第1講 角平分線1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理的數(shù)學表示：如圖，已知OE是∠AOB的平分線，F是OE上一點，若CFOA于點C，DFOB于點D，則CF =DF.逆定理：到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.角平分線除了簡單的平分角以外，結(jié)合其它的條件，一般可產(chǎn)生以下三種常見模型！模型講解模型1-BD平分∠ABC，且DCBC理由：角平分線的性質(zhì)結(jié)論：△DCB2△DEB模型2一BD平分∠ABC，且CDBD理由：等腰三角形三線合一結(jié)論：△BDC≌△BDE模型3-BD平分∠ABC，AD//BC  理由：平行線的性質(zhì)結(jié)論：△ABD為等腰三角形
【例題講解】例題1、如圖所示，在四邊形ABCD中，DC//AB，∠DAB =90°，ACBC，AC =BC，∠ABC的平分線交AD，AC于點E、F，則的值是___________.             【分析】要求的值，一般來說不會直接把BF和EF都求出來，所以需要轉(zhuǎn)化，當過點F作FGAB時，即可將轉(zhuǎn)化為，又會出現(xiàn)模型1，所以這個輔助線與思路值得一試.【解答】解：如圖，作FGAB于點G∠DAB-90°，FG/AD， =ACBC，∠ACB =90°又BF平分∠ABC，FG =FC在Rt△BGF和Rt△BCF中△BGF≌△BCF（HL），BC =BGAC =BC，∠CBA =45°，AB =BC 例題2、如圖，D是△ABC的BC邊的中點，AE平分∠BAC，AECE于點E，且AB =10，AC =16，則DE的長度為________             【分析】有AE平分∠BAC，且AEEC，套用模型2，即可解決該題.
【解答】解：如圖，延長CE，AB交于點F.AE平分∠BAC，AEEC∠FAE =∠CAE，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE和△ACE中△AFE ≌ACE（ASA）AF =AC =16，EF =EC，BF =6又D是BC的中點，BD =CDDE是△CBF的中位線DE =BF =3故答案為：3. 例題3、如圖所示，在△ABC中，BC =6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當CQ =CE時，EP+BP =________.               【分析】這里出現(xiàn)角平分線，又有平行，應該想到模型3，即可構(gòu)造出等腰三角形，結(jié)合相似模型，即可解出答案.【解答】解：如圖，延長BQ交射線EF于點M.E、F分別是AB、AC的中點，EF//BC∠CBM =∠EMBBM平分∠ABC，∠ABM =∠CBM∠EMB =∠EBM，EB =EMEP +BP =EP +PM =EMCQ =CE，EQ =2CQ由EF//BC得，△EMQ∽△CBQ
【鞏固練習】1、如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM =ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB的平分線OC，做法用得到三角形全等的判定定方法是（   ）A.SAS    B.SSS    C.ASA   D.HL        （第1題）   （第3題）      （第4題）2、三角形中到三邊距離相等的點是（    ）A、三條邊的垂直平分線的交點    B、三條高的交點C、三條中線的交點      D、三條角平分線的交點3、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于G.若使EF =AD，那么平行四邊形ABCD應滿足的條件是（    ）A.∠ABC =60°  B.AB:BC =1：4  C.AB:BC =5：2   D.AB:BC =5：84、如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC =10，則PQ的長為（    ）A.    B.    C.3     D.45、如圖，在△ABC中，∠C =90°，AC =BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DEAB于點E，若△BDE的周長是5cm，則AB的長為      .                   （第5題）     （第6題）       （第7題）6、如圖，已知OB、OC為△ABC的角平分線，DE∥BC交AB、AC于D、E，△ADE的周長為15，BC長為7，則△ABC的周長為      .7、如圖，在△ABC中，點D在BC上，BM平分∠ABD，BMAD，N是AC的中點，連接MN，若AB =5，BC =8，則MN =      .8、如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CFAE于F，AB =5，AC =2，則DF的長為         .（第8題）      （第9題）    （第10題）9、如圖，已知∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F，AB =6，AC =3，則BE =      .10、如圖所示，在四邊形ABCD中，AD/∥BC，CE是∠BCD的平分線，且CEAB，E為垂足，BE =2AE，若四邊形AECD的面積為1，則四邊形ABCD的面積為      .11、如圖，在O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，點C為弧BD的中點，則AC的長是      .                 （第11題）              （第12題）12、已知：如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，ADBE，AD =BE =6，則AC的長等于     .13、將弧BC沿弦BC折疊，交直徑AB于點D，若AD =8，DB =10，則BC的長是       .（第13題）14、如圖，F，G是OA上兩點，M，N是OB上兩點，且FG =MN，S△PFG =S△PMN，試問點P是否在∠AOB的平分線上？   15、已知：在△ABC中，∠B的平分線和外角∠ACE的平分線相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求證：GF =BGCF.              16、在四邊形ABCD中，∠ABC是鈍角，∠ABC+∠ADC =180°，對角線AC平分∠BAD.           （1）求證：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度數(shù)；          17、如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長相等，設BC =a、AC =b、AB =c.（1）求線段BG的長；（2）求證：DG平分∠EDF.              18、如圖，BAMN，垂足為A，BA =4，點P是射線AN上的一個動點（點P與點A不重合），∠BPC =∠BPA，BCBP，過點C作CDMN，垂足為D，設AP =x.CD的長度是否隨著x的變化而變化？若變化，請用含x的代數(shù)式表示CD的長度；若不變化，請求出線段CD的長度.            19、已知：平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點分別為0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使∠OPA =90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.（2）當∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值.                   20、我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準等腰梯形”。其中∠B=∠C。（1）在圖1所示的“準等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準等腰梯形”ABCD中∠B=∠C，E為邊BC上一點，若AB//DE，AE/DC，求證：；（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E。若EB=EC，請問當點E在四邊形ABCD內(nèi)部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內(nèi)部時，情況又將如何？寫出你的結(jié)論。（不必說明理由）
參考答案答案：B答案：D答案：D答案：C答案：5cm答案：22答案：1.5答案：1.5答案：1.5答案：答案：答案：答案：14.解：過點P分別向OA、OB作垂線，S△PFG=PGPE，S△PMN=MNPH，FG =MNPH=PE點P在∠AOB的平分線上.15.證明：BD平分∠ABC，∠1 =∠2，DF//BC，∠2 =∠3，∠1=∠3，BF=DF.同理：DE=CE.EF =DFDF,EF =BFCE.16.解:(1)如圖，過點C作CM⊥AB，交AB的延長線于點M;作CN⊥AD，垂足為N，AC平分∠DAB，CM＝CN又∠ABC +∠ADC＝180°，∠MBC +∠ADC＝180°
   ∠NDC＝∠MBC，在△NDC與△MBC中

BC=DC
(2)如圖，延長AB到B，使BB＝ADAB+AD＝AC，∴AB＝AC
由(1)知∠ADC＝∠BBC;在△ADC與△BBC中
 ∴△ADC ≌△EBC，故AD＝EC
又AE＝AC，∴AE＝AC＝EC故△ABC為等邊三角形，∴∠CAB＝60°;
∴∠BAD＝120°，∠BCD＝360°-180°-120°＝60°
即∠BCD＝60°17.解：（1）△BDG與四邊形ACDG的周長相等，∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG
D是BC的中點
∴BD＝CD
∴BG =AC +AG
BG +(AC +AG)=AB +AC,
∴BG =（AB +AC)=（b+c)
(2)證明:點D.F分別是BC、AB的中點
∴DF＝AC=b，BF=AB=c
又FG＝BGBF =（b+c)-c =b∴DF=FG
∴∠FDG＝∠FGD
點D.E分別是BC、AC的中點，∴DB∥AB，∴∠EDG＝∠FGD,∴∠FDG＝∠BDG,即DG平分∠EDF18.解：CD的長度不變
理由如下:
如圖，延長CB和PA，記交點為點Q∠BPC ＝∠BPA，BC⊥BP
∴QB＝BC(等腰三角形“三合一＂的性質(zhì))BA⊥MN，CD⊥MM∴AB∥CD，
∴△QAB ∽△△QDCAB/CD=QB/QC=1/2
∴CD＝2AB＝2×4＝8即CD＝8; 19.解：(1)存在.
O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m-5，2).
∴OA＝BC＝5，BC∥OA，
以OA為直徑作D，與直線BC分別交于點E.F則∠OEA＝∠OFA＝90°，如圖1
作DG⊥EF于G，連DB，則DB＝OD＝2.5，DG＝2，EG=GF
∴DE==1.5
∴E(1,2),F(4,2),
∴當，即1≤m≤9時，邊BC上總存在這樣的點P，使∠OPA＝90°;
(2)如圖2，
 BC＝OA＝5，BC∥OA
∴四邊形OABC是平行四邊形∴OC∥AB，
∴∠AOC +∠OAB＝180°，
OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，∴∠AOQ＝0.5∠AOC，∠OAQ＝0.5∠OAB，
∴∠AOQ +∠OAQ＝90°∴∠AQO＝90°，
以OA為直徑作D，與直線BC分別交于點E.F，則∠OEA＝∠OFA＝90°，∴點Q只能是點E或點F，
當Q在F點時，OF、AF分別是∠AOC與OAB的平分線，BC∥OA∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB而OC＝AB，
∴CF＝BF，即F是BC的中點。而F點為(4，2)，
此時m的值為6.5，
當在E點時，同理可求得此時m的值為3.5，綜上所述，m的值為3.5或6.5.20.解：（1）如圖，過點D作DE//BC交PB于點E，則四邊形ABCD分割成一個等腰梯形BCDE和一個三角形ADE；（2），；，；，；.在△ABE和△DEC中，，，，.（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，BH⊥CD于H，∠BFE＝∠CHE＝90°AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF=EG=EH，在Rt△EFB和Rt△EHC中，BE=CE，EF= EH，Rt△EFB≌Rt△EHC(HL)∠3＝∠4.BE=CE，∠1=∠2.∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠ABC＝∠DCB，四邊形ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，四邊形ABCD是“準等腰梯形”。當點E不在四邊形ABCD的內(nèi)部時，有兩種情況：如圖，當點E在BC邊上時，同理可以證明△EFB≌△EHC，∠B＝∠C，四邊形ABCD是“準等腰梯形”當點B在四邊形ABCD的外部時，四邊形ABCD不一定是“準等腰梯形”。分兩種情況：情況一：當∠BED的角平分線與線段BC的垂直平分線重合時，四邊形ABCD為“準等腰梯形”；情況二：當∠BED的角平分線與線段BC的垂直平分線相交時，四邊形ABCD不是“準等腰梯形.   

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