第四章　對數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)§1　對數(shù)的概念知識探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一[問題1] 某種細(xì)胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……依此類推,那么1個這樣的細(xì)胞分裂x次得到細(xì)胞個數(shù)N是多少?分裂多少次得到細(xì)胞的個數(shù)為8個、256個?如果已知細(xì)胞分裂后的個數(shù)為N,如何求分裂次數(shù)呢?對數(shù)的概念提示:2x個,3次,8次;由2x=N可知當(dāng)N已知時,x的值即為分裂次數(shù).知識點(diǎn)1:對數(shù)的概念(1)一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次冪等于N,即ab=N,那么數(shù)b稱為以a為底N的對數(shù),記作logaN=b.其中a叫作對數(shù)的 ,N叫作 .底數(shù)真數(shù)(2)ax=N?x= .(3)常用對數(shù):以10為底數(shù)的對數(shù),記作lg N.自然對數(shù):以無理數(shù)e≈2.718 281…為底數(shù)的對數(shù),記作 ln N.logaN[思考1-1] 在ax=N(a>0,且a≠1)中隱含著幾種運(yùn)算?分別是什么運(yùn)算?提示:在ax=N中,隱含著3種運(yùn)算.如果已知x和N,求a叫作開方運(yùn)算;如果已知x和a,求N叫作冪運(yùn)算;如果已知a和N,求x叫作對數(shù)運(yùn)算.提示:指數(shù)式與對數(shù)式中,三者間關(guān)系如圖所示:[思考1-2] 指數(shù)式ax=N中底數(shù)、指數(shù)、冪與對數(shù)式x=logaN中底數(shù)、對數(shù)、真數(shù)有什么關(guān)系?只需把握一句話:底數(shù)不變指數(shù)即對數(shù).[例1-1] 將下列對(或指)數(shù)式化成指(或?qū)?數(shù)式:(2)因?yàn)閘ogx64=-6,所以x-6=64.變式訓(xùn)練1-1:(多選題)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的有(　　)方法總結(jié)(1)利用對數(shù)與指數(shù)間的互化關(guān)系時,要注意各字母位置的對應(yīng)關(guān)系,其中兩式中的底數(shù)是相同的.(2)并非任何指數(shù)式都可以直接化為對數(shù)式,如(-3)2=9就不能直接寫成log(-3)9=2,只有符合a>0,a≠1且N>0時,才有ax=N?x=logaN.[例1-2] 求下列各式中x的取值范圍.變式訓(xùn)練1-2:求下列各式中x的取值范圍.(1)lg(x+2)2;(2)log(1-2x)(3x+2).解:(1)由(x+2)2>0得x≠-2,故x的取值范圍是{x|x∈R且x≠-2}.方法總結(jié)對數(shù)式中要求真數(shù)大于0,底數(shù)不但要大于0,而且不能等于1.[例1-3] 求下列各式中的x的值:(3)10x=100=102,于是x=2.(4)由-ln e2=x,得-x=ln e2,即e-x=e2,所以x=-2.方法總結(jié)求對數(shù)式logaN(a>0,且a≠1,N>0)的值的步驟(1)設(shè)logaN=m;(2)將logaN=m寫成指數(shù)式am=N;(3)將N寫成以a為底的指數(shù)冪N=ab,則m=b,即logaN=b.探究點(diǎn)二對數(shù)的性質(zhì)[問題2] 已知a>0且a≠1,試把a(bǔ)1=a,a0=1改寫成對數(shù)式;試問0和負(fù)數(shù)有對數(shù)嗎?為什么?提示:a1=a?logaa=1;a0=1?loga1=0;0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù),這是因?yàn)閍x>0.知識點(diǎn)2:對數(shù)的性質(zhì)(1) 和 沒有對數(shù).(2)loga1=0.(3)logaa=1.負(fù)數(shù)0[例2] 求下列各式中x的值.(1)log2(log5x)=0;(2)log3(lg x)=1;(3)log3(log4(log5x))=0.解:(1)因?yàn)閘og2(log5x)=0,所以log5x=20=1,所以x=51=5.(2)因?yàn)閘og3(lg x)=1,所以lg x=31=3,所以x=103=1 000.(3)由log3(log4(log5x))=0可得log4(log5x)=1,故log5x=4,所以x=54=625.變式訓(xùn)練2-1:本例(3)中若將“l(fā)og3(log4(log5x))=0”改為“l(fā)og3(log4(log5x))=1”,又如何求解x呢?解:由log3(log4(log5x))=1可得log4(log5x)=3,則log5x=43=64,所以x=564.方法總結(jié)利用對數(shù)性質(zhì)求解的兩類問題的解法(1)求多重對數(shù)式的值,解題方法是由內(nèi)到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.(2)已知多重對數(shù)式的值,求變量值,應(yīng)從外到內(nèi)求,逐步脫去“l(fā)og”后再求解.探究點(diǎn)三對數(shù)恒等式[問題3] 我們知道ax=N　①,如果把①改寫成對數(shù)式為x=logaN?、?那么如果把②代入①能得到什么呢?知識點(diǎn)3:對數(shù)恒等式[例3] 求下列各式的值:變式訓(xùn)練3-1:已知f(x)=2x,則f(2+log23)=　　　　.?答案:12方法總結(jié)點(diǎn)擊進(jìn)入 課時訓(xùn)練·分層突破

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