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?第3講幾何模型之雙子型
模型講解
【雙等邊類型】

△BCD≌△ACE △ABD≌△ACE △BOE∽△COF
【雙等腰直角類型】

△BCD≌△ACE △BCE≌△DCF △ABD∽△ACE
【一般情況】
基本條件:△ABC∽△EDC，連接AE、BD后,有△AEC∽△BDC，相似比為AC邊與BC邊之比。
可見,上面幾種有圖形中有全等情況出現(xiàn)，只因圖形中有邊長(zhǎng)相等。

【例題講解】
例題1、(直接用雙子)如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB,點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)(OC＞1),連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD,直線DA交y軸于點(diǎn)E．
(1)△OBC與△ABD全等嗎？判斷并證明你的結(jié)論；
(2)著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說明理由．

解：①全等．
理由：∵△AOB和△CBD是等邊三角形，
∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
∵，
∴△OBC≌△ABD（SAS）．
②不變．
理由：∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°，
∴Rt△OEA中，AE＝2OA＝2，
∴OE＝，
∴點(diǎn)E的位置不會(huì)發(fā)生變化，E的坐標(biāo)為E（0，）．

例題2、如圖,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE的最小值是為（　　）
A． B． C．1 D．

解：設(shè)Q是AB的中點(diǎn)，連接DQ，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝2，O為AC中點(diǎn)，
∴AQ＝AO，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD＝OE，
∵點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)QD⊥BC時(shí)，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD＝QB，
∵QB＝AB＝1，
∴QD＝，
∴線段OE的最小值是為．
故選：B．

例題3、如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°,cosC＝,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為θ．當(dāng)0°≤θ＜360°時(shí)的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明．

（圖1）（圖2）

當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化，
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝＝；

【鞏固練習(xí)】
1．如圖所示，已知△ABC和△BDE均為等邊三角形，連接AD、CE，若∠BAD＝39°,那么∠ACE＝_______．

2.如圖,△ABC為等邊三角形,AB＝2,點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為一邊向右作等邊△ADE,連接CE
(1)在點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中,點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_________;
2)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)取AC中點(diǎn)P,連接PE,在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中,求PE的最小值.

3.在銳角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的度數(shù)；
（2）如圖2，連接．若的面積為4，求的面積；

圖1 圖2
4.【提出問題】
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN,連結(jié)CN．求證：BM＝CN．
【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變,(1)中結(jié)論BM＝CN還成立嗎？請(qǐng)說明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN＝∠ABC．連結(jié)CN．試探究BM與CN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

圖1 圖2 圖3
5.如圖，正方形ABCD、BGFE邊長(zhǎng)分別為2、1，正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，直線AE、GC相交于點(diǎn)H．
（1）在正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中,∠AHC的大小是否始終為90°,請(qǐng)說明理由；
（2）連接DH、BH，在正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，求DH的最大值；

備用圖

6.如圖1，已知點(diǎn)A(0,－3)和x軸上的動(dòng)點(diǎn)C(m,0),△AOB和△BCD都是等邊三角形．
（1）在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有兩點(diǎn)的距離等于OC的長(zhǎng)度，請(qǐng)將它找出來，并說明理由．
（2）如圖2，將△BCD沿CD翻折得△ECD,當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)E(x,y),請(qǐng)你用m來表示點(diǎn)E的坐標(biāo)并求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)所在圖象的解析式．
（3）在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)時(shí)，直接寫出△ABD是等腰三角形時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

圖1 圖2

【旋轉(zhuǎn)構(gòu)造雙子型】
此類圖的特點(diǎn)在于圖形的不完整。一且補(bǔ)全圖形,答案即可解出,而方法不僅僅是構(gòu)造,亦可用旋轉(zhuǎn),構(gòu)造與旋轉(zhuǎn)本就可互相代替,但我們常常選用旋轉(zhuǎn)來解決!不過本專題打算用構(gòu)造的思路去解決!面轉(zhuǎn)的方法讀者可自行嘗試,圖是一樣的！
【例題講解】
例題4．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,則BD的長(zhǎng)為_________．

解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，連接CD′，DD′，如圖：
∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD＝CD′，∠DAD′＝90°，
由勾股定理得DD′＝＝3，∠D′DA＋∠ADC＝90°，
由勾股定理得CD′＝＝，
∴BD＝CD′＝．
故答案為：．

【雜說】若用旋轉(zhuǎn),只需將△ADB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,連接DD,再證明△ADD是等腰直角三角形即可。
例題5.如圖，在△ABC中,∠ABC＝60°,AB＝＝8，以AC為腰，點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰△ACD,且∠DAC＝120°,則BD的長(zhǎng)為________.

解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，把△BAC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△EAD，連接BE，作AP⊥BE于P，
則∠BAE＝120°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴BP＝AB?cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，
∴BE＝2BP＝6，
在Rt△BED中，BD＝＝10，
故答案為：10．

【鞏固練習(xí)】
1．【問題探究】
（1）如圖1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,連接BD,CE,試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由．
【深入探究】
（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD的長(zhǎng)．
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

圖1 圖2 圖3

2.(1)如圖1，已知△ABC,以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,連接BE、CD，請(qǐng)你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并證明：BE＝CD；
（2）如圖2，利用（1）中的方法解決如下問題：在四邊形ABCD中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°,求BD的長(zhǎng)；
（3）如圖3，四邊形ABCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝＝5,AD＝12，求BD的長(zhǎng)．

圖1 圖2 圖3

參考答案
1.解：∵△ABC和△BDE均為等邊三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，BE＝BD，
∴∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE＝120°，
在△ABD和△CBE中，，
∴△ABD≌△CBE，（SAS）
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝21°，
∴∠AEC＝21°，∴∠ACE＝99°，故答案為：99°．

2.解：
(1)△ABD≌△ACE可得BD=CE,E的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)即D的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，BC=2.
(2)∠DEC＝60°相當(dāng)于∠AEC=∠ADB=120°，即∠EDC=0°,此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合.因此不存在.
(3)∠ACE=60°,當(dāng)PE⊥CE時(shí)取最小值.PE=PC×cos60°=.

3.解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，
∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°．
（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，
∴，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1，
∴∠ABA1＝∠CBC1，
∴△ABA1∽△CBC1．
∴，
∵S△ABA1＝4，
∴S△CBC1＝；

4.（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．

（2）解：結(jié)論∠ABC＝∠ACN仍成立；
理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．

（3）解：∠ABC＝∠ACN；
理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，頂角∠ABC＝∠AMN，
∴底角∠BAC＝∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴＝，
又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC＝∠ACN．

5.解：（1）是，理由如下：
如圖，由旋轉(zhuǎn)知，∠ABE＝CBG，
在正方形ABCD，BGFE中，
AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴△ABE≌△CBG，
∴∠BAE＝∠BCG，
記AH與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)P，
∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°
∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，
∴∠AHC＝∠ABC＝90°，
（2）DH≤DE+EG=BD=

6.解：（1）連接AD，如圖1所示．

A、D兩點(diǎn)間的距離始終等于OC的長(zhǎng)度．理由如下：
∵△AOB和△BCD都是等邊三角形，
∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，
∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，
∴∠ABD＝∠OBC．
在△ABD和△OBC中，有，
∴△ABD≌△OBC（SAS），
∴AD＝OC．
（2）過D作DF⊥y軸于F，連接BE，如圖2所示．

由（1）可知△ABD≌△OBC，
∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°
∴DF＝AD?sin∠DAF＝m，AF＝AD?cos∠DAF＝m，
∵A（0，﹣3），
∴D（m，m﹣3）．
∵將△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等邊三角形，
∴四邊形BCED是菱形，
∴BE、CD互相平分．
∵△AOB是等邊三角形，且點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（0，﹣3），
∴點(diǎn)B（，﹣），
∴E（m﹣，m﹣）．
∵m﹣＝（m﹣），
∴點(diǎn)E在圖形y＝x上運(yùn)動(dòng)．
（3）∵點(diǎn)A（0，﹣3），點(diǎn)B（，﹣），點(diǎn)D（m，m﹣3），
∴AB＝3，AD＝m，BD＝＝，
△ABD為等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)AB＝AD時(shí)，有3＝m，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；
②當(dāng)AB＝BD時(shí)，有3＝，
解得：m＝0（舍去），或m＝3，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，3）；
③當(dāng)AD＝BD時(shí)，有m＝，
解得：m＝（舍去）．
綜上可知：在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)m＞時(shí)，△ABD是等腰三角形時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（3，3）．

1.解：（1）BD＝CE．
理由是：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE；
（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7，
∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，
∴EC＝＝＝，
∴BD＝CE＝．
（3）如圖3，在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)A作AE⊥AB于點(diǎn)A，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠E＝∠ABC＝45°，
∴AE＝AB＝7，BE＝＝7，
又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠BAE＝∠DAC＝90°，
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE，
∵BC＝3，
∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．

2.解：（1）如圖1，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，連接AD、BD，再分別以A、C為圓心，以AC為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，連接AE、CE，則△ABD、△ACE就是所求作的等邊三角形；
證明：如圖1，∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；

（2）如圖2，過A作AE⊥AD，使AD＝AE＝3，連接DE、CE，
由勾股定理得：DE＝＝3，
∴∠EDA＝45°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴EC＝BD，
在Rt△DCE中，EC＝＝＝，
∴BD＝EC＝；

（3）如圖3，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，
∠DEA＝∠ACB，連接EC，
容易得到△DAE∽△BAC，
∴，即，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC∽△DAB，
∴，
在△DCE中，∠ADC＝∠ACB，
∠EDA＝∠ABC，
∴∠EDC＝90°，
∵，AD＝12，
∴AE＝9，∠DAE＝90°，
∴DE＝＝15，
CE＝＝5，
由△EAC∽△DAB，
∴
BD＝．

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