?專題01 圓的取值范圍與最值問題題型全歸納
【考點(diǎn)預(yù)測】
涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：
（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．
（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．
（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問題
【方法技巧與總結(jié)】
解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：
（1）數(shù)形結(jié)合
（2）多與圓心聯(lián)系
（3）參數(shù)方程
（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題
【題型歸納目錄】
題型一：斜率型
題型二：直線型
題型三：距離型
題型四：長度、周長、面積型
題型五：數(shù)量積與角度型
題型六：阿波羅尼斯圓
【典例例題】
題型一：斜率型
例1．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足，那么的最大值為___________.

例2．（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)大橋高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2，3).
(1)若P(a，a＋1)在圓C上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率；
(2)求MQ的最大值和最小值；
(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．




例3．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值和最小值的和是（???????）
A．1 B．0 C． D．

變式1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列關(guān)于的最值的判斷正確的是（???????）
A．最大值為2＋，最小值為—2－
B．最大值為2＋，最小值為2－
C．最大值為－2＋，最小值為－2－
D．最大值為—2＋，最小值為2－

變式2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓，圓．若過點(diǎn)的直線l與圓、都有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

變式3．（2022·江蘇·常熟市王淦昌高級中學(xué)高二階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（????）
A． B． C． D．2

題型二：直線型
例4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.




例5．（多選題）（2022·浙江溫州·高二期中）已知A（4，2），B（0，4），圓，P為圓C上的動點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（????）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．的最小值為
D．最大時，

例6．（多選題）（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上．這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標(biāo)系中作，，點(diǎn)，點(diǎn)，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．的“歐拉線”方程為
B．圓上點(diǎn)到直線的最大距離為
C．若點(diǎn)在圓上，則的最小值是
D．若點(diǎn)在圓上，則的最大值是

變式4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的動點(diǎn)，則的最小值為__________.

題型三：距離型
例7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知x，y滿足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值．




例8．（2022·北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)高二期中）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，動點(diǎn)在圓上，求的最大值和最小值．




例9．（2022·新疆·高二期中）已知點(diǎn)分別為圓與上一點(diǎn)，則的最小值為（????）
A． B． C．3 D．6

變式5．（2022·北京大興·高二期中）已知、是圓上兩個不同的動點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.
(1)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，求的坐標(biāo)；
(2)求點(diǎn)的軌跡方程；
(3)求的最小值與最大值.




變式6．（2022·江蘇南京·高二階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的取值范圍為___________；的最小值為___________.

變式7．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓的方程為：
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)當(dāng)圓半徑最大時，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，求的最小值.




變式8．（2022·全國·高二課前預(yù)習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最大值與最小值．




變式9．（2022·河南·南陽市第六完全學(xué)校高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)P(m，n)在圓上運(yùn)動，則的最大值為______，最小值為_______，的范圍為________．

變式10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，，過點(diǎn)作兩條直線，被圓M截得弦AB，CD，滿足.設(shè)線段AC的中點(diǎn)為N，則的最小值為___________.

變式11．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，圓，動點(diǎn)在軸上，動點(diǎn)，分別在圓和圓上，則的最小值是__．

變式12．（2022·天津市第二南開中學(xué)高二期中）若直線始終平分圓的周長，則的最小值為________.

題型四：長度、周長、面積型
例10．（多選題）（2022·福建漳州·高二期中）已知點(diǎn)在圓上，則下列說法正確的是（????）
A．圓C的圓心為 B．圓C的半徑為2
C．的最大值為7 D．的最小值為

例11．（2022·四川·瀘州市龍馬高中高二階段練習(xí)（文））已知圓C的圓心在第一象限且在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長為
(1)求圓C的方程；
(2)由直線上一點(diǎn)P向圓C引切線，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值．




例12．（2022·新疆·高二期中）已知圓，直線過點(diǎn).
(1)若直線與圓相切，求直線的方程；
(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時直線的斜率.




變式13．（2022·四川·仁壽一中高二期中（文））已知圓C：，點(diǎn)P是直線上的動點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形PACB面積的最小值為______

變式14．（2022·北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，為原點(diǎn)，以為直徑作圓．
(1)求圓的方程；
(2)設(shè)是圓上的動點(diǎn)，求的最大值和最小值．




變式15．（2022·浙江省諸暨市草塔中學(xué)高二階段練習(xí)）已知過點(diǎn)的圓的圓心M在直線上，且y軸被該圓截得的弦長為4．
(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，求的最小值，并寫出取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．




變式16．（2022·河南·濮陽南樂一高高二階段練習(xí)（文））已知圓，直線，為直線上的動點(diǎn)，過做圓的切線，切點(diǎn)為，則四邊形的面積的最小值為________

變式17．（多選題）（2022·江蘇·常熟市王淦昌高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線與圓，則下列說法正確的是（???）
A．圓的半徑為4
B．直線過定點(diǎn)
C．直線與圓的相交弦長的最小值為
D．直線與圓的交點(diǎn)為，則面積的最大值為2

變式18．（2022·黑龍江·大慶四中高二期中）已知圓和圓，，分別是圓和圓上的動點(diǎn)，為軸上的動點(diǎn)，則關(guān)于的最小值為______．

變式19．（2022·北京·大峪中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，從點(diǎn)向直線（k為參數(shù)）作垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段的最小值是（????）
A．3 B．4 C．5 D．6

變式20．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）已知圓，則過點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（????）．
A．2 B．4 C． D．

變式21．（2022·四川宜賓·高二期末（文））直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動點(diǎn)P，則的最小值為（????）
A．16 B．18 C．20 D．22

變式22．（2022·湖南·長沙市明德中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)，分別為圓：，：上的動點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，則的最小值（????）
A． B． C． D．

變式23．（2022·福建省廈門集美中學(xué)高二階段練習(xí)）由直線上的一點(diǎn)向圓C：引切線，則切線長的最小值為（????）
A．1 B． C． D．2

變式24．（2022·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則△的面積的最小值為（????）
A． B．3 C．2 D．

題型五：數(shù)量積與角度型
例13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓經(jīng)過，，.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個動點(diǎn)，求的最小值.




例14．（多選題）（2022·河北石家莊·高二期末）設(shè)，直線與直線相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動弦，為弦的中點(diǎn)，，下列說法正確的是（???????）
A．點(diǎn)在定圓上
B．點(diǎn)在圓外
C．線段長的最大值為
D．的最小值為

例15．（多選題）（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期中）過點(diǎn)作圓的切線，是圓上的動點(diǎn)，則下列說法中正確的是（???????）
A．切線的方程為
B．圓與圓的公共弦所在直線方程為
C．點(diǎn)到直線的距離的最小值為
D．點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為

變式25．（2022·江蘇常州·高二期中）已知直線與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為_____________.

變式26．（2022·湖北·高二期中）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“如圖，點(diǎn)M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得∠MPN最大”.如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過M，N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M（1，2），N（3，4），點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)∠MPN取最大值時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_________.


變式27．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓及定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q為圓C上兩動點(diǎn)，點(diǎn)M為弦PQ的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)M到點(diǎn)的距離的最大值為__________．

題型六：阿波羅尼斯圓
例16．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知圓上的動點(diǎn)M和定點(diǎn)A，，則的最小值為_____．

例17．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)和，圓與圓關(guān)于直線對稱．
(1)求圓的方程；
(2)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，在軸上求出一點(diǎn)（異于點(diǎn)使得點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之比為定值，并求的最小值．




例18．（2022·廣東·仲元中學(xué)高二期中）已知圓和點(diǎn)，若定點(diǎn)和常數(shù)滿足：對圓O上任意一點(diǎn)M，都有，則_________，面積的最大值為______________．



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