1.掌握二次函數(shù)模型的建立，會(huì)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題．
2.利用二次函數(shù)解決拱橋及運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)問(wèn)題．
3.能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策．
如圖是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m.水面下降1m，水面寬度增加多少？
問(wèn)題1 怎樣建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)單呢？
以拱頂為原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖．
問(wèn)題2 從圖看出，什么形式的二次函數(shù)，它的圖象是這條拋物線(xiàn)呢？
問(wèn)題3 如何確定a是多少？
已知水面寬4米時(shí)，拱頂離水面高2米，因此點(diǎn)A（2，?2）在拋物線(xiàn)上，由此得出
解法一: 如圖所示以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以?huà)佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
∴可設(shè)這條拋物線(xiàn)所表示的二次函數(shù)的解析式為y=ax2
當(dāng)拱橋離水面2m時(shí),水面寬4m
即拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,-2)
∴這條拋物線(xiàn)所表示的二次函數(shù)為y=-0.5x2 .
∴-2=a×22∴a=-0.5
當(dāng)水面下降1m時(shí),水面的縱坐標(biāo)為y=-3,這時(shí)有:
解法二: 如圖所示,以?huà)佄锞€(xiàn)和水面的兩個(gè)交點(diǎn)的連線(xiàn)為x軸，以?huà)佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
因此可設(shè)這條拋物線(xiàn)所表示的二次函數(shù)的解析式為:y=ax2+2.
此時(shí),拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為(0,2)
即:拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,0)
因此這條拋物線(xiàn)所表示的二次函數(shù)為:y=-0.5x2+2
當(dāng)水面下降1m時(shí),水面的縱坐標(biāo)為y=-1,這時(shí)有:
0=a×22+2，a=-0.5
解法三:如圖所示,以?huà)佄锞€(xiàn)和水面的兩個(gè)交點(diǎn)的連線(xiàn)為x軸，以其中的一個(gè)交點(diǎn)(如左邊的點(diǎn))為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.
因此可設(shè)這條拋物線(xiàn)所表示的二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2+2
∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,0)∴0=a×(-2)2+2∴a=-0.5
因此這條拋物線(xiàn)所表示的二次函數(shù)為y=-0.5(x-2) 2+2.
此時(shí),拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為(2,2)
有一座拋物線(xiàn)形拱橋，正常水位時(shí)橋下水面寬度為 20m，拱頂距離水面 4 m．如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出這條拋物線(xiàn)表示的函數(shù)的解析式.
解：設(shè)該拱橋形成的拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2.∵該拋物線(xiàn)過(guò)(10,-4),∴-4=100a，a=-0.04∴y=-0.04x2 .
在“拱橋類(lèi)”問(wèn)題中，一般知道拱高和拱長(zhǎng)，這時(shí)可根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性建立以對(duì)稱(chēng)軸為y軸的坐標(biāo)系，然后根據(jù)所建立的坐標(biāo)系，確定拋物線(xiàn)上一些點(diǎn)的坐標(biāo).若頂點(diǎn)在原點(diǎn)上，一般設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2；若頂點(diǎn)不在原點(diǎn)上，一般設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+k.步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問(wèn)題.
例2 如圖，一名運(yùn)動(dòng)員在距離籃球圈中心4m（水平距離）遠(yuǎn)處跳起投籃，籃球準(zhǔn)確落入籃圈，已知籃球運(yùn)行的路線(xiàn)為拋物線(xiàn)，當(dāng)籃球運(yùn)行水平距離為2.5m時(shí)，籃球達(dá)到最大高度，且最大高度為3.5m，如果籃圈中心距離地面3.05m，那么籃球在該運(yùn)動(dòng)員出手時(shí)的高度是多少米？
解：如圖，建立直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1.5，3.05），籃球在最大高度時(shí)的位置為B（0，3.5）.以點(diǎn)C表示運(yùn)動(dòng)員投籃球的出手處.
設(shè)以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)的解析式為 y=a(x-0)2+k ，即y=ax2+k.而點(diǎn)A，B在這條拋物線(xiàn)上，所以有
某游樂(lè)園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線(xiàn)，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向?yàn)閤軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．（1）求水柱所在拋物線(xiàn)（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；（2）王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心多少米以?xún)?nèi)？（3）經(jīng)檢修評(píng)估，游樂(lè)園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．
解：（1）設(shè)水柱所在拋物線(xiàn)（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x﹣3）2+5（a≠0），將（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣0.2，∴水柱所在拋物線(xiàn)（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣0.2（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）當(dāng)y=1.8時(shí)，有﹣0.2（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，因此為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心7米以?xún)?nèi)．（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣0.2（x﹣3）2+5=3.2．設(shè)改造后水柱所在拋物線(xiàn)（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣0.2x2+bx+3.2，∵該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（16，0），∴0=﹣0.2×162+16b+3.2，解得：b=3，∴改造后水柱所在拋物線(xiàn)（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為 y=﹣0.2x2+3x+3.2=﹣0.2（x﹣7.5）2+14.45．∴擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為14.45米．
1.發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)過(guò) x 秒后炮彈的高度為 y 米，x，y 滿(mǎn)足 y=ax2+bx，其中 a，b 是常數(shù)，且 a≠0.若此炮彈在第 6 秒與第 14 秒時(shí)的高度相等，則炮彈達(dá)到最大高度的時(shí)刻是( )
A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒
3.一位籃球運(yùn)動(dòng)員在距離籃圈中心水平距離 4 m 處起跳投籃，球沿一條拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為 2.5 m 時(shí)，達(dá)到最大高度 3.5 m，然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi)，已知籃圈中心距離地面高度為 3.05 m，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法正確的是 ( )
解：選項(xiàng)A中，∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3.5)，∴可設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=ax2+3.5，∵籃圈中心(1.5，3.05)在拋物線(xiàn)上，將它的坐標(biāo)代入得??3.05=a×1.52+3.5，∴a=-0.2，∴y=-0.2x2+3.5，故本選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B中，由圖示知，籃圈中心的坐標(biāo)是(1.5，3.05)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，由圖示知，此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3.5)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，設(shè)這次跳投時(shí)，球出手處離地面h m，∵由選項(xiàng)A可知y=-0.2x2+3.5，∴當(dāng)x=-2.5時(shí)，h=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25．∴這次跳投時(shí)，球出手處離地面2.25 m．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
1.某大學(xué)的校門(mén)是一拋物線(xiàn)形水泥建筑物(如圖所示)，大門(mén)的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面4米高處各有一個(gè)掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，則校門(mén)的高為(精確到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不計(jì))( ) A.9.2 m B.9.1 m C.9 m D.5.1 m
2.某涵洞是拋物線(xiàn)形，它的截面如圖所示，現(xiàn)測(cè)得水平寬度AB=1.6m，涵洞頂點(diǎn)O到水面的距離為2.4m，那么在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，涵洞所在的拋物線(xiàn)的解析式是 .
A B
3.足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t來(lái)表示，其中t(s)表示足球被踢出后經(jīng)過(guò)的時(shí)間，則球在 s后落地.
4.如圖，小李推鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度y(米）關(guān)于水平距離x(米）的函數(shù)解析式為 ，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最高點(diǎn)離地面的距離為 米.
5.某公園草坪的防護(hù)欄是由100段形狀相同的拋物線(xiàn)形組成的，為了牢固起見(jiàn)，每段護(hù)欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5m（如圖），則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度至少為（ ）A.50m B.100m C.160m D.200m
6.某幢建筑物，從10米高的窗戶(hù)A用水管向外噴水，噴出的水流呈拋物線(xiàn)狀(如圖)，若拋物線(xiàn)最高點(diǎn)M離墻1米，離地面 米，求水流落地點(diǎn)B離墻的距離.
7.某公園草坪的防護(hù)欄由100段形狀相同的拋物線(xiàn)形構(gòu)件組成，為了牢固起見(jiàn)，每段護(hù)欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5m(如圖)，則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度至少為多少？
解：以水平面為x軸,拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax2+0.5，∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,0),∴0=a+0.5，解得a=-0.5.∴拋物線(xiàn)解析式為y=-0.5x2+0.5.令y＝0，則-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1.令x=0.2,y=-0.5×0.22+0.5=0.48,令x=0.6,y=-0.5×0.62+0.5=0.32.(0.48+0.32)×2×100=160 (m)∴這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱 的總長(zhǎng)度至少為160m.
（二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)）
（實(shí)物中的拋物線(xiàn)形問(wèn)題）
能夠?qū)?shí)際距離準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；選擇運(yùn)算簡(jiǎn)便的方法.

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22.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)

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