人教A版 (2019)選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程3.2 雙曲線優(yōu)秀課堂檢測-試卷下載-教習網

?3．2．1 雙曲線及其標準方程
【知識點梳理】
知識點一、雙曲線的定義
在平面內，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距．
知識點詮釋：
1、雙曲線的定義中，常數應當滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關性質“兩邊之差小于第三邊”來理解；
2、若去掉定義中的“絕對值”，常數滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；
3、若常數滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；
4、若常數滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；
5、若常數，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
知識點二、雙曲線的標準方程
標準方程的推導：
如何建立雙曲線的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的集合；（3）代數方程；（4）化簡方程等步驟．
（1）建系設點
取過焦點、的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸

（2）建立直角坐標系．
設為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是（），那么F1、F2的坐標分別是、．又設點M與、的距離的差的絕對值等于常數．
（2）點的集合
由定義可知，雙曲線就是集合：
．
（3）代數方程
∵，
∴
（4）化簡方程
將這個方程移項，兩邊平方得：

化簡得：
兩邊再平方，整理得：
（以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導．）
由雙曲線定義，即c＞a，所以．
設，代入上式得：
即，其中
這就是雙曲線的標準方程．
雙曲線的標準方程：
1、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；
2、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中
橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：
橢圓
雙曲線
根據
根據
，
，
，

（a＞b＞0）
，

（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
標準方程統(tǒng)一為：

方程（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件
方程可化為，即，
所以只有A、B異號，方程表示雙曲線．
當，時，雙曲線的焦點在x軸上；
當，時，雙曲線的焦點在y軸上．
知識點詮釋：
1、當且僅當雙曲線的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，雙曲線的方程才是標準方程形式．此時，雙曲線的焦點在坐標軸上．
2、雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：，，且．
3、雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看、的系數，如果項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果項的系數是正的，那么焦點在y軸上．
4、對于雙曲線，不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上．
知識點三、求雙曲線的標準方程
①待定系數法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；
②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程．
知識點詮釋：若定義中“差的絕對值”中的絕對值去掉，點的集合成為雙曲線的一支，先確定方程類型，再確定參數a、b，即先定型，再定量．若兩種類型都有可能，則需分類討論．
【方法技巧與總結】
求雙曲線中的焦點三角形面積的方法
（1）①根據雙曲線的定義求出；
②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關系式；
③通過配方，利用整體的思想求出的值；
④利用公式求得面積。
（2）利用公式求得面積；
（3）若雙曲線中焦點三角形的頂角，則面積.
【題型歸納目錄】
題型一：雙曲線的定義
題型二：雙曲線的標準方程
題型三：雙曲線方程的充要條件
題型四：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題
題型五：雙曲線上兩點距離的最值問題
題型六：雙曲線上兩線段的和差最值問題
題型七：求軌跡方程
【典型例題】
題型一：雙曲線的定義
例1．（2022·全國·高二課時練習）若是雙曲線上一點，則到兩個焦點的距離之差為______.

例2．（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））若點是雙曲線上一點，，分別為的左、右焦點，，則（????）．
A．5 B．13 C．5或13 D．1或5

例3．（2022·四川樂山·高二期末（文））已知點是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上一動點，過點作軸垂線并延長交雙曲線左支于點，當點向上移動時，的值（????）

A．增大 B．減小 C．不變 D．無法確定

例4．（2022·四川省綿陽南山中學高二階段練習（文））方程化簡的結果是（????）
A． B．
C．， D．，

例5．（2022·全國·高二課時練習）如圖，為雙曲線的左焦點，雙曲線上的點與關于軸對稱，則______．

例6．（2022·江蘇·高二專題練習）在中，，，點C在雙曲線上，則（????）
A． B． C． D．

題型二：雙曲線的標準方程
例7．（2022·全國·高二專題練習）等軸雙曲線的一個焦點為，則它的標準方程是（????）
A． B．
C． D．

例8．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線C：（，）的實軸長為8，一條漸近線的方程為，則雙曲線的標準方程為（????）
A． B．
C． D．

例9．（2022·黑龍江·雞西實驗中學高二期中）已知雙曲線的下、上焦點分別為，，是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（????）
A． B．
C． D．

例10．（2022·安徽·六安外國語高級中學有限公司高二期末）已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標準方程是（????）
A． B．
C． D．

例11．（2022·全國·高二課時練習）若雙曲線與橢圓有公共焦點，且離心率，則雙曲線的標準方程為（????）
A． B． C． D．

例12．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線過點，離心率為2，則該雙曲線的標準方程為（????）
A． B．
C． D．

例13．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點、坐標分別為、，則該雙曲線的標準方程為______．

例14．（2022·全國·高二課時練習）（1）若雙曲線過點，離心率，則其標準方程為_____．
（2）若雙曲線過點，漸近線方程是，則其標準方程為_____．
（3）若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經過點，則其標準方程為_____．

題型三：雙曲線方程的充要條件
例15．（2022·廣東廣州·高二期末）已知曲線，則下列結論正確的是（????）
A．若，，則C是兩條直線，都平行于y軸
B．若，則C是圓，其半徑為
C．若，則C是橢圓．其焦點在軸上
D．若，則C是雙曲線，漸近線方程為

例16．（2022·北京市第五十七中學高二期末）已知曲線C：，則下列說法不正確的是（????）
A．若，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若，則C是雙曲線，其漸近線方程為
C．若，則C是圓，其半徑是
D．若，則C是兩條直線

例17．（2022·全國·高二課時練習）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（????）
A． B． C． D．

例18．（2022·全國·高二課時練習）若方程表示的圖形是雙曲線，則m的取值范圍是（????）
A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5

例19．（2022·安徽滁州·高二階段練習）已知曲線C的方程為，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則實數k的取值范圍是（????）．
A． B． C． D．或5

題型四：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題
例20．（2022·全國·高二課時練習）設，是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（????）
A．24 B． C． D．30

例21．（2022·全國·高二課時練習）設，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當時，面積為（????）．
A． B． C． D．

例22．（2022·湖南·長沙市明德中學高二階段練習）已知雙曲線的左，右焦點為，P為雙曲線右支上的一點，，I是的內心，則下列結論錯誤的是（????）
A．是直角三角形 B．點I的橫坐標為1
C． D．的內切圓的面積為

例23．（2022·陜西省安康中學高二期末（文））設雙曲線的左、右頂點分別為、，左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為若以為直徑的圓與直線相切，則的面積為（????）

A． B． C． D．

例24．（2022·江蘇·高二單元測試）已知F是雙曲線C：的右焦點，P是C左支上一點，，當周長最小時，該三角形的面積為（????）
A． B． C． D．30

例25．（2022·江蘇·高二單元測試）已知雙曲線，過雙曲線的上焦點作圓的一條切線，切點為M，交雙曲線的下支于點N，T為的中點，則的外接圓的周長為（????）
A． B． C． D．

例26．（2022·全國·高二課時練習）已知，分別是雙曲線的左?右焦點，點P是雙曲線上一點，若，且的最小內角為，則雙曲線的標準方程為（????）
A． B． C． D．

例27．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線過焦點的弦AB，A、B兩點在同一支上且長為m，另一焦點為，則的周長為（????）．
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m

題型五：雙曲線上兩點距離的最值問題
例28．（2022·上海中學東校高二期末）過橢圓右焦點F的圓與圓外切，該圓直徑的端點Q的軌跡記為曲線C，若P為曲線C上的一動點，則長度最小值為（????）
A．0 B． C．1 D．2

例29．（2022·安徽省宣城市第二中學高二階段練習（理））已知分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，若內切圓圓心為，則圓心到圓上任意一點的距離最小值為（????）
A． B． C． D．

例30．（2022·北京八中高二期中）已知定點A、B，且|AB|＝4，動點P滿足||PA|﹣|PB||＝3，則|PA|的最小值是（????）
A． B． C． D．5

例31．（2022·全國·高二課時練習）若坐標原點和點分別為雙曲線的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的最小值為________.

例32．（2022·河南·沈丘縣第一高級中學高二期末（文））已知定點，且，動點滿足，則的最小值是___________.

題型六：雙曲線上兩線段的和差最值問題
例33．（2022·全國·高二專題練習）如圖所示，已知雙曲線的方程為，點的坐標為，是圓上的點，點為其圓心，點在雙曲線的右支上，求的最小值．

例34．（2022·全國·高二課時練習）設P是雙曲線上一點，M?N分別是兩圓和上的點，則的最大值為（????）
A．6 B．9 C．12 D．14

例35．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線的左焦點為，M為雙曲線C右支上任意一點，D點的坐標為，則的最大值為（????）
A．3 B．1 C． D．

例36．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學高二階段練習）已知橢圓的一個焦點為F，雙曲線的左、右焦點，分別為，，點P是雙曲線左支上一點，則周長的最小值為（????）
A．5 B． C．10 D．14

例37．（2022·全國·高二課時練習）已知是雙曲線的左焦點，點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（????）
A．9 B．5 C．8 D．4

例38．（2022·全國·高二專題練習）過雙曲線的右支上一點分別向圓和作切線，切點分別為，則的最小值為（????）
A．10 B．13 C．16 D．19

例39．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高二開學考試）已知，是圓上的點，點在雙曲線的右支上，則的最小值為（????）
A． B． C． D．

例40．（2022·湖北·石首市第一中學高二階段練習）已知點在雙曲線的右支上，，動點滿足，是雙曲線的右焦點，則的最大值為___________.

例41．（2022·江西·臨川一中高二階段練習（理））已知、分別為雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線的右頂點，過的直線與雙曲線的右支交于、，兩點(其中點在第一象限)，設點、分別為、的內心，則的取值范圍是____________．

題型七：求軌跡方程
例42．（2022·全國·高二課時練習）在矩形中，，AB＝6，把邊AB分成n等份，在的延長線上，以的n分之一為單位長度連續(xù)取點．過邊AB上各分點和點作直線，過延長線上的對應分點和點A作直線，這兩條直線的交點為P，如圖建立平面直角坐標系，則點P的坐標滿足的方程是（????）

A． B．
C． D．

例43．（2022·全國·高二課時練習）動圓M與圓：和圓：均外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（????）
A． B．
C． D．

例44．（2022·全國·高二課時練習）在平面直角坐標系中，已知圓，點，點在圓上運動，設線段的垂直平分線和直線的交點為，則點的軌跡方程為（????）
A． B．
C． D．

例45．（2022·北京市第十九中學高二期末）設點，，為動點，已知直線與直線的斜率之積為定值，點的軌跡是（????）
A． B．
C． D．

例46．（多選題）（2022·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，有兩個圓C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2為正常數，滿足r1+r2＜4或r1+r2＞4，一個動圓P與兩圓都相切，則動圓圓心的軌跡方程可以是（????）
A．兩個橢圓 B．兩個雙曲線
C．一個雙曲線和一條直線 D．一個橢圓和一個雙曲線

例47．（2022·全國·高二課時練習）如圖，圓，點，動圓P過點F，且與圓E內切于點M，則動圓P的圓心P的軌跡方程為______．

例48．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓，作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，作垂直于y軸的直線m交橢圓于C，D兩點，且，直線l與直線m交于P點，則點P的軌跡方程為______．

例49．（2022·全國·高二課時練習）我國邊防局接到情報，在兩個暗礁、所在直線的一側處有走私團伙在進行交易活動，邊防局迅速派出快艇前去搜捕．如圖，已知快艇出發(fā)位置在碼頭處，線段布滿暗礁，已知，，，且．建立適當的直角坐標系，求使快艇沿航線或的路程相等的點的軌跡方程，且畫出軌跡的大致圖形．

例50．（2022·江蘇·高二課時練習）求下列動圓的圓心的軌跡方程：
(1)與圓和圓都內切；
(2)與圓內切，且與圓外切．

【同步練習】
一、單選題
1．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二開學考試）關于，的方程（其中）表示的曲線可能是（????）
A．圓心為非坐標原點的圓 B．焦點在軸上的雙曲線
C．焦點在軸上的雙曲線 D．長軸長為的橢圓
2．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學校高二階段練習）已知A，B分別為雙曲線的左，右頂點，點P是C上的任意一點，是底角為30°的等腰三角形，則m的值為(????)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·浙江大學附屬中學高二期中）設，分別是雙曲線的左?右焦點，是該雙曲線上的一點，且，則的面積等于（????）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高二課時練習）設是圓上一動點，點的坐標為，若線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為（????）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川廣元·高二期末（理））三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數學家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個問題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個三等分點，以A為左焦點，B，C為頂點作雙曲線T．設雙曲線T與弧的交點為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（????）

A． B．1 C．2 D．
6．（2022·山西太原·高二期末）已知，分別是雙曲線的左右焦點，點P在該雙曲線上，若，則（????）
A．4 B．4或6 C．3 D．3或7
7．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二期末（理））若以雙曲線的左焦點為圓心，以左焦點到右頂點的距離為半徑的圓的方程為，則該雙曲線的方程為（????）
A． B． C． D．
8．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高二階段練習（文））設雙曲線C：（，）的左焦點為F，直線過點F且與雙曲線C在第二象限的交點為P，，其中O為坐標原點，則雙曲線C的方程為（????）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2022·江蘇·高二單元測試）設為實數，方程，下列說法正確的是（????）
A．若此方程表示圓，則圓的半徑是
B．若此方程表示雙曲線，則的取值范圍是
C．若此方程表示焦點在軸上的雙曲線，則的取值范圍是
D．若此方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是
10．（2022·浙江嘉興·高二期末）已知平面內兩個定點，直線相交于點，且它們的斜率之積為常數，設點的軌跡為.下列說法中正確的有（????）
A．存在常數，使上所有的點到兩點的距離之和為定值
B．存在常數，使上所有的點到兩點的距離之差的絕對值為定值
C．存在常數，使上所有的點到兩點的距離之和為定值
D．存在常數，使上所有的點到兩點的距離之差的絕對值為定值
11．（2022·江蘇·高二單元測試）（多選）已知點P在雙曲線C：上，，分別是雙曲線C的左、右焦點，若的面積為20，則（????）
A．點P到x軸的距離為 B．
C．為鈍角三角形 D．
12．（2022·全國·高二單元測試）如圖，，是雙曲線：與橢圓的公共焦點，點是，在第一象限內的公共點，設方程為，則下列說法正確的是（????）

A．
B．的內切圓與軸相切于點
C．若，則的離心率為
D．若，則的方程為
三、填空題
13．（2022·全國·高二課時練習）經過點，的雙曲線的方程是______.
14．（2022·四川省資陽中學高二期末（理））已知雙曲線過三點，，中的兩點，則的方程為___________.
15．（2022·全國·高二課時練習）如圖，OA是雙曲線的實半軸，OB是雙曲線的虛半軸，F(xiàn)為雙曲線的一個焦點，且，，則該雙曲線的方程為______．

16．（2022·全國·高二專題練習）設雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線左支于，兩點，則的最小值為______．
四、解答題
17．（2022·全國·高二課前預習）已知雙曲線的兩個焦點為，點在雙曲線上，若，求點的坐標．

18．（2022·山東省滕州市第五中學高二階段練習）中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點、且，橢圓的長半軸長與雙曲線的實半軸長之差為6，離心率之比為1:4．

(1)求橢圓和雙曲線的方程；
(2)若點P是橢圓和雙曲線的一個交點，求．

19．（2022·全國·高二課時練習）相距2 km的兩個哨所A，B聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B哨所遲4 s.已知當時的聲速為340 m/s，試判斷爆炸點在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程.

20．（2022·江蘇·泰州中學高二階段練習）某高校的志愿者服務小組決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲．如圖所示，A，B兩個信號源相距10米，O是AB的中點，過點O的直線l與直線AB的夾角為45°，機器貓在直線l上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足接收到點A的信號比接收到點B的信號晚一秒（注：信號每秒傳播米）．在時，測得機器鼠距離點O為4米.

(1)以O為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系(如圖)，求時機器鼠所在位置的坐標；
(2)游戲設定：機器鼠在距離直線l不超過1.5米的區(qū)域運動:時，有“被抓”的風險．如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風險？

21．（2022·全國·高二課時練習）在①左頂點為，②雙曲線過點，③離心率這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答．
問題：已知雙曲線與橢圓共焦點，且______．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若點P在雙曲線上，且，求．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

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