4.3   對(duì)數(shù)思維導(dǎo)圖新課標(biāo)要求理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)。 知識(shí)梳理一、　對(duì)數(shù)的有關(guān)概念對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，以e(e＝2.718 28…)為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)，log10N可簡(jiǎn)記為lg N，logeN簡(jiǎn)記為ln N.二、　對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系[來(lái)源:學(xué).科.網(wǎng)Z.X.X.K]一般地，有對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.對(duì)數(shù)恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．三、　對(duì)數(shù)的性質(zhì)1．1的對(duì)數(shù)為零．2．底的對(duì)數(shù)為1.3．零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)．四、　對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．五、　換底公式1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．對(duì)數(shù)換底公式的重要推論：(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．  名師導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)1    指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出對(duì)數(shù)式．(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出指數(shù)式．【例1-1】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．       【變式訓(xùn)練1-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（    ）A．與 B．與C．與 D．與【變式訓(xùn)練1-2】（2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．       知識(shí)點(diǎn)2    對(duì)數(shù)運(yùn)算及其性質(zhì)（重點(diǎn)）對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)與求值的基本原則和方法(1)基本原則：對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問(wèn)題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行．(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；②“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)．【例2-1】（2021·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（    ）A． B． C． D． 【例2-2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)），則___________.【例2-3】計(jì)算下列各式的值：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；(2)；(3)log535－2log5＋log57－log51.8.   【變式訓(xùn)練2-1】（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）計(jì)算：（    ）A．10 B．1 C．2 D．【變式訓(xùn)練2-2】（2021·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是（    ）A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac【變式訓(xùn)練2-3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則______．【變式訓(xùn)練2-4】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，已知，則的值為______．【變式訓(xùn)練2-5】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．     【變式訓(xùn)練2-6】（2022·江蘇·連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．    知識(shí)點(diǎn)3    換底公式及其應(yīng)用（重點(diǎn)）利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的原則和技巧 【例3-1】　(1)計(jì)算：(log43＋log83)(log32＋log92)；(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．              延伸探究若本例(2)條件不變，求log915.(用a，b表示)       【變式訓(xùn)練3-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則（    ）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3-2】（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知，則下列能化簡(jiǎn)為的是（    ）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3-3】（2022·北京·牛欄山一中高一階段練習(xí)）計(jì)算：____________.【變式訓(xùn)練3-4】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，則___________.【變式訓(xùn)練3-5】（2021·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a，b均為不等于1的正數(shù)，利用對(duì)數(shù)的換底公式，證明：（1）；（2）（，，）.                           知識(shí)點(diǎn)4    對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法(1)在對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化．(2)對(duì)于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對(duì)數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)，從而使問(wèn)題得解．【例4-1】　(1)設(shè)3a＝4b＝36，求＋的值；(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.              【變式訓(xùn)練4-1】（多選）（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若，，且，則（    ）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練4-2】（2022·上海·高一單元測(cè)試）已知，若，則___________.【變式訓(xùn)練4-3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求解下列問(wèn)題：(1)證明：．(2)已知，且．求證：．            【變式訓(xùn)練4-4】（2021·江蘇·高一單元測(cè)試）已知a，b，c均為正數(shù)，且，求證：；               知識(shí)點(diǎn)5    對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例5-1】（2021?平谷區(qū)二模）溶液酸堿度是通過(guò)pH計(jì)算的，pH的計(jì)算公式為pH＝﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，若人體胃酸中氫離子的濃度為2.5×10﹣2摩爾/升，則胃酸的pH是（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010）（　?。?/span>A．1.398 B．1.204 C．1.602 D．2.602【例5-2】（2022?香坊區(qū)校級(jí)三模）1614年納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明對(duì)數(shù)；1637年笛卡爾開(kāi)始使用指數(shù)運(yùn)算；1770年，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，稱(chēng)為歷史上的珍聞．若，lg2＝0.3010，則x的值約為（　?。?/span>A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669【變式訓(xùn)練5-1】（2021秋?房山區(qū)期末）當(dāng)強(qiáng)度為x的聲音對(duì)應(yīng)的等級(jí)為f（x）分貝時(shí)，有f（x）＝10lg（其中A0為常數(shù)），裝修電鉆的聲音約為100分貝，普通室內(nèi)談話(huà)的聲音約為60分貝．則裝修電鉆的聲音強(qiáng)度與普通室內(nèi)談話(huà)的聲音強(qiáng)度的比值為（　?。?/span>A． B．10 C．104 D．e4【變式訓(xùn)練5-2】（2020春?宣威市期末）2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半島和伊朗西南部，沙漠蝗蟲(chóng)迅速繁衍，呈現(xiàn)幾何式的爆發(fā)，僅僅幾個(gè)月，蝗蟲(chóng)數(shù)量增長(zhǎng)了8000倍，引發(fā)了蝗災(zāi)，到2020年春季蝗災(zāi)已波及印度和巴基斯坦．假設(shè)蝗蟲(chóng)的日增長(zhǎng)率為5%，最初有N0只，則經(jīng)過(guò)（　?。┨炷苓_(dá)到最初的16000倍（參考數(shù)據(jù)；ln1.050≈0.0488，lnl.5≈0.4055，ln1600≈7.3778，ln16000≈9.6803）．A．198 B．199 C．197 D．200             名師導(dǎo)練A組-[應(yīng)知應(yīng)會(huì)]1．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知，則（    ）A．2 B．3 C． D．2．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③ 若，則；④若，則，其中正確的是（    ）A．①② B．②④C．①③ D．③④3．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一期末）已知函數(shù)滿(mǎn)足，則（    ）A． B．1 C．2 D．04．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）年蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)方法；年法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾開(kāi)始使用指數(shù)運(yùn)算；年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)．若，，則的值約為（    ）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．4 B．6 C．9 D．126．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則（    ）A． B．C． D．7．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知，均為正實(shí)數(shù)，若，，則（    ）A．或2 B． C． D．18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)的值為（    ）A． B． C． D．-19．（多選）（2022·湖南湘西·高一期末）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（    ）A．與 B．與C．與 D．與10．（多選）（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，則的值不可能是（    ）A． B． C． D．11．（2021·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高一期中）若，則_______.12．（2022·上海·高一單元測(cè)試）已知，用表示___________.13．（2021·江蘇·海門(mén)市第一中學(xué)高一期中）______.14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則________，________．15．（2022·浙江·余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開(kāi)學(xué)考試）用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超過(guò)1%，則至少要清洗的次數(shù)是________．（）16．（2022·江蘇·礦大附中高一階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足，，，則=______．17．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）(1)；(2)．      18．（2021·江蘇·高一單元測(cè)試）設(shè)，且，求證：    B組-[素養(yǎng)提升]1．（2021·湖北黃石·高一期中）若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，，則（    ）．A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則的值為________．3．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）把滿(mǎn)足，為整數(shù)的叫作“賀數(shù)”，則在區(qū)間內(nèi)所有“賀數(shù)”的個(gè)數(shù)是______．4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（1）根據(jù)所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)如下的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：如果，且，，那么；（2）請(qǐng)你運(yùn)用（1）中的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算的值；（3）因?yàn)?/span>，所以的位數(shù)為4．請(qǐng)判斷的位數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，）     5．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）設(shè)均為正數(shù)，且.(1)試求之間的關(guān)系.(2)求使成立，且與最近的正整數(shù)（即求與p的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)）.(3)比較，，的大小.

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