第5講 幾何模型之母子型模型講解         △ACD∽△ABC       △ACD∽△BCA∽△BADAC2＝AD·AB      射影定理：①AD2＝DB?DC②BA2＝BD?BC③CA2＝CD?CB 【圓中母子型】         過圓外一點P作引圓的兩條切線PA為圓的切線，    PB交圓于點C連接OP、AB            則有△PAC∽△PBA則OP是AB的垂直平分線  【例題講解】例題1、如圖，P為線段AB上一點，AD與BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，則圖中相似三角形有（    ）A.1對    B.2對   C.3對    D.4對解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，∴△PCF∽△BCP．∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，∴△APD∽△PGD．∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B＋∠C，∠BFP＝∠CPD＋∠C∴∠APG＝∠BFP，∴△APG∽△BFP．則圖中相似三角形有3對，故答案為：C．   例題2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過C作CD⊥AB，垂足為D.（1）若AD＝1，BD＝4，求CD的長；（2）若AC＝3，BD＝，求AB的長.【總結(jié)】在直角母子型中，6條線段，已知其中任意2條，即可求出其它所有線段長！答案：（1）△ADC∽△CDB???CD2＝AD?BD?CD＝2；（2）△ADC∽△BCA?＝?AC2＝AD?AB，設(shè)AD＝x，AB＝x＋，整理得：5x2＋16x－45＝0，解得x＝，AB＝5.  例題3、如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點D，過點B作BG⊥AC交⊙O于點E、H，連AD、ED、EC，若BD＝8，DC＝6，則CE的長為         .解：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG?AC＝DC?BC＝6×14＝84，連接AE，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG?AC＝84，∴CE＝2. 例題4、如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦，AB與CD交于點M，將弧CD沿著CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP＝OA，連接PC.（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）點G為弧ADB的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E，交弧BC于點F（F與B、C不重合）。問GE·GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由.（1）證明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝＝2.∵OC＝2，PO＝2＋2＝4，∴PC2＋OC2＝（2）2＋22＝16＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切線；（2）解：GE?GF是定值，證明如下，連接GO并延長，交⊙O于點H，連接HF，∵點G為的中點∴∠GOE＝90°，∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH，∴△OGE∽△FGH，∴＝，∴GE?GF＝OG?GH＝2×4＝8． 例題5、二次函數(shù)y＝ax2＋2ax＋c的圖象與x軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為P，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C，問直線CP與該圓的位置關(guān)系并說明理由.答案：設(shè)A（x1，0），B（x2，0），AB的中點為M（即為圓心）則有x1＋x2＝－2，x1x2＝－,P（－1，c），C（0，c），由MA＝MB＝MC＝AB?ac＝1，設(shè)圓的半徑為R，則R2＝AB2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋＝1＋，易求直線CP：y＝ax＋c，即ax－y＋c＝0，設(shè)圓心M到直線CP的距離為d，則d2＝＝＝＝1＋＝1＋.∵d2＝r2,∴d＝r，又C在圓上，故相切.  例題6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝（x－m）2－m2＋m的頂點為A，與y軸的交點為B，連結(jié)AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD＝AC，連結(jié)BD.作AE∥x軸，DE∥y軸.（1）當(dāng)m＝2時，則點B的坐標(biāo)為            ；（2）DE的長是否為定值，若是，請求出該值；若不是，請說明理由.解：（1）當(dāng)m＝2時，y＝（x－2）2＋1，把x＝0代入y＝（x－2）2＋1，得：y＝2，∴點B的坐標(biāo)為（0，2）.（2）延長EA，交y軸于點F，∵AD＝AC，∠AFC＝∠AED＝90°，∠CAF＝∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF＝AE，∵點A（m，－m2＋m），點B（0，m），∴AF＝AE＝|m|，BF＝m－（－m2＋m）＝m2，∵∠ABF＝90°－∠BAF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF∽△DAE，∴＝，即：＝，∴DE＝4．   注：本節(jié)內(nèi)容本身是沒有配鞏固練習(xí)的，是完整的一節(jié)內(nèi)容。 

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