專(zhuān)項(xiàng)10  用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形綜合應(yīng)用△ABC中 , AD是BC邊中線          方式1：直接倍長(zhǎng) 延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE                方式2：間接倍長(zhǎng)（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E    （2）延長(zhǎng)MD到N，使DN=MD，連接CN                                                   倍長(zhǎng)中線法原理：    延長(zhǎng)邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則 對(duì)應(yīng)角 對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。 此法常用于構(gòu)造 全等三角形 ，利用中線的性質(zhì)、 輔助線 、 對(duì)頂角 一般用“ SAS ”證明對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系。 （在一定范圍中）   【典例1】（2021春?吉安縣期末）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是 　 　．A．SSS　　　　　　B．SAS　　　　　　C．AAS　　　　　　　　D．HL（2）求得AD的取值范圍是 　 　．A．6＜AD＜8　　　B．6≤AD≤8　　C．1＜AD＜7　　D．1≤AD≤7（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．  【變式1-1】（2021秋?肥西縣期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和9，設(shè)第三邊上的中線長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是（　　）A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7【變式1-2】（2019秋?貴港期中）如圖，AE是△ABD的中線AB＝CD＝BD．求證：AB+AD＞2AE； 【變式1-3】（2021秋?齊河縣期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫(xiě)出范圍即可）．這種解決問(wèn)題的方法我們稱(chēng)為倍長(zhǎng)中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．               1．（2021秋?新城區(qū)校級(jí)期中）已知AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝12，AC＝8，則中線AD的取值范圍是（　?。?/span>A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不對(duì)2．（2021秋?南充期末）如圖，AD是△ABC的中線，F為AD上一點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝DE．求證：BE∥CF． 3．（2021秋?濱湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，已知：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，連接BE．（1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件使△ACD≌△EBD，并給出證明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．       4．（2021秋?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．（2）受到（1）啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面的問(wèn)題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．求證：BE+CF＞EF.    5．（2020秋?津南區(qū)期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求證：AD＝AC；（2）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，中線BD與AE相交于點(diǎn)P，AP＝BC．求證：PE＝BE．       6．（2021秋?南召縣期末）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第69頁(yè)的部分內(nèi)容：（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD長(zhǎng)度的取值范圍是　         　．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知AB∥CF，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接寫(xiě)出線段DF的長(zhǎng)．        7．（2021秋?通榆縣期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是　   　．A．SSS      B．SAS      C．AAS        D．HL（2）求得AD的取值范圍是　  　．A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．        8．（2021春?歷下區(qū)期中）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是　             ；方法總結(jié)：上述方法我們稱(chēng)為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．           9．（2020秋?大安市期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是　   　A．SSS          B．SAS          C．AAS           D．HL（2）求得AD的取值范圍是　  　A．6＜AD＜8     B．6≤AD≤8     C．1＜AD＜7      D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．         10．（2020秋?饒平縣校級(jí)期中）（1）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝8，AC＝6則AD的取值范圍是　   　A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7（2）在（1）問(wèn)的啟發(fā)下，解決下列問(wèn)題：如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求證：AC＝BF． 11．（2019秋?新吳區(qū)期中）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ?/span>ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線AD的取值范圍是　        　；（2）問(wèn)題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C為頂點(diǎn)作∠ECF，使得角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，且EF＝BE+DF，試探索∠ECF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
 

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12.1 全等三角形

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