§2　對(duì)數(shù)的運(yùn)算2.1　對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)2.2　換底公式核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).2.能運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明.3.了解對(duì)數(shù)的換底公式.1.通過(guò)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.通過(guò)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式的推導(dǎo),培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).　對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)[問(wèn)題1] (1)計(jì)算log24,log28及l(fā)og232的值,你能分析一下三者存在怎樣的運(yùn)算關(guān)系嗎?(2)計(jì)算lg 10,lg 100,lg 1 000及l(fā)g 104的值,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?提示:(1)因?yàn)閘og24=2,log28=3,log232=5,所以log24+log28=log2(4×8)=log232;log232-log28=log2=log24;log232-log24=log2=log28.(2)lg 10=1,lg 100=lg 102=2,lg 1 000=lg 103=3,lg 104=4,可見(jiàn)lg 10n=nlg 10=n.知識(shí)點(diǎn)1:對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R則(1)loga(M·N)=logaM+logaN.(2)loga=logaM-logaN.(3)logaMb=blogaM.[例1] 化簡(jiǎn)下列各式:(1)4lg 2+3lg 5-lg ;(2)2log32-log3+log38-;(3)log2(1++)+log2(1+-).解:(1)原式=lg =lg(24×54)=lg(2×5)4=4.(2)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-3=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.(3)原式=log2[(1++)(1+-)]=log2[(1+)2-()2]=log2=.變式訓(xùn)練1-1:計(jì)算:(1)lo27+lg 4+lg 25;(2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06.解:(1)原式=lo()6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2+lg 5)=8.(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.(1)本題主要考查對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與計(jì)算.解決這類問(wèn)題一般有兩種思路:一是將式中真數(shù)的積、商、冪、方根運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將它們化為對(duì)數(shù)的和、差、積、商,然后化簡(jiǎn)求值;二是將式中對(duì)數(shù)的和、差、積、商逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化為真數(shù)的積、商、冪、方根,然后化簡(jiǎn)求值.(2)對(duì)數(shù)計(jì)算問(wèn)題中,涉及l(fā)g 2,lg 5時(shí),常利用lg 2+lg 5=1及l(fā)g 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2等解題.　換底公式及導(dǎo)出公式[問(wèn)題2] (1)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,你能利用ln 2,ln 3的值求log23的值嗎?(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,你能用以a為底的對(duì)數(shù)logaN,logab表示logbN嗎(a>0,b>0,N>0,且a≠1,b≠1)?提示:(1)令log23=x,所以2x=3,所以ln 2x=ln 3,所以xln 2=ln 3,x=,即log23=.(2)設(shè)logbN=x,那么bx=N,兩邊同時(shí)取以a為底的對(duì)數(shù)得xlogab=logaN,所以x=,即logbN=.知識(shí)點(diǎn)2:換底公式及導(dǎo)出公式(1)換底公式:logab=(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1).(2)logab=.(3)logaN=loNn.(4)logaN=loNn.探究角度1　用已知對(duì)數(shù)式表示對(duì)數(shù)值[例2] 已知log37=a,2b=3,試用a,b表示log1456.解:因?yàn)?b=3,所以b=log23,即log32=,log1456=====.變式訓(xùn)練2-1:若把本例中條件“2b=3”換為“3b=2”,其他條件不變,用a,b表示log1456.解:因?yàn)?b=2,所以b=log32,又因?yàn)閍=log37,所以log1456====.變式訓(xùn)練2-2:本例中a不變,b=log36,試用a,b表示log1456.解:因?yàn)閘og36=log33+log32=b,所以log32=b-1.又因?yàn)閘og37=a,所以log1456==.用已知對(duì)數(shù)式的值表示不同底數(shù)的對(duì)數(shù)值,首先將待求式用換底公式表示為已知對(duì)數(shù)式的底數(shù)的對(duì)數(shù),然后將真數(shù)統(tǒng)一為已知對(duì)數(shù)的真數(shù)的乘積的形式.探究角度2　應(yīng)用換底公式求值[例3] 計(jì)算:(1)log1627·log8132;(2).解:(1)log1627·log8132=×=×=×=.(2)原式=×=lo×lo9=×=×=-.變式訓(xùn)練3-1:計(jì)算:(1)(log43+log83)·;(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78.解:(1)原式=(+)·=·+·=+=.(2)原式=·····===3.(1)換底公式的作用是將不同底數(shù)的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的對(duì)數(shù)式,將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)來(lái)運(yùn)算.要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用.(2)當(dāng)一個(gè)題目中同時(shí)出現(xiàn)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí),一般需要統(tǒng)一成一種表達(dá)形式.對(duì)數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[典例] 若a,b是正數(shù),且3a=5b=c,比較3a與5b的大小.試題情境:課程學(xué)習(xí)情境.必備知識(shí):對(duì)數(shù)的概念,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).關(guān)鍵能力:邏輯思維能力,運(yùn)算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算.解:因?yàn)?a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,所以3a-5b=3log3c-5log5c=-==<0,所以3a<5b.[素養(yǎng)演練] 已知lg 2=a,lg 3=b,試用a,b表示log125.解:由lg 2=a,lg 3=b,可得log125====.[例1] 計(jì)算:log29·log34;解:由換底公式可得,log29·log34=·=·=4.[例2] 解對(duì)數(shù)方程:logx4+log2x=3.解:由logx4+log2x=3,得2logx2+log2x-3=0,令log2x=t,得+t-3=0,即t2-3t+2=0,解得t=1或t=2.當(dāng)t=1時(shí),可得log2x=1,即x=2;當(dāng)t=2時(shí),可得log2x=2,即x=4.經(jīng)檢驗(yàn)x=2,x=4均符合題意,故原方程的解為x=2或x=4.基礎(chǔ)鞏固知識(shí)點(diǎn)一:對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.若ab>0,給出下列四個(gè)等式:①lg(ab)=lg a+lg b;②lg =lg a-lg b;③lg ()2=lg ;④lg(ab)=.其中一定成立的等式的序號(hào)是(　D　)(A)①②③④ (B)①②(C)③④    (D)③解析:當(dāng)a<0,b<0時(shí),①②不成立,所以①②中的等式不一定成立;因?yàn)閍b>0,所以>0,lg ()2=×2lg =lg ,所以③中等式一定成立;當(dāng)ab=1時(shí),lg(ab)=0,但logab10無(wú)意義,所以④中等式不一定成立.故選D.2. log242+log243+log244等于(　A　)(A)1 (B)2 (C)24   (D)解析:原式=log24(2×3×4)=log2424=1.故選A.3.已知a=log23,b=log25,則log415=(　D　)(A)2a+2b (B)a+b(C)ab    (D)a+b解析:log415=log215=(log23+log25)=a+b.故選D.4.lg 2+=　　　　. 解析:lg 2+=lg 2+lg 5=lg 10=1.答案:1知識(shí)點(diǎn)二:換底公式5.計(jì)算:log2·log3·log5=　　　　. 解析:原式=··==-12.答案:-126.設(shè)a=log23,則4a=　    　　　(用數(shù)值表示),=　     　　　.(用a表示) 解析:因?yàn)閍=log23,所以4a===9.=log436=log26=log2(2×3)=log22+log23=1+a.答案:9　1+a能力提升7.已知2x=3,log2=y,則2x+y=(　A　)(A)3 (B)4 (C)8 (D)9解析:2x=3?x=log23,y=log2,所以2x+y=2log23+log2=log2(32×)=log28=3.故選A.8.設(shè)lg 3=a,lg 5=b,則log212的值為(　C　)(A)     (B)(C)     (D)解析:log212=====.故選C.9.2loga(2M-N)=logaM+logaN,則的值為(　C　)(A) (B)4 (C)1 (D)或1解析:由2loga(2M-N)=logaM+logaN,可得loga(2M-N)2=logaMN,其中2M-N>0,M>0,N>0,則(2M-N)2=MN,整理得4M2-5MN+N2=0,即4()2-+1=0,解得=1或=.又因?yàn)?M-N>0,可得>,所以=1.故選C.10.(多選題)已知3a=5b=15,則a,b滿足下列關(guān)系式中的(　ABD　)(A)ab>4 (B)a+b>4(C)a2+b2<4 (D)(a+1)2+(b+1)2>16解析:由題意知a=log315=1+log35,b=log515=1+log53,所以=+=log153+log155=1,即a+b=ab.因?yàn)閍+b=2+log35+>2+2=4,所以a+b=ab>4,a2+b2=(a+b)2-2ab=(ab)2-2ab=(ab-1)2-1>8,(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=(ab)2+2>18>16.故選ABD.11.已知5a=3,3b=2,則log510-ab=　　           　　.解析:因?yàn)?a=3,所以a=log53,同理b=log32.所以ab=log53·log32=log53·=log52,所以log510-ab=log510-log52=log5=log55=1.答案:112.計(jì)算下列各式的值:(1)lg 2+lg 50;(2);(3)+()+lg 20-lg 2-log32·log23+.解:(1)lg 2+lg 50=lg 100=lg 102=2.(2)==×=2×=.(3)+()+lg 20-lg 2-log32·log23+=++lg 10-1+=1+1-1+1=2.13.已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.解:因?yàn)?8b=5,所以log185=b.所以log3645======.應(yīng)用創(chuàng)新14.已知2y·logy4-2y-1=0,·log5x=-1,試問(wèn)是否存在一個(gè)正數(shù)P,使得P=?解:由2y·logy4-2y-1=0得2y(logy4-)=0,所以logy4=,即y=16.由·log5x=-1得=-,則=-logx5>0.(logx5+1)=(-logx5)2,整理得2(logx5)2-logx5-1=0,解得logx5=-(logx5=1舍去),所以=25.所以P===3,即存在一個(gè)正數(shù)P=3,使得P=成立.

英語(yǔ)朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

本章綜合與測(cè)試

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部