“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”，這是唐代詩人王維的詩句．它描述了黃昏日落時(shí)分塞外特有的景象．
從日落這種自然現(xiàn)象中可以抽象出哪些基本的幾何圖形呢？它們有哪些位置關(guān)系呢？
思考：如何用直線的方程和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？
例1.如圖，已知直線l：3x+y-6=0 和圓心為C的圓 x2+y2-2y-4=0 ,判斷直線 l 與圓的位置關(guān)系；
解法一：由直線與圓的方程，得
所以直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．
所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A（2,0）,B（1,3）
解法二：圓x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,
所以，直線 l 與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．
一、直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：
(1)利用直線與圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷：
(2)利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷：
“幾何法”側(cè)重于圖形的幾何性質(zhì)，步驟較簡(jiǎn)潔；“代數(shù)法”則側(cè)重于“坐標(biāo)”與“方程”，判斷直線與圓的位置關(guān)系，一般用幾何法．
例2.已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1=0．當(dāng)m為何值時(shí)，直線與圓(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)？
方法1：將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程，化簡(jiǎn)、整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0．∵Δ＝4m(3m＋4)，
直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；
直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；
直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)．
[規(guī)律方法]　直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線與圓的位置關(guān)系反映在三個(gè)方面：一是點(diǎn)到直線的距離與半徑大小的關(guān)系；二是直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；三是兩方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)．因此，若給出圖形，可根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷；若給出直線與圓的方程，可選擇用幾何法或代數(shù)法，幾何法計(jì)算量小，代數(shù)法可一同求出交點(diǎn)．解題時(shí)可根據(jù)條件作出恰當(dāng)?shù)倪x擇．
1．直線x－ky＋1＝0與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　)A．相交　　　　　B．相離C．相交或相切 D．相切
解析：直線x－ky＋1＝0恒過定點(diǎn)(－1，0)，而(－1，0)在圓上，故直線與圓相切或相交．
2．已知點(diǎn)(a，b)在圓C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，則直線ax＋by＝r2與C的位置關(guān)系是(　　)A．相切　　　　　　　　B．相離C．相交 D．不確定
解析：由已知a2＋b2＞r2，且圓心到直線ax＋by＝r2的距離為
則d＜r，故直線ax＋by＝r2與圓C的位置關(guān)系是相交.
[例3](1)設(shè)直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝1相切，則m＝________；(2)過點(diǎn)A(－1，4)作圓(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，求切線l的方程為_____．
[解析]　(1)已知圓的圓心為O(0，0)，半徑r＝1，則O到已知直線的距離
(2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴點(diǎn)A在圓外．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程是x＝－1，不滿足題意．設(shè)直線l的斜率為k，則切線l的方程為y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.圓心(2，3)到切線l的距離為
直線l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.
[解]　圓x2＋y2＝25的半徑長(zhǎng)r為5，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)l＝8，于是弦心距d＝
因?yàn)閳A心O(0，0)到直線x＝－3的距離恰為3，所以直線x＝－3是符合題意的一條直線．
對(duì)應(yīng)的方程分別為x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
例5.已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內(nèi)有一點(diǎn)P(－1，2)，AB為過點(diǎn)P且傾斜角為α的弦．(1)當(dāng)α＝135°時(shí)，求AB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線AB的方程．
【解】　(1)方法一(幾何法)：如圖所示，過點(diǎn)O作OC⊥AB．由已知條件得直線的斜率為k＝tan 135°＝－1，所以直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.

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2.5 直線與圓、圓與圓的位置

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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