課時(shí)學(xué)習(xí)素養(yǎng)目標(biāo)：1.理解基本不等式ab≤a+b2 （a>0 ,b>0 ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí),等號(hào)成立）.2.能利用基本不等式求最值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.能利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
導(dǎo) 2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)如圖所示，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能得出什么樣的結(jié)論？
思：新知一 基本不等式的定義
?a ，b∈ ，有a2+b2≥2ab ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.
特別地，如果a>0 ，b>0 ，我們用a ，b 分別代替上式中的a ，b ，可得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.
通常稱ab≤a+b2 為基本不等式。其中，a+b2 叫做正數(shù)a ，b 的算術(shù)平均數(shù)，ab 叫做正數(shù)a ，b 的幾何平均數(shù)。
基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
自主思考1. 基本不等式怎樣證明？
探究：在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a，BC=b．過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD．你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式ab≤a+b2的幾何解釋嗎？
提示： (1)a+b2表示哪個(gè)線段？ (2)ab對(duì)應(yīng)哪個(gè)線段呢？（3）半徑與CD的大小關(guān)系如何？
議：探究點(diǎn)一 對(duì)基本不等式的理解
（1）已知 a，b>0 ，則下列不等式一定成立的是( )
A. a+b2≤ab B. (a?b)2>1 C. a+b≥2ab D. a+b≥2ab
（2）不等式a2+1≥2a 中等號(hào)成立的條件是( )
A. a=1 B. a=?1 C. a=0 D. a=±1
探究點(diǎn)二 利用基本不等式求最值
已知x>0 ，求x+1x 的最小值
已知x ,y 都是正數(shù)，求證：
（1）如果積xy 等于定值P ,那么當(dāng)x=y 時(shí),和x+y 有最小值2P.
（2）如果和x+y 等于定值S ,那么當(dāng)x=y 時(shí),積xy 有最大值 14S2
新知二 兩個(gè)重要結(jié)論
已知x，y 都是正數(shù)，
（1）如果積xy 等于定值P，那么當(dāng)x=y 時(shí)，和x+y 有最小值 .
（2）如果和x+y 等于定值S，那么當(dāng)x=y 時(shí)，積xy 有最大值 .
和定積最大，積定和最小
自主思考2. 當(dāng)a>0 時(shí)，你能求出a+4a 的最小值嗎？
解題感悟 基本不等式求最值的三個(gè)條件：
1.一正：符合基本不等式a+b2≥ab 成立的前提條件為a>0 ,b>0 .
2.二定：不等式的一邊轉(zhuǎn)換為定值.
3.三相等：必須存在取等號(hào)的條件，即等號(hào)成立.以上三點(diǎn)缺一不可.
遷移應(yīng)用1. （1） 若x>0，求y=3x+12x的最小值；
（2）已知?1≤x≤1，求1?x2的最大值
（3）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=ab，則ab的最小值為（ ）
A.1 B. 2 C. 2 D.4
探究點(diǎn)三 利用基本不等式證明不等式
已知a ,b ,c 都是正數(shù)，求證：a+b+c≥ab+bc+ca ；
解題感悟 利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)
（1）策略：從已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所證明的問(wèn)題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
（2）注意事項(xiàng)：
①多次使用基本不等式時(shí)，要注意等號(hào)能否成立；
②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用；
③對(duì)不能直接使用基本不等式的證明問(wèn)題可重新組合，創(chuàng)設(shè)使用基本不等式的條件再使用.
遷移應(yīng)用2. 已知x,y,z都是正數(shù)，求證：(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz .
【檢】
1. 已知a>0 ,b>0 ,且ab=2 ,那么a+b 的最小值是( )
A.4 B. 2 C. 22 D. 1
2. 不等式(x?2y)+1x?2y≥2成立的前提條件為
3. 若a>0 ，b>0 ，則1a+1b 4a+b （填“＞”“＜”“≥”或“≤”）.
4. 中國(guó)南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a 、b 、c ，則三角形的面積S 可由公式S=pp?ap?bp?c 求得，其中p 為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足a=8 ，b+c=10 ，則此三角形面積的最大值為 .
第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式
2.2.2 基本不等式 (第2課時(shí)）
課時(shí)學(xué)習(xí)素養(yǎng)目標(biāo)：1.能夠?qū)κ阶舆M(jìn)行變形，構(gòu)造定值2.熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.（數(shù)據(jù)分析）；3.能運(yùn)用基本不等式求代數(shù)式的最值（數(shù)學(xué)運(yùn)算）
【導(dǎo)】一、兩個(gè)重要結(jié)論
已知x、y都是正數(shù)，
1.若積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x＋y有最小值_____．
2.若和 x＋y是定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值_____．
二、運(yùn)用基本不等式求最值的三個(gè)條件：
1.“一正”：x，y必須是 ；
2.“二定”：求積xy的最大值時(shí)，應(yīng)看和x＋y是否為 ；求和x＋y的最小值時(shí)，應(yīng)看積xy是否為 .
3.“三相等”：當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立。
如果題目中基本不等式不能滿足“一正”、“和為定值”或“積為定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通過(guò)變形，構(gòu)造定值，常見(jiàn)方法有：配項(xiàng)法；配系數(shù)法；分式型基本不等式；常值代換法“1”的代換。
思：探究一 利用基本不等式求最值
基本不等式的變形：
（1）ab≤a+b22 ,a ,b 都是正數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)，等號(hào)成立.
（2）a+b≥2ab ,a ,b 都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)，等號(hào)成立.
（1）已知x>0 ，求x+1x 的最小值
若x0 ，1a+1b=1 ，則a+b 的最小值為( )
A. 14 B. 12 C. 2 D. 4
遷移應(yīng)用5. 已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且2a+3b=4，則3a+2b的最小值為( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
解題感悟：利用“1”的代換構(gòu)造積為定值的形式，一般形如“已知ax＋by為定值，求eq \f(c,x)＋eq \f(d,y)的最值”或“已知eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)為定值，求cx＋dy的最值” (其中a，b，c，d均為常參數(shù))時(shí)可用常值代換處理。應(yīng)用此種方法求解最值時(shí)，應(yīng)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘求積或相除求商.
【檢】
1. 已知x>0 ，y>0 ，且2x+y=2 ，則xy 的最大值是( )
A. 14 B. 12 C.4 D.8
2. 已知00，且2x+8y=xy，求x+y的最小值。
第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式
2.2.3 基本不等式 (第3課時(shí)）
課時(shí)學(xué)習(xí)素養(yǎng)目標(biāo)：1.能運(yùn)用基本不等式求最值（數(shù)學(xué)運(yùn)算）
2.能夠?qū)κ阶舆M(jìn)行變形，構(gòu)造定值；會(huì)用基本不等式解決恒成立問(wèn)題(重點(diǎn))。
3.能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問(wèn)題.（數(shù)學(xué)建模）
導(dǎo)：一、重要不等式：?a ，b∈ R，有a2+b2≥2ab ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.
基本不等式：特別地，如果a>0 ，b>0 ，我們用a ，b 分別代替上式中的a ，b ，可得ab≤a+b2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.
基本不等式的變形：如果a>0 ，b>0，a+b≥2ab，ab≤(a+b2)2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)，等號(hào)成立.
三、運(yùn)用基本不等式求最值的三個(gè)條件：
1.“一正”：x，y必須是正數(shù)；
2.“二定”：求積xy的最大值時(shí)，應(yīng)看和x＋y是否為定值；求和x＋y的最小值時(shí)，應(yīng)看積xy是否為定值.
3.“三相等”：當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立。
思：基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
例1 （1）用籬笆圍一個(gè)面積為100 m2的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？
用一段長(zhǎng)為36 m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？
例2 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800 m^3，深為3 m. 如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？
解題感悟 應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的思路
（1）先理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為因變量（函數(shù)）;
（2）建立相應(yīng)的關(guān)系式,把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，利用基本不等式求解;
（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值
（4）根據(jù)實(shí)際背景寫(xiě)出答案.
遷移應(yīng)用1. 某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2，房屋正面每平方米的造價(jià)為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為800元，屋頂?shù)脑熳鲀r(jià)為5800元。如果墻高為3m，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，那么怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少?
檢：
1. [2021吉林長(zhǎng)春高一檢測(cè)]如圖所示的是一張單欄的豎向張貼的海報(bào),它的印刷面積為72dm2 （圖中陰影部分）,上、下空白部分各寬2dm ,左、右空白部分各寬1dm ,則四周空白部分的面積最小為 dm2 .
2. 要制作一個(gè)容積為4m3 ，高為1m 的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，求該容器的最低總造價(jià).

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2.2 基本不等式

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