?5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

思維導(dǎo)圖

新課標(biāo)要求
1.能畫(huà)出這些三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（?。┲?。
2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上、正切函數(shù)在 上的性質(zhì)。

知識(shí)梳理
一、正弦函數(shù)的圖象
1．正弦曲線的定義
正弦函數(shù)y＝sin x，x∈R的圖象叫正弦曲線．

2．正弦函數(shù)圖象的畫(huà)法
(1)幾何法：
①利用單位圓上點(diǎn)T(x0，sin x0)畫(huà)出y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象；
②將圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度)．
(2)五點(diǎn)法：
①畫(huà)出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲線連接；
②將所得圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度)．
二、余弦函數(shù)的圖象
1．余弦曲線的定義
余弦函數(shù)y＝cos x，x∈R的圖象叫余弦曲線．

2．余弦函數(shù)圖象的畫(huà)法
(1)要得到y(tǒng)＝cos x的圖象，只需把y＝sin x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可，這是由于cos x＝sin.
(2)用“五點(diǎn)法”：畫(huà)余弦曲線y＝cos x在[0,2π]上的圖象時(shí)，所取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．
三、周期性
1．函數(shù)的周期性
(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．
(2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦、余弦函數(shù)的周期性
正弦函數(shù)y＝sin x(x∈R)和余弦函數(shù)y＝cos x(x∈R)都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它們的周期．最小正周期為2π.
四、正弦、余弦函數(shù)的奇偶性
正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)．
五、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值

正弦函數(shù)
余弦函數(shù)
圖象


定義域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
單調(diào)性
在(k∈Z)上單調(diào)遞增，
在(k∈Z)上單調(diào)遞減
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上單調(diào)遞減
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；
x＝－＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1

六、函數(shù)y＝tan x的圖象與性質(zhì)
解析式[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
y＝tan x
圖象

定義域

值域
R
最小正周期
π
奇偶性
奇函數(shù)
單調(diào)性
在每個(gè)開(kāi)區(qū)間(k∈Z)上都是增函數(shù)
對(duì)稱性
對(duì)稱中心(k∈Z)

名師導(dǎo)學(xué)
知識(shí)點(diǎn)1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的初步認(rèn)識(shí)
解決正弦、余弦函數(shù)圖象的注意點(diǎn)
對(duì)于正弦、余弦函數(shù)的圖象問(wèn)題，要畫(huà)出正確的正弦曲線、余弦曲線，掌握兩者的形狀相同，只是在坐標(biāo)系中的位置不同，可以通過(guò)相互平移得到．
【例1-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)，的圖像與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（????）
A．0 B．1 C．2 D．3

【例1-2】函數(shù)y＝sin |x|的圖象是(　　)


【變式訓(xùn)練1-1】關(guān)于三角函數(shù)的圖象，有下列說(shuō)法：
①y＝sin x＋1.1的圖象與x軸有無(wú)限多個(gè)公共點(diǎn)；
②y＝cos(－x)與y＝cos |x|的圖象相同；
③y＝|sin x|與y＝sin(－x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；
④y＝cos x與y＝cos(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
其中正確的序號(hào)是________．
【變式訓(xùn)練1-2】（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)高一期末）函數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（????）個(gè)
A．5 B．4 C．3 D．2


知識(shí)點(diǎn)2 用“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖
作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的圖象的三個(gè)步驟

【例2-1】用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]．






【變式訓(xùn)練2-1】利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖．








知識(shí)點(diǎn)3 正弦(余弦)函數(shù)圖象的應(yīng)用
利用三角函數(shù)圖象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步驟
(1)作出相應(yīng)的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在[0,2π]上的圖象．
(2)確定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值．
(3)寫(xiě)出不等式在區(qū)間[0,2π]上的解集．
(4)根據(jù)公式一寫(xiě)出定義域內(nèi)的解集．

【例3-1】不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]解集為(　　)
A. B.
C. D.
延伸探究
1．在本例中把“x∈[0,2π]”改為“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．



2．試求關(guān)于x的不等式0)的形式，再利用公式求解．
(2)判斷函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω>0)是否具備奇偶性，關(guān)鍵是看它能否通過(guò)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一個(gè)．

【例6-1】定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝sin x，則f?等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
【變式訓(xùn)練6-1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高一期末）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)定義域?yàn)镽，周期為π的偶函數(shù)_______．

知識(shí)點(diǎn)7 求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的策略
(1)結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)采用“換元法”整體代換，將“ωx＋φ”看作一個(gè)整體“z”，即通過(guò)求y＝Asin z的單調(diào)區(qū)間而求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間同上．

【例7-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上的增區(qū)間是（????）
A． B．
C． D．
【例7-2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（????）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練7-1】（2022·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一階段練習(xí)）的單調(diào)增區(qū)間是（????）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練7-2】（2022·湖北黃石·高一期末）函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____．


知識(shí)點(diǎn)8 三角函數(shù)值的大小比較
比較三角函數(shù)值大小的步驟
(1)異名函數(shù)化為同名函數(shù)．
(2)利用誘導(dǎo)公式把已知角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上．
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?br />
【例8-1】比較下列各組數(shù)的大小：
(1)sin 220°與sin 230°；
(2)cos?與cos?；
(3)sin與cos.








【例8-2】（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（????）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練8-1】比較大?。?1)cos與cos ；
(2)sin 與cos .











【變式訓(xùn)練8-2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則（????）
A． B．
C． D．

知識(shí)點(diǎn)9 正弦、余弦函數(shù)的最值(值域)
三角函數(shù)值域(最值)問(wèn)題的求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性，注意對(duì)a正負(fù)的討論．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b )型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范圍，最后求得值域(最值)．
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設(shè)t＝sin x，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c求最值．t的范圍需要根據(jù)定義域來(lái)確定．

【例9-1】（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)的值域是（????）
A． B． C． D．
【例9-2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在處取得最小值3，那么的值為（????）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練9-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則的值可以是（????）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練9-2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則當(dāng)該函數(shù)取得最大值時(shí)的取值集合是______．
【變式訓(xùn)練9-3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____________．


知識(shí)點(diǎn)10 正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱性
正弦曲線、余弦曲線的對(duì)稱軸一定分別過(guò)正弦曲線、余弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲線、余弦曲線的對(duì)稱中心一定是正弦曲線、余弦曲線與x軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值、余弦值為0.通過(guò)該類問(wèn)題，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．

【例10-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線，則可以為_(kāi)__________.（寫(xiě)出一個(gè)符合題意的值即可）
【例10-2】（2022·陜西西安·高一期末）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線
C．是奇函數(shù) D．若，則
【變式訓(xùn)練10-1】（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最大負(fù)值為_(kāi)_____．
【變式訓(xùn)練10-2】（2022·陜西省商洛中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則___________．

知識(shí)點(diǎn)11 正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期性、奇偶性問(wèn)題的解決策略
(1)一般地，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為T(mén)＝，常常利用此公式來(lái)求周期．
(2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱，則該函數(shù)無(wú)奇偶性；若對(duì)稱，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．
2.(1)運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法
①運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．
②運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系．
(2)求函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間的求法是把ωx＋φ看成一個(gè)整體，解－＋kπ

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