4.1   指數(shù) 思維導(dǎo)圖 新課標(biāo)要求通過對有理指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪（a>0,且，a≠1，x∈R）含義的認(rèn)識，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)。 知識梳理一、　n次方根、n次根式1．a的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)[來源:學(xué)|科|網(wǎng)]a∈Rn為偶數(shù)±[0，＋∞) 3.根式式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．二、　根式的性質(zhì)1.＝0(n∈N*，且n>1)．2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．3.＝a(n為大于1的奇數(shù))．4.＝|a|＝(n為大于1的偶數(shù))．三、　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪[來源:學(xué).科.網(wǎng)Z.X.X.K][來源:學(xué)|科|網(wǎng)][來源:Z&xx&k.Com]正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)[來源:學(xué)*科*網(wǎng)]負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義 四、　有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．五、　無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．六、　實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．       名師導(dǎo)學(xué)知識點1    由根式的意義求范圍對于，當(dāng)n為偶數(shù)時，要注意兩點(1)只有a≥0才有意義．(2)只要有意義，必不為負(fù)．【例1-1】求使等式＝(3－a)成立的實數(shù)a的取值范圍．    【變式訓(xùn)練1-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）若，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D． 【變式訓(xùn)練1-2】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)），則實數(shù)a的取值范圍_________  知識點2    利用根式的性質(zhì)化簡求值正確區(qū)分與()n(1)( )n已暗含了有意義，根據(jù)n的奇偶性可知a的范圍．(2)中的a可以是全體實數(shù)，的值取決于n的奇偶性．【例2-1】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．      【變式訓(xùn)練2-1】化簡下列各式：(1)＋()5；(2)＋()6；(3).           【變式訓(xùn)練2-2】（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知，化簡：．                 知識點3    根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化（重點）根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計算時，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)解題． 【例3-1】將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：(1)(a>0)；(2)(x>0)；(3)(b>0)．     【變式訓(xùn)練3-1】（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）將下列各式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示：(1)；(2)；(3)          【變式訓(xùn)練3-2】（2020·廣東·洛城中學(xué)高一期中）下列各式正確的是（    ）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3-3】（多選）（2022·湖北·江夏一中高一階段練習(xí)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（    ）A． B．C． D．  知識點4    利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值（重點）指數(shù)冪運算的常用技巧(1)有括號先算括號里的，無括號先進行指數(shù)運算．(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)．【例4-1】（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列各式：(1)；(2)．        【例4-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）計算：(1)；(2)．      【變式訓(xùn)練4-1】（2022·江蘇·高一）化簡 (a>0)等于（    ）A．6a B．－aC．－9a D．9a2【變式訓(xùn)練4-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）計算：___________________．【變式訓(xùn)練4-3】（2022·全國·高一課時練習(xí)）化簡：(1)；(2)；(3)．      知識點5    整體替換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【例5-1】(1)已知＋＝，則x2＋x－2＝________.(2)已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2.         【變式訓(xùn)練5-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練5-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知,，則的值為______.【變式訓(xùn)練5-3】（2022·全國·高一課時練習(xí)）（1）若，求的值；（2）已知，求的值．        名師導(dǎo)練A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．（2022·四川省儀隴宏德中學(xué)高一開學(xué)考試）下列選項中，計算結(jié)果等于4a3的是（    ）A．  B．   C．  D． 2．（2022·全國·高一單元測試）化簡的結(jié)果是（    ）A．0 B． C．0或 D．3．（2021·四川·成都市郫都區(qū)川科外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）下列運算正確的是（    ）A． B．C． D．4．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡（    ）A． B． C．2 D．5．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）若則（    ）A．10 B．15 C． D． 6．（2021·山東濟寧·高一期中）化簡結(jié)果為（    ）A．a B．b C． D．7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則化為（    ）A． B． C．m D．18．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）（多選題）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（    ）A． B．C． D．9．（2022·山東棗莊·高一期末）(多選)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（    ）A．B．C．)D．10．（2021·廣東茂名·高一期中）（多選）以下化簡結(jié)果正確的是（字母均為正數(shù)）（    ）A． B．C． D．11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）化簡的結(jié)果為________12．（2022·全國·高一專題練習(xí)）計算：___．13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的值為_______14．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，，，且，則______．15．（2021·江蘇省江陰市第一中學(xué)高一期中）已知，則___________.16．（2022·全國·高一單元測試）（1）化簡：；（2）計算：．        17．（2022·湖南·益陽市箴言中學(xué)高一開學(xué)考試）化簡下列各式：(1)(2)若，，求．         18．（2021·全國·高一專題練習(xí)）求解下列問題：(1)已知，且，求.(2)已知，求和的值.         B組-[素養(yǎng)提升] 1．（2022·江蘇·南京師大附中高一期末）設(shè)、，滿足，則的值為___________.2．已知m＝2，n＝3，則3的值是________．3．（2022·江蘇·高一）已知，，求的值.         4．對于正整數(shù)a，b，c(a≤b≤c)和非零實數(shù)x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

4.1 指數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

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