第18講 圓與相似模型講解【例題講解】例題1 如圖，為⊙O的直徑， C為⊙O上一點(diǎn)，弦AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，AB＝6，AD＝5，則AE的長.【解析】如圖，連接BD、CD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°∴BD＝＝＝，∵弦AD平分∠BAC，∴CD＝BD＝，∴∠CBD＝∠DAB，在△ABD和△BED中，∴△ABD∽△BED，∴＝，即＝解得DE＝．∴AE＝AD－DE＝5－＝.例題2 如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BG⊥AC交⊙O于點(diǎn)E、H，連AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，求CE的長．【解析】∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCD＝∠ACD,∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG·AC＝DC·BC＝6×14＝84，連接AE，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG·AC＝84，∴CE＝． 【鞏固練習(xí)】1.如圖，已知D為等腰三角形ABC的底邊BC上的任意一點(diǎn)，AD的延長線交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，連接BE、CE，則圖中相似三角形共有    A．8對   B．6對   C．4對   D．2對2．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，過點(diǎn)C作直線CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，E是OB上一點(diǎn)，直線CE與⊙O交于點(diǎn)F，連接AF交直線CD于點(diǎn)G．若AC＝，則AG·AF＝               . 3、如圖，已知半圓的直徑AB＝10，點(diǎn)C在半圓上，CB＝6，O為AB的中點(diǎn)，OD⊥AB交AC于點(diǎn)D，則OD＝            .4.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，D是劣弧的中點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E，若BC＝，CD＝，則＝     ．5、如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙0，且AB＝AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F是OE的中點(diǎn)，如果BD∥CF，BC＝2，則CD＝               .（第5題）             （第6題）               （第7題）6、如圖，已知⊙0的半徑為4，AB＝6，銳角△ABC內(nèi)接于⊙0，BD⊥AC于點(diǎn)D，OE⊥AB于點(diǎn)M，則sin∠CBD的值等于              . 7、如圖，AD是圓內(nèi)接△ABC的高，AE是OO的直徑，AB＝，AC＝，則AE·AD＝               .  8、如圖，△ABC是⊙0的內(nèi)接三角形，AB＝AC，BD平分∠ABC交⊙0于點(diǎn)D，連接AD、CD.作AE⊥BD于點(diǎn)E，若AE＝3，DE＝1，則△ACD的面積是             .    9、如圖：M、N分別為直角坐標(biāo)系x、y正半軸上兩點(diǎn)，過M、N和原點(diǎn)0三點(diǎn)的圓和直線y＝x交于點(diǎn)P，（1）試判斷△PMN的形狀；（2）連接MN，設(shè)直線y＝x交MN于點(diǎn)G，若PG:PN＝3：4，△PGN的周長為6，求△PON的周長.         10、如圖，PB為⊙O0的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，F，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC、AF。（1）求證：直線PA為⊙O的切線；（2）試探究線段EF、OD、OP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和線段PE的長.             11、如圖1，AB為半圓O的直徑，D為BA的延長線上一點(diǎn)，DC為半圓O的切線，切點(diǎn)為C.（1）求證：∠ACD＝∠B；（2）如圖2，∠BDC的平分線分別交AC，BC于點(diǎn)E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC＝3，BC＝4，求CE的長.         12、如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于F，切點(diǎn)為G，連接AG交CD于K.（1）求證：KE＝GE；（2）若KG2＝KD?GE，試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若sinE＝，AK＝2，求FG的長.
參考答案1.答案：B.2.答案：8.3.答案：.4.答案：.【解析】由D是劣弧的中點(diǎn)，得，又∵∠ADB＝∠EDA，∴△ABD∽△EAD，∴＝，∴AD2＝DE·DB；由D是劣弧的中點(diǎn)，得AD＝DC，則DC2＝DE·DB，∵CB是直徑，∴△BCD是直角三角形．∴BD＝＝＝由DC2＝DE·DB得，＝DE，解得DE＝． 5.答案：.6.答案：.7.答案：3.8.答案：.9.答案：（1）解：△PMN是等腰直角三角形，理由：∵y＝x，∴∠PON＝∠FOM＝45°.∴PN＝PM.∴四邊形ONPM內(nèi)接于圓，∴∠MON＋∠NPM＝180°.∴∠MON＝90°，∴∠NPM＝90°.即△PMN是等腰直角三角形。（2）△PMN是等腰直角三角形，∴∠PMN＝∠PNM∵∠OPN＝∠OPN，∴△PNG∽APON.△PNG的周長：△PON的周長＝PG:PN＝3：4.∴△PNG的周長＝6，∴△PON的周長＝8. 10.答案：（1）如圖所示，連接0B，因?yàn)?/span>PB是⊙O切線，所以∠PBO＝90°，因?yàn)?/span>0A＝0B，BA⊥PO于D，所以AD＝BD，∠P0A＝∠P0B，所以在△PA0和△PB0中，OA＝OB,∠P0A＝∠P0B，PO＝PO，△PAO≌△PBO（SAS），所以∠PAO＝∠PBO＝90°，所以OA⊥PA，直線PA為⊙O切線。（2）EF2＝4OD?OP。因?yàn)?/span>∠PAO＝∠PDA＝90°，所以∠OPA＋∠AOP＝90°，且∠OAD＋∠AOD＝90°，則∠OAD＝∠OPA，因?yàn)?/span>∠AOD＝∠POA，所以△OAD∽△OPA，所以，即OA2＝OD?OP，又因?yàn)?/span>EF＝2OA，所以EF2＝4OD?OP.（3）因?yàn)?/span>OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，由三角形中位線定理可知，0D＝BC＝3，設(shè)AD＝x，因?yàn)?/span>tan∠F＝，所以FD＝2x，0A＝OF＝2x－3，在Rt△AOD中，由勾股定理得（2x－3）2＝x2＋3，解得x1＝4或x2＝0（舍去），所以AD＝4，OA＝2x－3＝5，因?yàn)?/span>AC是⊙O直徑，所以∠ABC＝90°，又因?yàn)?/span>AC＝2OA＝10，BC＝6，所以cos∠ACB＝，因?yàn)?/span>OA2＝OD?OP，所以3（PE＋5）＝25，所以PE＝. 11.答案：（1）證明：如圖1中，連接OC.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵CD是⊙O切線，∴.OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠DCA＋∠OCA＝90°，∵AB是直徑，∴∠CAB＋∠B＝90°，∴∠ACD ＝∠B.(2) 在RT△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，由勾股定理得AB＝5，∵∠CDA＝∠BDC，∠DCA＝∠B，∴△DCA∽△DBC，∴，設(shè)DC＝3k，DB＝4K,∵CD2＝DA·DB，∴9k2＝（4k－5）?4k，∴k＝,∴CD＝,DB＝∵∠CDE＝∠BDF，∠DCE＝∠B，∴△DCE∽△DBF，∴,設(shè)EC＝CF＝x,∴ ,∴x＝,∴CE＝. 12.答案：（1）由∠KGE＝∠AKH＝∠GKE可證KE＝GE（2）由△GKD∽△EGK可證得KG 2＝KD?GE（3）FG＝.  

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