第2講 垂直平分線1.垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.PD為線段AB的垂直平分線，必然需要連接PA、PB，構(gòu)造出等腰△PAB，進(jìn)而求解.逆定理：若PA=PB，則點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.【例題講解】例題1、如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC上.BD=CF，BE=CD，DG⊥EF于點(diǎn)G，且EG=FG.求證：AB=AC.【分析】可知GD為EF的垂直平分線，遇見垂直平分線，必然要將垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連接【解答】解：連接DE、DF如右圖所示在△BDE和△CFD中，.例題2、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。（1）線段AC的長(zhǎng)=         ；（2）在線段EA上有一點(diǎn)Q，滿足ED=EQ，連接DQ、PE，當(dāng)PE⊥DQ時(shí)，求出t的值.【解答】（1）AC=6；（2）當(dāng)PE⊥DQ時(shí)，由于ED=EQ，易證PE垂直平分DQ，所以連接PD、PQ，只需使PD=PQ即可可知AP=2t，所以PC=6-2t；CD=3，EQ=2，所以AQ=3，所以，所以在Rt△PCD中，PD2=32+（6-2t）2；在Rt△PQF中，PQ2=所以32+（6-2t）2=，解得.【總結(jié)】遇見垂直平分線，連接垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)是必然的！【最好方法】當(dāng)PE⊥DQ時(shí)，易證PE平分∠DEA，由【角平分線模型三】可知，平行+角平分線=等腰三角形，所以△AEP為等腰三角形，所以AP=AE=5，即2t=5，t=. 【鞏固練習(xí)】1、三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)是三角形的（    ）A.重心    B.內(nèi)心    C.外心   D.中心2、在△AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，點(diǎn)P與P1關(guān)于OA對(duì)稱，點(diǎn)P與P2關(guān)于BO對(duì)稱，①則△OP1P2是（    ）A.等邊三角形  B.等腰三角形  C.直角三角形 D.鈍角三角形②當(dāng)∠AOB滿足什么條件時(shí)，△OP1P2是等邊三角形？3、如圖，△ABC中，AB，AC的垂直平分線交BC于D、E，（1）若∠BAC=100°，則∠DAE=       ；（2）若∠BAC=80°，則∠DAE=        ；（3）若∠DAE=10°，則∠BAC=        ；（4）若△ABC的周長(zhǎng)為20，△ADE的周長(zhǎng)為12，則AB+AC=      ；（5）當(dāng)AB=AC，且∠BAC=120°，則△ADE為何種特殊三角形？  4、如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，BO、CO分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，BO、CO的垂直平分線交BC于E、F，則EF的長(zhǎng)為          .5、如圖，已知等腰△ABC，AB=BC=5，AC=，在BC邊上存在一點(diǎn)P，恰好在線段AB的垂直平分線上，則BP的長(zhǎng)為          .6、如圖所示，已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F.求證：AD垂直平分EF.7、△ABC中，D為BC中點(diǎn)，DE⊥BC，交∠BAC的平分線于點(diǎn)E，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G.求證：BF=CG. 8、如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC上，且AD的垂直平分線EF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠FAC=∠B，求證：AD平分∠BAC.     9、如圖，在△ABC中，AB=AC，D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且△DBC為等邊三角形.（1）求證：直線AD垂直平分BC；（2）以AB為一邊，在AB的右側(cè)畫等邊△ABE，連接DE，試判斷以DA、DB、DE三條線段是否能構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說明理由.  10、已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，若C（0，2），BC的垂直平分線過點(diǎn)A，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式.11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AO返回；點(diǎn)Q從A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BO-OP于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t>0）.（1）點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（       ，       ）（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，直線DE經(jīng)過點(diǎn)O.  12、如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F.（1）若點(diǎn)F剛好落在線段AD的垂直平分線上時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)；（3）當(dāng)射線AF交線段CD于點(diǎn)G時(shí)，請(qǐng)直接寫出CG的最大值         .  13、如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（-3，0）、B（-1，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是該圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，0）.（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)OP//CQ時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M，N分別在線段AQ、CQ上，點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M，N中有一點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)直線PQ垂直平分線段MN時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo).      14、已知拋物線y=ax2+bx+c（a<0）與x軸交于點(diǎn)A（8，0）和B（一12，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，6）.（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC，若動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)N以某一速度從B出發(fā)沿線段BC勻速運(yùn)動(dòng)，問是否存在某一時(shí)刻t（秒），使線段MN被直線CD垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t和點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說明理由；
參考答案答案：B答案：①B；②∠AOB=30°答案：（1）20°；（2）20°；（3）95°；（4）8；（5）等邊三角形.答案：1答案：證明：AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，Rt△ADE≌R△ADF(HL)，AE＝AF，又DE＝DF，AD垂直平分EF(到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上)證明：如圖，連接BE、BC，ED⊥BC，D為BC中點(diǎn)BE= ECEF⊥AB，EG⊥AG，且AB平分∠FAGFE=EG在△BFE和Rt△CGE中，BE=CE，EF=EG，Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，BF=CG.證明：EF是AD的垂直平分線，AF=DF∠EAF＝∠EDF，∠EAF＝∠FAC+∠CAD，∠EDF＝∠BAD+∠B，又∠FAC＝∠B∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC.答案：(1)△DBC為等邊三角形，DB=DC，D在BC的垂直平分線上AB＝AC，A在BC的垂直平分線上，直線AD垂直平分BC；(2)以DA，DB，DE三條線段能構(gòu)成直角三角形；理由:連接CE，∠ABD＝∠ABE-∠DBE=60°-∠DBE=∠DBC-∠DBE=∠EBC，在△EBC和△ABD中，AB=EB，∠ABD＝∠EBC，DB=CB，△EBC≌△ABD（SAS），∠BCE＝∠ADB，AD＝CE.在△ADB和△ADC中，AD=AD，AB=AC，DB=DC，△ADB≌△ADC（SSS），∠ADB＝∠ADC，∠ADB＝(360°-∠BCD）＝150°∠BCE＝∠BDA＝150°，∠DCE＝∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°CE＝DA，DC＝DB，以DA，DB，DE三條線段能構(gòu)成直角三角形.解：BC的垂直平分線過點(diǎn)A，,二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的對(duì)稱軸為，設(shè)，則，，在Rt△AOC中，,即，解得或，當(dāng)時(shí)，（舍去）；當(dāng)時(shí)，,此時(shí)二次函數(shù)解析式為.答案：（1）；（2）四邊形QBED能成為直角梯形。①當(dāng)0<t<3時(shí)，，，如圖2，當(dāng)DE∥QB時(shí)，DE⊥PQ，PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形.此時(shí)∠AQP＝90°.由△APQ～△ABO得..解得；如圖3，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，DE⊥PQ，DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形.此時(shí)∠APQ＝90°.由△AQP~△ABO，得.即，解得；②當(dāng)3＜t＜5時(shí)，AQ＝t，AP＝t-3，如圖2，當(dāng)DB∥QB時(shí)，DE⊥PQ，PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形。此時(shí)∠AQP＝90°.由△APQ~△ABO，得..解得（舍去）；如圖3，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，DE⊥PQ，DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形。此時(shí)∠APQ＝90°。由△AQP~△ABO，得.即.解得(舍去)；綜上所述:t＝或；(3)當(dāng)t＝或時(shí)，DB經(jīng)過點(diǎn)O.理由:①如圖4，當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，DB垂直平分PQ，EP=EQ=t,由于P與Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和速度相同，AQ＝EQ＝EP＝，∠AEQ＝∠EAQ，∠AEQ+∠BEQ＝90°，∠EAQ+∠EBQ＝90°,∠BEQ＝∠EBQ，BQ=BQ,EQ=AQ=BQ=AB，；②如圖5，當(dāng)P從A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥OB于F，EP＝6-t，EQ＝EP＝6-t，, BQ=5-t, ，，，，,，即，解得:.當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，t＝或.解：（1）如圖，MN是線段AD的中垂線，作FH⊥CD于H.在Rt△BFH中，，，∴，設(shè)，在Rt△EFH中，因?yàn)?/span>，∴，∴，即.（2）如圖，MN是線段AB的中垂線，設(shè)EF=CE=x，在Rt△BFM中，因?yàn)?/span>∠BMF＝90°，BM＝2，BF=BC=3，∴，MN=BC=3∴FN=，，在Rt△EFN中，，∴，∴.（3）如圖，欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，∴DG＝ADtan∠GAD，所以∠GAD最小時(shí)，DG的值最小，BF＝BC，BF是定值，∴當(dāng)BF⊥AG時(shí)，∠BAF的值最大，即∠DAG的值最小，當(dāng)BF⊥AG時(shí)，易知點(diǎn)B與點(diǎn)G共點(diǎn)，設(shè)CG＝GF＝x，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝4，BF=BC=3.∴,即AF=.在Rt△ABF中，,即，∴.∴CG的最大值為4-.解：（1）設(shè)拋物線的解析式為:y＝ax2+bx+c，拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0，3)，∴C＝3把A(-3，0)、B(-1，0)代入y＝ax2+bx+3中9a-3b+3=0，a-b+3=0，解得a=1，b=4.∴拋物線的解析式為:y＝x2+4x+3（2）設(shè)CQ的直線方程為y＝kx+b，將C(0，3)和Q(4，0)帶入解得CQ的直線方程為-，OP∥CQ，∴直線OP的方程為y＝-，聯(lián)立-和y＝-，解得-，-4，∴P的坐標(biāo)為（-，）、（-4，3）；（3）過點(diǎn)作ND⊥軸于點(diǎn)D，則ND∥OC，直線PQ能夠垂直平分線段MN，則有QM＝QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC.由QM＝QN，得:7-3t＝5-t，解得t=1.設(shè)P(x，x2+4x+3)，若直線PQ⊥MN，則:過P作直線PE⊥x軸，垂足為E，則△PEQ~△MDN，∴,∴,∴,∴P()或（）.解：（1）拋物線y＝ax2+bx+c(a＜0)與x軸交于點(diǎn)A(8，0)和B(-12，0)，∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-8)(x+12),又拋物線過點(diǎn)C(0，6)，∴6＝-96a，解得a＝-，∴拋物線的解析式為y=-(x-8)(x+12)=--，即該拋物線的解析式為y=--.（2）A(8,0),C(0,6),∴AC=,∴AD=AC=10，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(-2，0)B(-12,0),∴BD= AD.若CD垂直平分MN，則DN＝DM，∠NDC＝∠MDC＝∠ACD，∴DN∥AC，∴BN=CN∴DN是△ABC的中位線，DN=,∴AM=t=5,而BN＝5VN＝，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度是；（3）△PCA＝△PCB，∴A、B到PC的距離相等，∴PC∥AB∴P、C關(guān)于拋物線y＝--的對(duì)稱軸x＝-2對(duì)稱，C(0,6),∴P(-4,6)∴tan∠PBQ＝，tan∠CBA＝，∴∠PBQ＝∠CBA，∴∠PBQ-∠CBQ＝∠CBA-∠CBQ，即∠PBQ＝∠CBQ作PG⊥BC于G，QH⊥AB于H.,，，∴tan∠PBC＝.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，--）tan∠QBA＝tan∠PBC，∴,解得或-12（舍去）故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(）. 

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