例1.已知臺風中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30 km內的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40 km處，求B城市處于危險區(qū)內的時間．
所以B城市處于危險區(qū)內的時間為t＝1(h).
求直線與圓的方程的實際應用問題的解題步驟
已知隧道的截面是半徑為4.0 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2.7 m、高為2.5 m的貨車能不能駛入這個隧道？假設貨車的最大寬度為2 m，那么要正常駛入該隧道，貨車的最大高度為多少？
解：以隧道截面半圓的圓心為坐標原點，半圓直徑所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則半圓方程為x2＋y2＝16(y≥0).
即在離中心線2.7 m處，隧道高度高于貨車的高度，所以貨車能駛入這個隧道．
例2 已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(2)求y－x的最大值和最小值．
當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取
(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，b取得最大值或最小值，
在本例條件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，
設P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為(　　)A．6　　　　　B．4 C．3 D．2
解析：畫出已知圖，利用數(shù)形結合的思想求解．如圖，圓心M(3，－1)與定直線x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6.因為圓的半徑為2，所以|PQ|的最小值為6－2＝4.
例3.已知圓C經(jīng)過直線x＋y＋2＝0與圓x2＋y2＝4的交點，且圓C的圓心在直線2x－y－3＝0上，求圓C的方程．
設所求圓的方程為(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，
因為圓心在直線2x－y－3＝0上，
所以圓的方程為x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝34.
求過直線與圓的交點的圓系方程的方法
(1)聯(lián)立方程組，求出交點坐標，再根據(jù)交點坐標求方程；(2)設圓系方程求參數(shù)，一般地，過直線l：Ax＋By＋C＝0與圓O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交點的圓系方程可設為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.　
求經(jīng)過直線x＋y＝0與圓x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交點，且經(jīng)過點P(－1，－2)的圓的方程．
所以直線與圓交于點A(1，－1)和點B(－4，4).
設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
故所求圓的方程為x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
方法二：設所求圓的方程為x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0，又點P(－1，－2)在圓上，將(－1，－2)代入圓的方程得(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1.故所求圓的方程為x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
1.已知圓x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定點P(1，－1)，若過點P的圓的切線有兩條，則k的取值范圍是(　　)A．(－2，＋∞)　　　B．(－∞，2)C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
由題意知點P(1，－1)必須在圓的外部，
則12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2．
2．設某村莊外圍成圓形，其所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離是________．
圓心(2，－3)到直線x－y＋2＝0的距離減去圓的半徑2，
當直線經(jīng)過點(0,1)時，直線與圓有兩個不同的交點，m=1,當直線與圓相切時，

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高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.5 直線與圓、圓與圓的位置

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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