【教學(xué)目標(biāo)】


重點(diǎn)、難點(diǎn)


1、理解函數(shù)的概念；（重點(diǎn)）


2、會(huì)求函數(shù)的定義域；（重點(diǎn)）


3、在集合對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念，并能應(yīng)用函數(shù)的有關(guān)概念解題。（難點(diǎn)）


學(xué)科素養(yǎng)


通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；


通過(guò)求函數(shù)的定義域、值域等問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。


【知識(shí)清單】


函數(shù)的有關(guān)概念


一般地，給定兩個(gè) 實(shí)數(shù)集A與B，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f，如果對(duì)于集合A中的 實(shí)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有 的實(shí)數(shù)y＝f(x)與x對(duì)應(yīng)，則稱f為定義在集合A上的一個(gè)函數(shù)，記作： 。


其中x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為這個(gè)函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值組成的集合 ，稱為函數(shù)的值域．


函數(shù)的三要素


， ，


3.同一個(gè)函數(shù)


如果兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的函數(shù) 相同， 也相同(即對(duì)自變量的每一個(gè)值，兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得到的函數(shù)值都相等)，則稱這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的就是同一個(gè)函數(shù)．


【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】


1．下列三個(gè)說(shuō)法：


①若函數(shù)的值域只含有一個(gè)元素，則定義域也只含有一個(gè)元素；


②若f(x)＝5(x∈R)，則f(π)＝5一定成立；


③函數(shù)就是兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．


其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為( )


A．0 B．1 C．2 D．3


2.如圖可作為函數(shù)y＝f(x)的圖像的是( )





【經(jīng)典例題】


題型一 函數(shù)的概念


【例1】下列對(duì)應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的有________．(填序號(hào))





①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；


②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖；


③A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x－2)；


④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(2x－1).


題型二 求函數(shù)的定義域


【例2】求下列函數(shù)的定義域．


(1)f(x)＝eq \f(\r(3,x－8),\r(3x－2))； (2)f(x)＝eq \r(x＋1)＋eq \f(1,2－x)； (3)f(x)＝eq \r(x＋4)＋x0＋eq \f(1,x＋2)；














題型三 求函數(shù)值


【例3】已知f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝x＋1


(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；（2）求f(g(3))的值











題型三 判斷是否為同一個(gè)函數(shù)


【例4】下列各組函數(shù)：


①f(x)＝eq \f(x2－x,x)，g(x)＝x－1；②f(x)＝eq \f(\r(x),x)，g(x)＝eq \f(x,\r(x))；


③f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(1－x)，g(x)＝eq \r(1－x2)；④f(x)＝eq \r(（x＋3）2)，g(x)＝x＋3.


其中表示同一個(gè)函數(shù)的是________(填上所有同一個(gè)函數(shù)的序號(hào))．





【課堂達(dá)標(biāo)】


1．若f(x)＝eq \r(x＋1)，則f(3)＝( )


A．2 B．4


C．2eq \r(2) D．10


2．下列圖象表示函數(shù)圖象的是( )





3.下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是( )


A．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2) B．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝(eq \r(x))2


C．f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)，g(x)＝eq \r(x2－1).


4.已知，則等于（ ）


A．B．C．D．


5.函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)數(shù)目是（ ）


A．1B．0C．0或1D．1或2


6.（多選題）已知，則下列結(jié)論正確的是( )


A．B．C． D．


7．已知，則______________.


8．若函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，則的值為_(kāi)___________.


9.已知函數(shù)f(x)＝eq \f(6,x－1)－eq \r(x＋4).


(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f(－1)，f(12)的值．




















【能力提升】


1．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）


A．與B．與


C．與 D．與


2．函數(shù)的定義域?yàn)? )


A．且B．且


C． D．


3．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋? ）


A．B．C．D．


4．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)（ ）


A．B．C．2D．9


5．下列函數(shù)中，不滿足：的是（ ）


A．B．C．D．


6．（多選題）下列說(shuō)法正確的是（ ）


A．函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)在定義域中一定只有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)


B．函數(shù)的定義域和值域可以是空集


C．函數(shù)的定義域和值域一定是數(shù)集


D．函數(shù)的定義域和值域確定后，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也就確定了


E.函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了


7．（多選題）下列各組函數(shù)表示不同函數(shù)的是（ ）


A．，B．，


C．，D．，


E.，


8．若函數(shù)的定義域?yàn)閇－2，2]，則函數(shù)的定義域?yàn)?______．


9．下列對(duì)應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的序號(hào)為_(kāi)_______.


①，；


②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖：





③，；


④，.


10．設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是________.





11．已知函數(shù)


（1）求函數(shù)的定義域；（2）求的值；


（3）求的值（其中且）.











12．已知函數(shù).


（1）求，的值；


（2）求證：是定值；


（3）求的值．

















13．(1)已知函數(shù)f(x)的定義域是[1，5]，求函數(shù)f(x2＋1)的定義域.


(2)已知函數(shù)f(2x2－1)的定義域是[1，5]，求f(x)的定義域.



























































【參考答案】


【知識(shí)清單】


1. 非空，每一個(gè)，唯一確定，y＝f(x)，x∈A，{y∈B|y＝f(x)，x∈A}


2.定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域


3.定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系


【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】


1.(2)①錯(cuò)誤．若函數(shù)的值域只含有一個(gè)元素，則定義域不一定只含有一個(gè)元素；


②正確．因?yàn)閒(x)＝5，這個(gè)數(shù)值不隨x的變化而變化，所以f(π)＝5；


③錯(cuò)誤．函數(shù)就是兩個(gè)非空數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．


2.觀察圖像可知，A，B，C中任取一個(gè)x的值，y有可能有多個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)圖像．D中圖像是函數(shù)圖像．


【經(jīng)典例題】


例1、答案：②


解析：對(duì)于①項(xiàng)，x2＋y2＝1可化為y＝±eq \r(1－x2)，顯然對(duì)任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．對(duì)于②項(xiàng)，符合函數(shù)的定義．對(duì)于③項(xiàng)，2∈A，但在集合B中找不到與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)，故不符合．對(duì)于④項(xiàng)，－1∈A，但在集合B中找不到與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)，故不符合．


例2、[解析] (1)要使f(x)有意義，則有3x－2>0，∴x>eq \f(2,3)，


即f(x)的定義域?yàn)閑q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)).


(2)要使f(x)有意義，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,2－x≠0))?x≥－1且x≠2，


即f(x)的定義域?yàn)閇－1,2)∪(2，＋∞)．


(3)要使f(x)有意義，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4≥0，,x≠0，,x＋2≠0，))


解得x≥－4且x≠0，x≠－2，


即f(x)的定義域?yàn)閇－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．


例3、[解析] (1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，f(a)＝a2－4a＋2，


f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.


(2)g(3)＝3＋1＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.


例4、【答案】 (1)B (2)③


解析：


①定義域不同，f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，g(x)的定義域?yàn)镽.


②對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，f(x)＝eq \f(1,\r(x))，g(x)＝eq \r(x).


③定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同．


④對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.


綜上，只有③中兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)．


[課堂達(dá)標(biāo)]


1．答案：A.


【解析】


因?yàn)閒(x)＝eq \r(x＋1)，所以f(3)＝eq \r(3＋1)＝2.


2．答案：C


【解析】


根據(jù)函數(shù)定義知，對(duì)定義域內(nèi)的任意變量x，都有唯一的函數(shù)值y和它對(duì)應(yīng)，即作垂直x軸的直線與圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)(有一個(gè)交點(diǎn)即x是定義域內(nèi)的一個(gè)變量，無(wú)交點(diǎn)即x不是定義域內(nèi)的變量)．顯然，只有答案C中圖象符合．


3.答案：A


【解析】


A中定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是同一函數(shù)；B中定義域不同；C中定義域不同；D中定義域不同．


4.B


【解析】


【分析】


直接代入化簡(jiǎn)求解即可.


【詳解】


解：因?yàn)?，所以?br/>

故選：B


【點(diǎn)睛】


此題考查由已知函數(shù)的解析式求復(fù)合函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.


5.C


【解析】


【分析】


根據(jù)函數(shù)概念即可判斷選擇.


【詳解】


由函數(shù)概念得：對(duì)應(yīng)定義域內(nèi)每一個(gè)自變量有且僅有一個(gè)函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，


即當(dāng)在定義域內(nèi)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)有且僅有一個(gè)，


當(dāng)不在定義域內(nèi)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線沒(méi)有交點(diǎn)，


所以函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)數(shù)目是0或1，


故選：C


【點(diǎn)睛】


本題考查函數(shù)概念，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.


6.BD


【解析】


【分析】


利用換元法求出的解析式，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證，即可得答案.


【詳解】


令，∴.


∴.


故選：BD.


【點(diǎn)睛】


本題考查換元法求函數(shù)的解析式、函數(shù)值的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.


7.8


【解析】


【分析】


先用換元法求出函數(shù)解析式，再計(jì)算函數(shù)值．


【詳解】


，則，代入得：


，∴，


∴．


故答案為：8．


【點(diǎn)睛】


本題考查求函數(shù)解析式，求函數(shù)值，解題方法是換元法．另解：令，則，∴．


8．


【解析】


【分析】


將代入計(jì)算，再將代入即可得結(jié)果.


【詳解】


.


故答案為：


【點(diǎn)睛】


本題考查函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題.


9.【解析】


(1)根據(jù)題意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?br/>

[－4，1)∪(1，＋∞)．


(2)f(－1)＝eq \f(6,－2)－eq \r(－1＋4)＝－3－eq \r(3).


f(12)＝eq \f(6,12－1)－eq \r(12＋4)＝eq \f(6,11)－4＝－eq \f(38,11).


【能力提升】


1．B


【解析】


試題分析：取，由圖象可知，此時(shí)注水量大于容器容積的，故選B.


考點(diǎn)：函數(shù)圖像．


2．A


【解析】


【分析】


由公路上行駛的汽車，每個(gè)行駛的時(shí)間，都有唯一的速度對(duì)應(yīng)，結(jié)合函數(shù)的概念，即可求解.


【詳解】


由題意，公路上行駛的汽車，每個(gè)行駛的時(shí)間，都有唯一的速度，


所以兩個(gè)變量“時(shí)間”與“速度”之間是函數(shù)關(guān)系.


故選：A.


【點(diǎn)睛】


本題主要考查了函數(shù)概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的基本概念，合理判定是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.


3．（1）距離地面的高度，溫度；（2）t＝﹣6h+20；（3）﹣22℃


【解析】


【分析】


（1）由于溫度是隨高度的變化而變化的，所以自變量是距離地面的高度，因變量是溫度，


（2）由表中的數(shù)據(jù)可知，高度每增加1千米，溫度降低6℃，所以兩個(gè)變量之間是一次函數(shù)的關(guān)系，所以利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式；


（3）直接用（2）中得到的關(guān)系式求解


【詳解】


（1）由圖可知，


表中自變量是距離地面的高度，因變量是溫度，


（2）設(shè)t＝kh+b，


則， 得，


即h與t關(guān)系是：t＝﹣6h+20；


（3）當(dāng)h＝7時(shí)，t＝﹣6×7+20＝﹣22（℃）．


所以距離地面7千米的高空溫度是﹣22℃


【點(diǎn)睛】


此題考查了兩變量間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.


4．（1）隨著單價(jià)的提高，日銷售量在減少，銷售單價(jià)每提高1元，日銷售量減少40桶，銷售單價(jià)與日銷售量之間為函數(shù)關(guān)系；（2）單價(jià)確定為11.5元，獲得最大利潤(rùn)為1490元.


【解析】


【分析】


（1）由銷售單價(jià)與日銷售量的表格可知，銷售單價(jià)與日銷量成函數(shù)關(guān)系；


（2）先求解出日銷售量與銷售單價(jià)的函數(shù)關(guān)系式，再列出利潤(rùn)關(guān)于的解析式，然后確定利潤(rùn)最值及利潤(rùn)最大時(shí)銷售單價(jià)的值.


【詳解】


（1）隨著單價(jià)的提高，日銷售量在減少，銷售單價(jià)每提高1元，日銷售量減少40桶，銷售單價(jià)與日銷售量之間為函數(shù)關(guān)系；


（2）設(shè)銷售單價(jià)為元，獲得的利潤(rùn)為元.設(shè)日銷售量滿足：，


由圖表可知，日銷售量為：，解得，，


即，


根據(jù)題意得，


即


當(dāng)時(shí)，


所以單價(jià)確定為11.5元，獲得最大利潤(rùn)為1490元.


【點(diǎn)睛】


本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查學(xué)生處理問(wèn)題分析問(wèn)題的能力，難度一般.解答時(shí)，關(guān)鍵在于列出利潤(rùn)關(guān)于銷售單價(jià)的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值.


5．（1）共行駛了22分鐘，期間的最大速度為80千米/小時(shí)，有4個(gè)時(shí)間點(diǎn)車速為20千米/小時(shí)；（2）函數(shù)關(guān)系式，發(fā)12分鐘時(shí)車速為20千米/小時(shí).


【解析】


【分析】


（1）根據(jù)某輛汽車的行駛情況記錄的函數(shù)圖象，可得該汽車共行駛時(shí)間，以及最大速度和車速為20千米/小時(shí)的時(shí)間點(diǎn)，得到答案；


（2）在出發(fā)10分鐘到18分鐘這段時(shí)間中，設(shè)為，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)列出方程組，即可求得速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得到答案.


【詳解】


（1）根據(jù)某輛汽車的行駛情況記錄的函數(shù)圖象，可得該汽車共行駛了分鐘，


期間的最大速度為80千米/小時(shí)，有4個(gè)時(shí)間點(diǎn)車速為20千米/小時(shí)；


（2）在出發(fā)10分鐘到18分鐘這段時(shí)間中，速度與時(shí)間是一次函數(shù)關(guān)系，


設(shè)為，


由圖表中的數(shù)據(jù)，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，


代入得，解得，


所以速度(千米/小時(shí))與時(shí)間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式：，其中


當(dāng)時(shí)，即，解得，即出發(fā)12分鐘時(shí)車速為20千米/小時(shí).


【點(diǎn)睛】


本題主要考查了一次函數(shù)的解析式的求解，以及函數(shù)的圖象的識(shí)別與應(yīng)用，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.












































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數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)1 對(duì)數(shù)的概念導(dǎo)學(xué)案

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

3.1 指數(shù)函數(shù)的概念

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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