示AM的長度,并求x的取值范圍;(2)當(dāng)x為何值時(shí),總造價(jià)y最小?并求出這個(gè)最小值.[分析]本題涉及如何進(jìn)行設(shè)計(jì)可以達(dá)到效益的最大化,只需根據(jù)題目的條件建立相應(yīng)的函數(shù)模型然后求解模型即可.(1)根據(jù)已知條件,結(jié)合矩形的面積公式,以及AM>0,即可求解;(2)根據(jù)已知條件,結(jié)合基本不等式,即可求解.實(shí)例2　鞋子尺碼問題[情境] 網(wǎng)上購鞋常?？吹较旅娴谋砀?腳長與鞋號(hào)對(duì)應(yīng)表請(qǐng)解決下面的問題:(1)找出滿足表中對(duì)應(yīng)規(guī)律的計(jì)算公式,通過實(shí)際腳長a計(jì)算出鞋號(hào)b;(2)根據(jù)計(jì)算公式,計(jì)算30號(hào)童鞋所對(duì)應(yīng)的腳長是多少?(3)如果一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員的腳長為282 mm,根據(jù)計(jì)算公式,他該穿多大號(hào)的鞋?[分析] 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的一個(gè)基本表現(xiàn),就是能夠針對(duì)具體的數(shù)據(jù),選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系,解決實(shí)際問題.[解] (1)構(gòu)建數(shù)據(jù)表,利用計(jì)算工具的電子表格作出散點(diǎn)圖,選擇幾種函數(shù)模型進(jìn)行擬合;對(duì)比擬合結(jié)果,發(fā)現(xiàn)線性函數(shù)的擬合效果最好,進(jìn)而確定計(jì)算公式是一個(gè)線性模型,最后確定模型中的參數(shù),如表所示.然后建立關(guān)系式b=0.2a-10.(2)令b=30,代入公式b=0.2a-10,得a=200,腳的長度為200 mm.(3)當(dāng)a=282時(shí),代入公式b=0.2a-10,解得b=46.4,所以分兩種情況:如果簡(jiǎn)單地進(jìn)行“四舍五入”,那么選46號(hào)鞋;如果想穿鞋不擠腳,可以選47號(hào)鞋.【跟蹤訓(xùn)練】 [情境] 為了實(shí)現(xiàn)綠色發(fā)展,避免浪費(fèi)能源,某市政府計(jì)劃對(duì)居民用電采用階梯收費(fèi)的方法.為此,相關(guān)部門在該市隨機(jī)調(diào)查了200戶居民六月份的用電量(單位:kW·h),以了解這個(gè)城市家庭用電量的情況.數(shù)據(jù)如下:根據(jù)以上數(shù)據(jù),應(yīng)當(dāng)如何確定階梯電價(jià)中的電量臨界值,才能使得電價(jià)更為合理?[分析] 選取六月份調(diào)查,是因?yàn)檫@個(gè)城市六月份的部分時(shí)間需要使用空調(diào),因此六月份的用電量在一年12個(gè)月中處于中等偏上水平.如果階梯電價(jià)臨界值的確定依賴于居民月用電量的分布,例如計(jì)劃實(shí)施3階的階梯電價(jià),有人給出一個(gè)分布如下:75%用戶在第一檔(最低一檔),20%用戶在第二檔,5%用戶在第三檔(最高一檔).這樣,需要通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)第一檔與第二檔、第二檔與第三檔的兩個(gè)電量臨界值,即75%和95%這兩個(gè)電量臨界值.通過樣本估計(jì)總體百分位數(shù)的要領(lǐng)是對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行排序,得到有序樣本(在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱之為順序統(tǒng)計(jì)量).[解]利用電子表格軟件,對(duì)上面的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行排序,可以得到下面的結(jié)果: 樣本數(shù)據(jù)總共有200個(gè),最小值是8,最大值是626,說明200戶居民六月份的最小用電量為8 kW·h,最大用電量為626 kW·h,極差為618.因?yàn)閿?shù)據(jù)量是200,所以這組數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)就是有序樣本第100個(gè)數(shù)130和第101個(gè)數(shù)130的平均數(shù),即130,說明這個(gè)城市六月份居民用電量的中間水平大約在130 kW·h.下面確定75%和95%這兩個(gè)電量臨界值.類似中位數(shù)的計(jì)算,因?yàn)?00×75%= 150,所以第一個(gè)臨界值為有序樣本中第150個(gè)數(shù)178和第151個(gè)數(shù)178的平均數(shù),仍然是178.因?yàn)?00×95%=190,所以第二個(gè)臨界值為有序樣本中第190個(gè)數(shù)289和第191個(gè)數(shù)304的平均數(shù),這個(gè)平均數(shù)為296.5(因?yàn)槭菍?duì)百分位數(shù)的估計(jì),為了便于操作可以取值為297).依據(jù)確定了的電量臨界值,階梯電價(jià)可以規(guī)定如下:用戶每月用電量不超過178 kW·h(或每年用電量不超過2 136 kW·h),按第一檔電價(jià)標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi);每月用電量(單位:kW·h)在區(qū)間(178,297]內(nèi)(或每年用電量在區(qū)間(2 136,3 564]內(nèi)),其中的178 kW·h按第一檔電價(jià)標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi),超過178 kW·h的部分按第二檔電價(jià)標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi);每月用電量超過297 kW·h(或每年用電量超過3 564 kW·h),其中的178 kW·h按第一檔電價(jià)標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi),(297-178)=119 kW·h按第二檔電價(jià)標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi),超過297 kW·h的部分按第三檔電價(jià)標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi).社會(huì)上對(duì)這種制定階梯電價(jià)的原則和方法存在不同意見,教師可以引導(dǎo)學(xué)生討論制定合理階梯電價(jià)的原則和方法.

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