我們已經(jīng)把向量由平面推廣到空間，并利用空間向量解決了一些有關(guān)空間位置關(guān)系和度量的問(wèn)題.我們發(fā)現(xiàn)，建立空間向量與幾何要素的對(duì)應(yīng)關(guān)系是利用空間向量解決幾何問(wèn)題的關(guān)鍵.
我們知道，點(diǎn)、直線和平面是空間的基本圖形，點(diǎn)、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素.因此，為了用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，首先要用向量向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面.
我們?cè)趺从孟蛄堪芽臻g中的一個(gè)點(diǎn)表示出來(lái)？
2．空間直線的向量表示式
結(jié)論：空間任意直線由直線上一點(diǎn)和直線的方向向量唯一確定.
3．空間平面的向量表示式
一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面？如果能確定，如何用向量表示這個(gè)平面？
上式稱為空間平面 ABC 的向量表示式. 由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.
給定空間一點(diǎn) A 和一條直線 l ，則過(guò)點(diǎn) A 且垂直于直線 l 的平面是唯一確定的. 由此可以利用點(diǎn) A 和直線 l 的方向向量來(lái)確定平面.
1．空間中給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)方向向量能唯一確定一條直線嗎？
2．一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向向量能否確定一個(gè)平面？
不一定，若兩個(gè)定方向向量共線時(shí)不能確定，若兩個(gè)定方向向量不共線能確定．
3．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為(　　)A．(2，1，1)　　　B．(－2，2，2)C．(－3，2，1) D．(2，1，－1)
4．已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，則平面ABC的一個(gè)法向量為(　　)A．(0，1，－1) B．(－1，0，1)C．(1，1，1) D．(－1，0，0)
(2)在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD-A1B1C1D1為正方體，棱長(zhǎng)為1，則直線DD1的一個(gè)方向向量為_(kāi)_______，直線BC1的一個(gè)方向向量為_(kāi)_______．
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，G，E，F(xiàn)分別為AA1，AB，BC的中點(diǎn)，求平面GEF的一個(gè)法向量．
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
利用待定系數(shù)法求法向量的步驟
如圖所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過(guò)A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一個(gè)法向量．
例3已知點(diǎn)A(2，4，0)，B(1，3，3)，如圖，以AB的方向?yàn)檎颍谥本€AB上建立一條數(shù)軸，P，Q為軸上的兩點(diǎn)，且分別滿足條件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1. 求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y，z)，則上式換用坐標(biāo)表示，

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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