專題19.1 函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)【九大題型】 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc25425" 【題型1 常量與變量的確定】  PAGEREF _Toc25425 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc2191" 【題型2 函數(shù)的概念】  PAGEREF _Toc2191 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc32069" 【題型3 用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖像】  PAGEREF _Toc32069 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc24131" 【題型4 自變量取值范圍的確定】  PAGEREF _Toc24131 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc30875" 【題型5 函數(shù)的解析式的確定】  PAGEREF _Toc30875 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc16777" 【題型7 函數(shù)圖像的識(shí)別】  PAGEREF _Toc16777 \h 16  HYPERLINK \l "_Toc28428" 【題型8 從函數(shù)的圖像獲取信息】  PAGEREF _Toc28428 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc7436" 【題型9 動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象】  PAGEREF _Toc7436 \h 21  【知識(shí)點(diǎn)1 函數(shù)的概念】 一般地，在某一變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。 注意：要判斷一個(gè)關(guān)系式是不是函數(shù)，首先看這個(gè)變化過程中是否只有兩個(gè)變量，其次看每一個(gè)x的值是否對(duì)應(yīng)唯一確定的y值． 【知識(shí)點(diǎn)2 求函數(shù)的值】 (1)當(dāng)已知函數(shù)解析式時(shí)，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；函數(shù)值是唯一的，而對(duì)應(yīng)的自變量可以是多個(gè)．(2)函數(shù)表達(dá)式中只有兩個(gè)變量，給定一個(gè)變量的值，將其代入函數(shù)表達(dá)式即可求另一個(gè)變量的值，即給自變量的值可求函數(shù)值，給函數(shù)值可求自變量的值． 【題型1 常量與變量的確定】 【例1】（2022春?婁星區(qū)期末）下列說法不正確的是（　　） A．正方形面積公式S＝a2中有兩個(gè)變量：S，a B．圓的面積公式S＝πr2中的π是常量 C．在一個(gè)關(guān)系式中，用字母表示的量可能不是變量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量 【分析】根據(jù)自變量與常量、因變量的定義解答． 【解答】解：A、正方形面積公式S＝a2中有兩個(gè)變量：S，a，正確； B、圓的面積公式S＝πr2中的π是常量，正確； C、在一個(gè)關(guān)系式中，字母表示的量可能不是變量，正確； D、如果a＝b，那么a，b都是變量，故錯(cuò)誤． 故選：D． 【變式1-1】（2022春?鄠邑區(qū)期末）大家知道，冰層越厚，所承受的壓力越大，這其中自變量是　冰層的厚度　，因變量是　冰層所承受的壓力　． 【分析】根據(jù)常量與變量，即可解答． 【解答】解：大家知道，冰層越厚，所承受的壓力越大，這其中自變量是冰層的厚度，因變量是冰層所承受的壓力； 故答案為：冰層的厚度，冰層所承受的壓力． 【變式1-2】（2022春?硯山縣校級(jí)期中）某水果店賣出的香蕉數(shù)量（千克）與售價(jià)（元）之間的關(guān)系如表： 上表反映了　兩　 個(gè)變量之間的關(guān)系，其中，自變量是　香蕉數(shù)量?。灰蜃兞渴恰∈蹆r(jià)?。?【分析】首先根據(jù)表格，可得上表反映了兩個(gè)變量（香蕉數(shù)量和售價(jià)）之間的關(guān)系；然后根據(jù)自變量、因變量的含義，判斷出自變量、因變量各是哪個(gè)即可． 【解答】解：∵香蕉的售價(jià)隨著香蕉數(shù)量的變化而變化， ∴上表反映了兩個(gè)變量之間的關(guān)系，其中，自變量是香蕉數(shù)量；因變量是售價(jià)． 故答案為：兩、香蕉數(shù)量、售價(jià)． 【變式1-3】（2022?莘縣校級(jí)月考）某電信公司提供了一種移動(dòng)通訊服務(wù)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，如下表： 則每月話費(fèi)y（元）與每月通話時(shí)間x（分）之間有關(guān)系式y(tǒng)=40(0≤x≤150)0.6x-50(x＞150)，在這個(gè)關(guān)系式中，常量是什么？變量是什么？ 【分析】根據(jù)在一個(gè)變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量，即可答題． 【解答】解：在0≤x≤150中，y，40是常量，x是變量；在x＞150時(shí)，0.6，﹣50是常量，x，y是變量． 【變式1-4】變量x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示： 請(qǐng)你判斷y是x的函數(shù)嗎？x是y的函數(shù)嗎？說說你的理由． 【分析】直接利用函數(shù)的定義判斷得出即可． 【解答】解：由圖表中數(shù)據(jù)可得出：x每取一個(gè)值y有唯一值與其對(duì)應(yīng)，故y是x的函數(shù)； 當(dāng)y取一個(gè)值2，x有兩個(gè)值﹣1，1與其對(duì)應(yīng)用，故x不是y的函數(shù)． 【題型2 函數(shù)的概念】 【例2】（2022春?莆田期末）下列曲線中不能表示y是x的函數(shù)的是（　?。?A． B． C． D． 【分析】設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量．由此即可得出結(jié)論． 【解答】解：當(dāng)x取一個(gè)值時(shí)，y有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，就說y是x的函數(shù)，x是自變量． 選項(xiàng)C中的曲線，當(dāng)x取一個(gè)值時(shí)，y的值可能有2個(gè)，不滿足對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)值有且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)． 故C中曲線不能表示y是x的函數(shù)， 故選：C． 【變式2-1】（2022春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）下面每個(gè)選項(xiàng)中給出了某個(gè)變化過程中的兩個(gè)變量x和y，其中y不是x的函數(shù)的選項(xiàng)是（　　） A．y：正方形的面積，x：這個(gè)正方形的周長(zhǎng) B．y：某班學(xué)生的身高，x：這個(gè)班學(xué)生的學(xué)號(hào) C．y：圓的面積，x：這個(gè)圓的直徑 D．y：一個(gè)正數(shù)的平方根，x：這個(gè)正數(shù) 【分析】根據(jù)題意對(duì)各選項(xiàng)分析列出表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)的定義分別判斷即可得解． 【解答】解：A、y＝（14x）2=116x2，y是x的函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、每一個(gè)學(xué)生對(duì)應(yīng)一個(gè)身高，y是x的函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、y＝π（12x）2=14πx2，y是x的函數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、y＝±x，每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值，y不是x的函數(shù)，故D選項(xiàng)正確． 故選：D． 【變式2-2】（2022?長(zhǎng)安區(qū)期末）老師讓同學(xué)們舉一個(gè)y是x的函數(shù)的例子，同學(xué)們分別用表格、圖象、函數(shù)表達(dá)式列舉了如下4個(gè)x、y之間的關(guān)系：（其中k，b為常量） 其中y一定是x的函數(shù)的是?、堋。ㄌ顚懰姓_的序號(hào)） 【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可． 【解答】解：一般的，在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x、y，對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，x是自變量，y是x的函數(shù)， ①②③不符合定義，④符合定義， 故答案為④． 【變式2-3】（2022春?漢陰縣期末）變量x，y有如下關(guān)系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函數(shù)有（　?。?A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，滿足對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)的關(guān)系，據(jù)此即可確定函數(shù)的個(gè)數(shù)． 【解答】解：y是x函數(shù)的是：①x+y＝10；③y＝|x﹣3|； ②當(dāng)x＝1時(shí)，在|y|＝x中，y＝±1，則y不是x的函數(shù)； ④當(dāng)x＝1時(shí)，在y2＝8x中，y＝±8，則y不是x的函數(shù)； 故選：B． 【知識(shí)點(diǎn)3 函數(shù)的圖象】 把一個(gè)函數(shù)的自變量x的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像，用圖像表示的函數(shù)關(guān)系，更為直觀和形象． 【題型3 用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖像】 【例3】（2022春?鎮(zhèn)平縣月考）某班數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)函數(shù)y=1x-1+x+12的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整． （1）函數(shù)y=1x-1+x+12的自變量x的取值范圍是 　x≠1??； （2）下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值． 則表格中的m＝　176?。?（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表格中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，請(qǐng)根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象，試寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)． 【分析】（1）分式中分母不為零，計(jì)算即可． （2）將x＝4代入函數(shù)解析式即可得出m的值． （3）將所描出的點(diǎn)用平滑的曲線連接得出圖像，再觀察圖像寫出函數(shù)的一條性質(zhì)． 【解答】（1）∵x﹣1≠0，可得x≠1， 故答案為：x≠1； （2）將x＝4代入1x-1+x+12得， m=13+52=176； 故答案為：176． （3）畫出該函數(shù)圖象如圖所示： 通過觀察圖象可得： 函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對(duì)稱（答案不唯一）． 【變式3-1】（2022春?廣饒縣期末）某造紙廠每小時(shí)造紙1.5噸，2小時(shí)、3小時(shí)……各造紙多少噸？ （1）把下表填寫完整，在①②③處填寫相應(yīng)數(shù)值． （2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中描出造紙時(shí)間和造紙噸數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再把它們連起來(lái)． （3）根據(jù)圖象判斷，5小時(shí)造紙多少噸？ 【分析】（1）根據(jù)每小時(shí)造紙1.5噸解答即可； （2）根據(jù)（1）的數(shù)據(jù)解答即可； （3）根據(jù)圖象解答即可． 【解答】解：（1）造紙時(shí)間為2小時(shí)，則造紙噸數(shù)為1.5×2＝3（噸）； 造紙時(shí)間為3小時(shí)，則造紙噸數(shù)為1.5×3＝4.5（噸）； 造紙時(shí)間為4小時(shí)，則造紙噸數(shù)為1.5×4＝6（噸）； 故答案為：3；4.5；6； （2）如圖所示： （3）由圖象可知，5小時(shí)造紙為7.5噸． 【變式3-2】（2022春?梁平區(qū)期末）小奧根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=x2+2x的圖象進(jìn)行了探究．下面是小奧的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整： （1）函數(shù)y=x2+2x的自變量x的取值范圍是 　x≠0?。?（2）下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，則m的值為 　﹣4　，n的值為 　136?。?（3）描點(diǎn)、連線 在下面的格點(diǎn)圖中，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy，描出上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)（其中x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)），并根據(jù)描出的點(diǎn)畫出該函數(shù)的圖象． 【分析】（ 1 ）根據(jù)圖象，可以寫出x的取值范圍； （2）將y=-52代入函數(shù)解析式中，求出x的值，再根據(jù)表格即可得到m的值，將x＝3代入函數(shù)解析式，求出y的值，即可得到n的值，本題得以解決； （3 ）建立平面直角坐標(biāo)系，并在坐標(biāo)系中描點(diǎn)，用平滑的曲線連接起來(lái)，即可解答本題． 【解答】解：（1）由題意可得，函數(shù)y=x2+2x的自變量x的取值范圍是x≠0． 故答案為：x≠0； （2）當(dāng)y=-52時(shí)，代入函數(shù)解析式中，可得-52=x2+2x， 解得x＝﹣4或x＝﹣1， 由表格可得m＝﹣4； 當(dāng)x＝3時(shí)，y=32+23=136． 故答案為：﹣4，136； （3）函數(shù)圖象如下： 【變式3-3】（2022?襄州區(qū)模擬）數(shù)學(xué)活動(dòng)： 問題情境：有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y=1x+1的圖象與性質(zhì)．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=1x+1的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究． 問題解決：下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整： （1）函數(shù)y=1x+1的自變量x的取值范圍是　x≠0?。?（2）表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值． 求m的值； （3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象． （4）結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）． 【分析】（1）根據(jù)分式中分母不能為0求出自變量x的取值范圍即可， （2）根據(jù)圖表可知當(dāng)y＝3時(shí)x＝m，把y＝3代入解析式即可求得， （3）用平滑的曲線依次連接圖中所描的點(diǎn)即可， （4）答案不唯一，可參考以下的角度： ①該函數(shù)沒有最大值或 該函數(shù)沒有最小值； ②該函數(shù)在值不等于1； ③增減性． 【解答】解：（1）根據(jù)題意得：x≠0， 即函數(shù)y=1x+1的自變量x的取值范圍x≠0， 故答案為：x≠0； （2）令1m+1=3，解得m=12， ∴m=12． （3）用平滑的曲線依次連接圖中所描的點(diǎn)，如下圖所示： （4）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)沒有最大值，也沒有最小值，圖象不經(jīng)過原點(diǎn)， 即該函數(shù)的兩條性質(zhì)：沒有最大值，也沒有最小值；圖象不經(jīng)過原點(diǎn)． 【題型4 自變量取值范圍的確定】 【例4】（2022春?扶溝縣期末）函數(shù)y=1x+3中自變量x的取值范圍是（　?。?A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≠﹣3 【分析】根據(jù)算術(shù)平方根定義得出被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由題意得：x+3＞0， 解得：x＞﹣3， 故選：A． 【變式4-1】（2022春?昌平區(qū)期末）函數(shù)y=2xx-1中，自變量x的取值范圍是（　?。?A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．x≠0 【分析】根據(jù)分式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由題意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1， 故選：C． 【變式4-2】（2022?渠縣一模）函數(shù)y=xx自變量的取值范圍是　x＞0?。?【分析】根據(jù)分式有意義的條件和算術(shù)平方根定義列出不等式組，求解即可． 【解答】解：∵x≥0且x≠0， ∴x＞0， 故答案為x＞0． 【變式4-3】（2022?杭州模擬）已知p（x，y）在函數(shù)y=-1x2--x的圖象上，那么點(diǎn)P應(yīng)在平面直角坐標(biāo)系中的（　?。?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由函數(shù)的解析式可得x≠0且﹣x≥0，從而得出x的取值范圍，再求得點(diǎn)P橫、縱坐標(biāo)的符號(hào)即可判斷． 【解答】解：∵p（x，y）在函數(shù)y=-1x2--x的圖象上， ∴x≠0且﹣x≥0， 解得x＜0， 則y＜0， ∴點(diǎn)P在第三象限， 故選：C． 【題型5 函數(shù)的解析式的確定】 【例5】（2022?金牛區(qū)校級(jí)期中）一根長(zhǎng)度為30cm的彈簧，一端固定．如果另一端掛上物體，在正常的彈性限度內(nèi)，所掛物體質(zhì)量每增加1kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)度增加2cm，完成下列問題： ①當(dāng)掛物體重3kg時(shí)，彈簧總長(zhǎng)度為 　36　cm； ②在正常的彈性限度內(nèi)，如果用x表示所掛物體質(zhì)量（單位kg），那么彈簧的總長(zhǎng)度是多少厘米？ ③在正常的彈性限度內(nèi)，若彈簧的總長(zhǎng)度為40cm，那么它掛的物體質(zhì)量是多少千克？ 【分析】（1）根據(jù)彈簧的長(zhǎng)度加彈簧掛重物伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度，可得答案； （2）根據(jù)彈簧的總長(zhǎng)度等于彈簧掛重物伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度加彈簧的長(zhǎng)度，可得函數(shù)解析式； （3）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值． 【解答】解：①30+2×3＝36； 故答案為：36； ②彈簧的總長(zhǎng)度等于彈簧掛重物伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度加彈簧的長(zhǎng)度， 設(shè)彈簧的總長(zhǎng)度為y，則y＝2x+30， ③當(dāng)y＝40時(shí)，2x+30＝40， 解得x＝5， 答：所掛重物的質(zhì)量是5千克． 【變式5-1】（2022春?文山州期末）某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí)，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如折線圖所示．根據(jù)圖象解答下列問題： （1）在這個(gè)變化過程中，自變量和因變量分別是什么？ （2）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中水量為多少升？ （3）已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘18升，求排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系式． 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)自變量與因變量的定義解決此題． （2）根據(jù)題意解決此題． （3）根據(jù)題意，列出函數(shù)關(guān)系式． 【解答】解：（1）自變量是時(shí)間x，因變量是洗衣機(jī)中的水量y． （2）由圖可知，洗衣機(jī)進(jìn)水時(shí)間是4分鐘，清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量為40升． （3）由題意得，y＝40﹣18x（0≤x＜15）． 【變式5-2】（2022?莘縣校級(jí)月考）為了加強(qiáng)公民節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市自來(lái)水公司對(duì)每戶用水量進(jìn)行了分段計(jì)費(fèi)，每戶每月用水量在規(guī)定立方米及以下的部分和超出部分標(biāo)準(zhǔn)不同．下表反映的是小亮家1﹣4月份用水量與應(yīng)交水費(fèi)情況： 小亮家12月份用水xm3（12月份用水量超過規(guī)定用水量），應(yīng)交水費(fèi)y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是 　y＝3x﹣12（x＞8）　． 【分析】根據(jù)表格判斷出1，2月份未超過用水量，3，4月份超過用水量，可求關(guān)系式． 【解答】解：由題得1﹣2月用水量增加2m3，水費(fèi)增加3元，2﹣3月，3﹣4月水量增加2m3，水費(fèi)增加6元， ∴1﹣2月用水量沒有沒有超過規(guī)定用水量8m3，用水量沒超過規(guī)定用水量時(shí)，每立方米水費(fèi)32元，用水量超過規(guī)定用水量時(shí)，用水量每超過1m3，水費(fèi)增加3元， 用水量超過規(guī)定用水量時(shí)，y與x的關(guān)系為y=32×8+3（x﹣8）＝3x﹣12（x＞8）， 故答案為：y＝3x﹣12（x＞8）． 【變式5-3】（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，在矩形中截取兩個(gè)相同的圓作為圓柱的上下底面，剩余的矩形作為圓柱的側(cè)面，剛好能組合成圓柱．設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為y和x，則因變量y與自變量x的函數(shù)關(guān)系式為y＝　y=1+π2x　． 【分析】利用圖示數(shù)據(jù)列出等式即可得出結(jié)論． 【解答】解：由題意得： 圓柱的上下底面圓的半徑為14x， 圓柱的側(cè)面展開圖的長(zhǎng)為：y-12x， ∵圓柱的側(cè)面展開圖的長(zhǎng)＝底面圓的周長(zhǎng)， ∴y-12x＝2π×14x， ∴y=1+π2x， 故答案為：y=1+π2x． 【題型6 求自變量的值或函數(shù)值】 【例6】（2022春?南岸區(qū)期末）地表以下巖層的溫度y（℃）隨著所處深度x（km）的變化而變化，在某個(gè)地點(diǎn)y與x之間的關(guān)系可以近似地用關(guān)系式y(tǒng)＝35x+20來(lái)表示，也可用表格表示，其中表格的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，則其中的m，n分別是（　?。?A．m＝7，n＝70 B．m＝6，n＝70 C．m＝7，n＝90 D．m＝6，n＝90 【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式代入計(jì)算即可． 【解答】解：把x＝2，y＝n代入y＝35x+20得， n＝35×2+20＝90， 把x＝m，y＝230代入y＝35x+20得， 35m+20＝230， 解得m＝6， 故選：D． 【變式6-1】（2022春?雙陽(yáng)區(qū)月考）已知函數(shù)y=2x-1x+2中，當(dāng)x＝a時(shí)的函數(shù)值為1，試求a的值為　3　． 【分析】根據(jù)函數(shù)值與自變量的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的，代入函數(shù)值，可得自變量的值． 【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-1x+2中，當(dāng)x＝a時(shí)的函數(shù)值為1， 可得：2a-1a+2=1， 解得：a＝3， 故答案為：3． 【變式6-2】（2022春?微山縣期末）已知函數(shù)y=2x+1(x≥0)4x(x＜0)，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)值y為　﹣8　． 【分析】先判斷出x＝﹣2時(shí)，所符合的關(guān)系式，然后將x＝﹣2代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可． 【解答】解：∵x＝﹣2＜0， ∴y＝4x＝﹣2×4＝﹣8． 故答案為：﹣8． 【變式6-3】（2022?江漢區(qū)校級(jí)月考）設(shè)f（x）表示關(guān)于x的函數(shù)，若f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn9，且f （6）＝3，那么f （5）＝　209　． 【分析】有已知求出f（2）和f（3）的值，把f（5）化為f（2+3）代入即可． 【解答】解：∵若f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn9，f （6）＝3， ∴f （6）＝f（2+4）＝f（2）+f（2+2）+89 ＝f（2）+f（2）+f（2）+49+89=3， ∴f（2）=59， f （6）＝f（3+3）＝2f（3）+99=3， ∴f（3）＝1， ∴f （5）＝f（2+3）＝f（2）+f（3）+2×39 =59+1+69 =209， 故答案為209． 【知識(shí)點(diǎn)3 函數(shù)的圖象】 把一個(gè)函數(shù)的自變量x的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像，用圖像表示的函數(shù)關(guān)系，更為直觀和形象． 【題型7 函數(shù)圖像的識(shí)別】 【例7】（2022春?芝罘區(qū)期末）如圖，將一個(gè)圓柱形的空玻璃杯放入形狀相同的無(wú)水魚缸內(nèi)，看作一個(gè)容器．然后對(duì)準(zhǔn)玻璃杯口勻速注水，在注水過程中，杯底始終緊貼魚缸底部，則下面可以近似地刻畫出容器最高水位h與注水時(shí)間t之間的變化情況的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)用一注水管向小玻璃杯內(nèi)注水，即可分段求出小水杯內(nèi)水面的高度h（cm）與注水時(shí)間t（min）的函數(shù)圖象． 【解答】解：一注水管向小玻璃杯內(nèi)注水，水面在逐漸升高，當(dāng)小杯中水滿時(shí)，開始向魚缸內(nèi)流，這時(shí)水位高度不變， 當(dāng)魚缸水面高度與小杯一樣后，再繼續(xù)注水，水面高度在升高，升高的比開始慢． 故選：D． 【變式7-1】（2022?雅安）一輛公共汽車從車站開出，加速行駛一段后開始勻速行駛．過了一段時(shí)間，汽車到達(dá)下一個(gè)車站．乘客上、下車后汽車開始加速，一段時(shí)間后又開始勻速行駛．下面的哪一幅圖可以近似地刻畫出汽車在這段時(shí)間內(nèi)的速度變化情況（　?。?A． B． C． D． 【分析】橫軸表示時(shí)間，縱軸表示速度，根據(jù)加速、勻速、減速，加速、勻速的變化情況，進(jìn)行選擇． 【解答】解：公共汽車經(jīng)歷加速、勻速、減速到站，加速、勻速的過程， 故選：B． 【變式7-2】（2022?廣陵區(qū)一模）如圖，物理課上，老師將掛在彈簧測(cè)力計(jì)下端的鐵塊完全浸沒在水中，然后緩慢勻速向上提起（不考慮水的阻力），直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)y（單位：N）與鐵塊被提起的高度x（單位：cm）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)題意，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題． 【解答】解：由題意可知， 鐵塊露出水面以前，F(xiàn)拉+F?。紾，浮力不變，故此過程中彈簧的度數(shù)不變， 當(dāng)鐵塊慢慢露出水面開始，浮力減小，則拉力增加， 當(dāng)鐵塊完全露出水面后，拉力等于重力， 故選：D． 【變式7-3】（2022春?章丘區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為 正方形中心，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→E→F→G→B的路線繞多邊形的邊勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止（不含點(diǎn)A和點(diǎn)B），則ABP的面積S隨著時(shí)間t變化的函數(shù)圖象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分析動(dòng)點(diǎn)P在每段路徑上的運(yùn)動(dòng)的過程中的面積增大、減小或不變的趨勢(shì)即可． 【解答】解：由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可知，當(dāng)點(diǎn)P在GF、ED邊上時(shí)△ABP的面積不變，則對(duì)應(yīng)圖象為平行于t軸的線段，則B、C錯(cuò)誤； 點(diǎn)P在AD、EF、GB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABP的面積分別處于增、減變化過程，故D排除． 故選：A． 【題型8 從函數(shù)的圖像獲取信息】 【例8】（2022春?呼和浩特期末）已知張強(qiáng)家、體育場(chǎng)、文具店在同一直線上．如圖的圖象反映的過程是：張強(qiáng)從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店去買筆，然后散步走回家．圖中x表示時(shí)間，y表示張強(qiáng)離家的距離．則下列說法正確的是（　?。? A．張強(qiáng)從家到體育場(chǎng)的速度是 503km/? B．體育場(chǎng)離文具店4千米 C．張強(qiáng)在文具店逗留了15分 D．張強(qiáng)從文具店回家的平均速度是 370千米/分 【分析】利用圖象信息解決問題即可． 【解答】解：觀察圖象可知： A．張強(qiáng)從家到體育場(chǎng)的速度是2.50.25=10千米/時(shí)，故A不符合題意； B．體育場(chǎng)離文具店2.5﹣1.5＝1千米，故B不符合題意； C．張強(qiáng)在文具店逗留了65﹣45＝20分鐘，故C不符合題意； D．張強(qiáng)從文具店回家的平均速度=1.535=370千米/分，故D符合題意； 故選：D． 【變式8-1】（2022?開州區(qū)模擬）如圖是自動(dòng)測(cè)溫儀記錄的圖象，它反映了某市的春季某天氣溫T如何隨時(shí)間t的變化而變化．下列從圖象中得到的信息錯(cuò)誤的是（　?。? A．4點(diǎn)時(shí)氣溫達(dá)最低 B．14點(diǎn)到24點(diǎn)之間氣溫持續(xù)下降 C．0點(diǎn)到14點(diǎn)之間氣溫持續(xù)上升 D．14點(diǎn)時(shí)氣溫達(dá)最高是8℃ 【分析】應(yīng)用函數(shù)圖象中的信息進(jìn)行判定即可得出答案． 【解答】解：A．由圖象可得，4點(diǎn)時(shí)氣溫達(dá)最低為﹣3℃，所以A選項(xiàng)從圖象中得到的信息正確，故A選項(xiàng)不符合題意； B．由圖象可得，14點(diǎn)到24點(diǎn)氣溫持續(xù)下降，所以B選項(xiàng)從圖象中得到的信息正確，故B選項(xiàng)不符合題意； C．由圖象可得，0點(diǎn)到4點(diǎn)氣溫持續(xù)下降，4點(diǎn)到14點(diǎn)氣溫持續(xù)上升，0點(diǎn)到14點(diǎn)氣溫先下降再上升，所以C選項(xiàng)從圖象中得到的信息不正確，故C選項(xiàng)符合題意； D．由圖象可知，14點(diǎn)時(shí)氣溫最高是8℃，所以D選項(xiàng)從圖象中得到的信息正確，故D選項(xiàng)不符合題意． 故選：C． 【變式8-2】（2022?石家莊二模）如圖（1）是兩圓柱形聯(lián)通容器（聯(lián)通外體積忽略不計(jì)）．向甲容器勻速注水，甲容器的水面高度h（cm）隨時(shí)間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，根據(jù)提供的圖象信息，若甲的底面半徑為1cm，則乙容器底面半徑為（　?。? A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【分析】由注滿相同高度的水乙容器所需的時(shí)間為甲容器的4倍，結(jié)合甲容器的底面半徑即可求出乙容器的底面半徑，此題得解． 【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：乙容器底面積為甲容器底面積的4倍， ∴乙容器底面半徑為2cm． 故選：D． 【變式8-3】（2022?綦江區(qū)期末）小強(qiáng)和爺爺去爬山，爺爺先出發(fā)一段時(shí)間后小強(qiáng)再出發(fā)，途中小強(qiáng)追上了爺爺并最終先爬到山頂，兩人所爬的高度h（米）與小強(qiáng)出發(fā)后的時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論正確的是（　?。? A．爺爺比小強(qiáng)先出發(fā)20分鐘 B．小強(qiáng)爬山的速度是爺爺?shù)?倍 C．l1表示的是爺爺爬山的情況，l2表示的是小強(qiáng)爬山的情況 D．山的高度是480米 【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得山的高度是720米；l1表示的是小強(qiáng)爬山的情況，l2表示的是爺爺爬山的情況；根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以求出小強(qiáng)爬山的速度為12米/分，爺爺爬山的速度為6米/分；根據(jù)爺爺爬山的速度，結(jié)合圖象可知爺爺比小強(qiáng)先出發(fā)：240÷6＝40（分鐘）． 【解答】解：由題意得： 山的高度是720米，故選項(xiàng)D不合題意； l1表示的是小強(qiáng)爬山的情況，l2表示的是爺爺爬山的情況，故選項(xiàng)C不合題意； 小強(qiáng)爬山的速度為：720÷60＝12（米/分），爺爺爬山的速度為：（720﹣240）÷80＝6（米/分），所以小強(qiáng)爬山的速度是爺爺?shù)?倍，故選項(xiàng)B符合題意； 爺比小強(qiáng)先出發(fā)：240÷6＝40（分鐘），故選項(xiàng)A不合題意． 故選：B． 【題型9 動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象】 【例9】（2022春?洪江市期末）如圖1，矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，速度為2cm/s，沿C→D→A→B方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B處停止．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為xs，△BCE的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則四邊形ABCD的面積為（　　） A．48cm2 B．24cm2 C．21cm2 D．12cm2 【分析】通過圖2知，CD段，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)，此時(shí)CD＝6，而在DA段，△BCE的面積不變，故DA＝8，即可求解． 【解答】解：由圖象知， CD＝2×3＝6，DA＝2×（7﹣3）＝8， ∴四邊形ABCD的面積＝6×8＝48． 故選：A． 【變式9-1】（2022?武威模擬）如圖1，在矩形MNPQ中，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)N出發(fā)，沿N→P→Q→M方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)M處停止．設(shè)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程為x，圖中陰影部分△MNR的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形PQMN的面積為（　?。? A．16 B．20 C．36 D．45 【分析】根據(jù)圖2可得：當(dāng)x＝4時(shí)，點(diǎn)R與點(diǎn)P重合，PN＝4，當(dāng)x＝9時(shí)，點(diǎn)R與點(diǎn)Q重合，PQ＝5，進(jìn)而可求得矩形PQMN的面積． 【解答】解：由圖2可知： 當(dāng)x＝4時(shí)，點(diǎn)R與點(diǎn)P重合，PN＝4， 當(dāng)x＝9時(shí)，點(diǎn)R與點(diǎn)Q重合，PQ＝5， 所以矩形PQMN的面積為4×5＝20． 故選：B． 【變式9-2】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)P為某個(gè)封閉圖形邊界上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)P出發(fā)，沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x，線段PM的長(zhǎng)度為y，表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（　?。? A． B． C． D． 【分析】先觀察圖象得到y(tǒng)與x的函數(shù)圖象分四個(gè)部分，則可對(duì)有3邊的封閉圖形進(jìn)行淘汰，利用圓的定義，P點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y隨x的變化先增大后減小，則可對(duì)A進(jìn)行判斷，從而得到正確選項(xiàng)． 【解答】解：y與x的函數(shù)圖象分四個(gè)部分，而D選項(xiàng)中的封閉圖形有3條線段，其圖象要分三個(gè)部分，所以D選項(xiàng)不正確； A選項(xiàng)中的封閉圖形為圓，y隨x的變化先增大后減小，所以A選項(xiàng)不正確； B，C選項(xiàng)為四邊形，M點(diǎn)在四邊上運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)四段圖象，且存在三個(gè)時(shí)間段，PM的長(zhǎng)度相等，故C選項(xiàng)不正確． 故選：B． 【變式9-3】（2022?大同模擬）如圖1，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A﹣B﹣C﹣D方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D處停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△APD的面積為S，如果S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則當(dāng)x＝7時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)運(yùn)動(dòng)到（　?。? A．點(diǎn)C處 B．點(diǎn)D處 C．點(diǎn)A處 D．點(diǎn)B處 【分析】根據(jù)點(diǎn)P的移動(dòng)規(guī)律，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為0﹣4，4﹣7，9﹣11，所在線段為AB，BC，CD，那么當(dāng)x＝7時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)運(yùn)動(dòng)到高不變的結(jié)束，即點(diǎn)C處． 【解答】解：當(dāng)P在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△DAP的面積不斷增大； 當(dāng)P在CB運(yùn)動(dòng)時(shí)，DA一定，高為BA不變，此時(shí)面積不變； 當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積不斷減?。?∴當(dāng)x＝7時(shí)，點(diǎn)R應(yīng)運(yùn)動(dòng)到高不變的結(jié)束，即點(diǎn)C處． 故選：A． 數(shù)量（千克）0.511.522.533.5…售價(jià)（元）1.534.567.5910.5…項(xiàng)目月基本服務(wù)費(fèi)月免費(fèi)通話時(shí)間超出后每分收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)40元150分0.6元X﹣3﹣2﹣10123 y105212 510① 氣溫x1201日期y1234② ③ y＝kx+b④ y＝|x|x…﹣3﹣2﹣1012 y…-54 -56 -12 -12 -54 x32 2345…y134 52 52 m134 …造紙時(shí)間/時(shí)1234……造紙噸數(shù)/噸1.5①　3　②　4.5　③　6　……x…﹣5m﹣3﹣2﹣1-12 12 12345…y…-2910 -52 -136 ﹣2-52 -174 174 52 2n52 2910 …x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣mm1234…y…34 23 12 0﹣13232 43 54 …月份1234用水量（m3）681012費(fèi)用（元）9121824x/℃124m910y/km55n160230335370

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