2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題19.2 一次函數(shù)與正比例函數(shù)【七大題型】（舉一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）

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專題19.2 一次函數(shù)與正比例函數(shù)【七大題型】 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc12740" 【題型1 一次函數(shù)、正比例函數(shù)的識(shí)別】  PAGEREF _Toc12740 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc23408" 【題型2 利用一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念求值或取值范圍】  PAGEREF _Toc23408 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc742" 【題型3 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式】  PAGEREF _Toc742 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc26565" 【題型4 用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式】  PAGEREF _Toc26565 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc3414" 【題型5 一次函數(shù)解析式與三角形面積問(wèn)題】  PAGEREF _Toc3414 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc11848" 【題型6 求實(shí)際問(wèn)題中的一次函數(shù)表達(dá)式】  PAGEREF _Toc11848 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc11247" 【題型7 與求函數(shù)表達(dá)式相關(guān)的探究性問(wèn)題】  PAGEREF _Toc11247 \h 9  【知識(shí)點(diǎn)1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念】 一般地，若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系可以表示成（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。 特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b=0時(shí)（即）（k為常數(shù)，k0），稱y是x的正比例函數(shù)。 【題型1 一次函數(shù)、正比例函數(shù)的識(shí)別】 【例1】（2022春?麻城市校級(jí)月考）下列函數(shù)：（1）y＝﹣2x；（2）y=-8x；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常數(shù)），其中一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　?。?A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【變式1-1】（2022?市北區(qū)期中）下列語(yǔ)句中，y與x是一次函數(shù)關(guān)系的有（　?。﹤€(gè) （1）汽車(chē)以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛路程y（千米）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的關(guān)系 （2）圓的面積y（厘米2）與它的半徑x（厘米）之間的關(guān)系； （3）一棵樹(shù)現(xiàn)在高50厘米，每個(gè)月長(zhǎng)高2厘米，x月后這棵樹(shù)的高度為y厘米，y與x的關(guān)系； （4）某種大米的單價(jià)是2.2元/千克，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)x千克大米時(shí)，花費(fèi)y元，y與x的關(guān)系． A．1 B．4 C．3 D．2 【變式1-2】（2015春?盱眙縣校級(jí)期末）下列問(wèn)題中，是正比例函數(shù)的關(guān)系的是（　?。?A．矩形面積一定，長(zhǎng)與寬的關(guān)系 B．正方形面積和邊長(zhǎng)的關(guān)系 C．三角形面積一定，底邊和底邊上的高的關(guān)系 D．勻速運(yùn)動(dòng)中，速度固定時(shí)，路程和時(shí)間的關(guān)系 【變式1-3】（2022春?北京期末）如圖，有一個(gè)裝水的容器，容器內(nèi)的水面高度是10cm，水面面積是100cm2．現(xiàn)向容器內(nèi)注水，并同時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)．在注水過(guò)程中，水面高度以每秒0.2cm的速度勻速增加．容器注滿水之前，容器內(nèi)水面的高度h，注水量V隨對(duì)應(yīng)的注水時(shí)間t的變化而變化，則h與t，V與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（　?。? A．正比例函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 【題型2 利用一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念求值或取值范圍】 【例2】（2022?平川區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)m，n為何值時(shí)，y＝（m﹣1）xm2+n． （1）是一次函數(shù)； （2）是正比例函數(shù)． 【變式2-1】（2022春?新?lián)釁^(qū)期末）已知函數(shù)y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函數(shù)，則m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意實(shí)數(shù) 【變式2-2】（2021春?蘿北縣期末）若y＝（m+2）x+m2﹣4是關(guān)于x的正比例函數(shù)，則常數(shù)m＝　 ． 【變式2-3】（2022?金牛區(qū)校級(jí)期中）當(dāng)m，n為何值時(shí)，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2． （1）是一次函數(shù)； （2）是正比例函數(shù)． 【知識(shí)點(diǎn)2 正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定】 確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法。 【題型3 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式】 【例3】（2021春?雄縣期末）已知y是z的一次函數(shù)，z是x的正比例函數(shù)，問(wèn)： （1）y是x的一次函數(shù)嗎？ （2）若當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣2；當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝6．則當(dāng)x＝1時(shí)，y的值是什么？ 【變式3-1】（2022春?柳州期末）已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3）和B（2，5）．求： （1）這個(gè)一次函數(shù)的解析式． （2）當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y的值． 【變式3-2】（2022?廣陵區(qū)校級(jí)期末）已知y﹣1與x+2成正比例，且x＝﹣1時(shí)，y＝3． （1）求y與x之間的關(guān)系式； （2）它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m﹣1，m+1），求m的值． 【變式3-3】（2022?宜興市校級(jí)月考）已知y＝y(tǒng)1+y2，其中y1與x成正比例，y2與x﹣2成正比例．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣2．求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出該函數(shù)的圖象． 【題型4 用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式】 【例4】（2022?嘉定區(qū)期末）正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣4）、（a，4），求這個(gè)函數(shù)的解析式和a的值． 【變式4-1】（2022?泰興市期末）已知一個(gè)函數(shù)的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，94），求此函數(shù)的關(guān)系式． 【變式4-2】（2022春?衡陽(yáng)縣期中）已知y是x的正比例函數(shù)，且函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，6）． （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)x＝﹣6時(shí)，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y； （3）當(dāng)x取何值時(shí)，y=23． 【變式4-3】（2022?黃浦區(qū)期中）若正比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)到y(tǒng)軸與到x軸距離之比是3：1，則此函數(shù)的解析式為　 　． 【題型5 一次函數(shù)解析式與三角形面積問(wèn)題】 【例5】（2022春?江夏區(qū)校級(jí)月考）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交x軸于點(diǎn)A（4，0），交y軸于點(diǎn)B（0，2）． （1）求這個(gè)函數(shù)的解析式； （2）若在第一象限有一點(diǎn)C（2，m），且△ACB的面積為4，求m的值． 【變式5-1】（2022春?鞍山期末）如圖，一次函數(shù)y＝x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M（1，m）是直線AB上一點(diǎn)，直線MC交x軸于點(diǎn)C（52，0）； （1）求直線MC的函數(shù)解析式； （2）若點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，MP，若△ABP的面積是△MPC面積的2倍，求P點(diǎn)坐標(biāo)． 【變式5-2】（2022春?鳳慶縣期末）如圖，直線AB過(guò)點(diǎn)A（﹣1，5），P（2，a），B（4，﹣5）． （1）求直線AB的函數(shù)解析式和a的值； （2）求△AOP的面積． 【變式5-3】（2022?肅州區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）． （1）求直線EF的關(guān)系式； （2）求△OEF的面積； （3）若點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△OPA的面積為12，并說(shuō)明理由． 【題型6 求實(shí)際問(wèn)題中的一次函數(shù)表達(dá)式】 【例6】（2022?東方校級(jí)期末）為了保護(hù)學(xué)生的視力，課桌的高度）ycm與椅子的高度xcm（不含靠背）都是按y是x的一次函數(shù)關(guān)系配套設(shè)計(jì)的，如表列出了兩套課桌椅的高度： （1）請(qǐng)確定y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出x的取值范圍）； （2）現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高79.8cm的課桌，它們是否配套？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由． 【變式6-1】（2022?嘉定區(qū)二模）某種型號(hào)的家用車(chē)在高速公路上勻速行駛時(shí)，測(cè)得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表： （1）如果該車(chē)的油箱內(nèi)剩余油量y（升）與行駛路程x（千米）之間是一次函數(shù)關(guān)系，求y 關(guān)于x的函數(shù)解析式（不需要寫(xiě)出它的定義域）； （2）張老師租賃該型號(hào)的家用車(chē)也在該高速公路的相同路段以相同的速度勻速行駛300千米（不考慮小轎車(chē)載客的人數(shù)以及堵車(chē)等因素）．假如不在高速公路上的服務(wù)區(qū)加油，那么在上高速公路之前，張老師這輛車(chē)的油箱內(nèi)至少需要有多少升汽油？請(qǐng)根據(jù)題目中提供的相關(guān)信息簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． 【變式6-2】（2022?崇明縣二模）溫度通常有兩種表示方法：華氏度（單位：℉）與攝氏度（單位：℃），已知華氏度數(shù)y 與攝氏度數(shù)x 之間是一次函數(shù)關(guān)系，下表列出了部分華氏度與攝氏度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系： （1）選用表格中給出的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式； （2）有一種溫度計(jì)上有兩個(gè)刻度，即測(cè)量某一溫度時(shí)左邊是攝氏度，右邊是華氏度，那么在多少攝氏度時(shí)，溫度計(jì)上右邊華氏度的刻度正好比左邊攝氏度的刻度大56？ 【變式6-3】（2022?河南模擬）某種計(jì)時(shí)“香篆”在0：00時(shí)刻點(diǎn)燃，若“香篆”剩余的長(zhǎng)度h（cm）與燃燒的時(shí)間x（h）之間是一次函數(shù)關(guān)系，h與x的一組對(duì)應(yīng)數(shù)值如表所示： （1）寫(xiě)出“香篆”在0：00時(shí)刻點(diǎn)然后，其剩余的長(zhǎng)度h（cm）與燃燒時(shí)間x（h）的函數(shù)關(guān)系式，并解釋函數(shù)表達(dá)式中x的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的實(shí)際意義； （2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明當(dāng)“香篆”剩余的長(zhǎng)度為125cm時(shí)的時(shí)刻． 【題型7 與求函數(shù)表達(dá)式相關(guān)的探究性問(wèn)題】 【例7】（2022春?成華區(qū)期末）將長(zhǎng)為20cm，寬為10cm的長(zhǎng)方形白紙，按如圖所示的方法粘合起來(lái)，粘合部分寬為2cm． （1）根據(jù)題意，將表格補(bǔ)充完整． （2）設(shè)x張白紙粘合后的總長(zhǎng)度為ycm，則y與x之間的關(guān)系式是什么？請(qǐng)求出50張白紙粘合后的總長(zhǎng)度； （3）若粘合后的總長(zhǎng)度為2018cm，問(wèn)需要多少?gòu)埌准垼? 【變式7-1】（2022春?玉門(mén)市期末）如圖，自行車(chē)每節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為2.5cm，交叉重疊部分的圓的直徑為0.8cm． （1）觀察圖形，填寫(xiě)下表： （2）如果x節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為y，那么y與x之間的關(guān)系式是什么？ （3）如果一輛某種型號(hào)自行車(chē)的鏈條（安裝前）由60節(jié)這樣的鏈條組成，那么這輛自行車(chē)上的鏈條（ 安裝后）總長(zhǎng)度是多少？ 【變式7-2】（2022蚌山區(qū)校級(jí)月考）用大小相同的黑白兩種顏色的菱形紙片按照黑色紙片逐漸增加1的規(guī)律拼成如圖圖案． （1）第4個(gè)圖案中白色紙片的個(gè)數(shù)是 　　； （2）如果第n（n為正整數(shù)）個(gè)圖案中有y個(gè)白色紙片，寫(xiě)出y與n的函數(shù)關(guān)系式． 【變式7-3】（2022春?巴中期末）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y=x2+12相交于點(diǎn)P，直線l1與y軸交于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l2上的點(diǎn)B1處后，改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l1上的點(diǎn)A1處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l2上的點(diǎn)B2處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l1上的點(diǎn)A2處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)…照此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C依次經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……則A2022B2022的長(zhǎng)度為（　?。? A．22021 B．22022 C．2022 D．4044 第一套第二套椅子高度xcm40.038.0課桌高度ycm75.071.8行駛路程x（千米）…100150…油箱內(nèi)剩余油量y（升）…5248…攝氏度數(shù)x （℃）…0…35…100…華氏度數(shù)y （℉）…32…95…212…燃燒的時(shí)間x（h）…3456…剩余的長(zhǎng)度h（cm）…210200190180…白紙張數(shù)12345…紙條長(zhǎng)度20　　5674　　…鏈條的節(jié)數(shù)/節(jié)234…鏈條的長(zhǎng)度/cm　　　　　　…