?第4講 幾何模型之“K”字型
模型講解

直角型 銳角型 鈍角型
【例題講解】 (直接“K”字型)
例題1、 (1)問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點,∠DPC＝∠A＝∠B＝90°,求證：AD﹒BC＝AP﹒BP;
（2）探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)∠DPC＝∠A＝∠B＝θ時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．
（3）應(yīng)用：請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題：
如圖3，在△ABD中，AB＝6,AD＝BD＝5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足∠CPD＝∠A，設(shè)點P的運動時間為t（秒），當(dāng)DC＝4BC時，求t的值．

解：（1）如圖1，

圖1
∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADP＋∠APD＝90°，
∠BPC＋∠APD＝90°，
∴∠ADP＝∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴＝，
∴AD?BC＝AP?BP；
（2）結(jié)論AD?BC＝AP?BP仍然成立．
理由：如圖2，

圖2
∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，∠BPD＝∠A＋∠ADP，
∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP．
∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ，
∴∠BPC＝∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴＝，
∴AD?BC＝AP?BP；
（3）如圖3，

圖3
∵DC＝4BC，
又∵AD＝BD＝5，
∴DC＝4，BC＝1，
，由（1）、（2）的經(jīng)驗可知AD?BC＝AP?BP，
∴5×1＝t（6﹣t），
解得：t1＝1，t2＝5，
∴t的值為1秒或5秒．

例題2、如圖,在等邊△ABC中,將△ABC沿著MN折疊。使點A落在邊BC上的點D處。
(1)若AB＝4,當(dāng)△BMD為直角三角形時,求AM的長。
(2)當(dāng)BD:CD＝1:3時,求AM:AN的值。

解：(1)如圖1，設(shè)BM＝k,AM＝DM＝k.可得方程k＋k＝4,得k＝2＋2,得AM＝2（3－）.
同理，如圖2，可求得AM＝8－12.
(2)如圖3，設(shè)BD＝m,CD＝3m,可得△BDM與△CDN的周長比即相似比為5：7.可得AM：AN＝DM：DN＝5：7.

圖1 圖2 圖3

【鞏固練習(xí)】
1.如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點F,AB＝9,BD＝3，則CF等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4


2.如圖坐標系中，O(0，0)，A（6，6），B（12，0），將△OAB沿直線線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處，若OE＝，則CE：DE的值是_________．





3.正方形ABCD邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個動點,當(dāng)M點在BC上運動時,保持AM⊥MN.
(1)設(shè)BM＝x,CN＝y(tǒng),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)在點M,N運動的過程中,求CN的最小值.






4．如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB＝16，點D與點A關(guān)于y軸對稱,tan∠ACB＝＝∠CAO,點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠CEF＝∠ACB．
（1）求AC的長和點D的坐標；
（2）證明：△AEF∽△DCE;
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標．





5.如圖．等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°,P為BC的中點，小明拿著含45°角的透明三角形，使45°角的頂點落在點P，且繞P旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖①：當(dāng)三角板的兩邊分別AB、AC交于E、F點時，試說明△BPE∽△CFP．
（2）將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖②，三角板兩邊分別交BA延長線和邊AC于點EF．
探究1：△BPE與△CFP．還相似嗎？（只需寫結(jié)論）
探究2：連接EF,△BPE與△EFP是否相似？請說明理由．

圖① 圖②




6.如圖，一條拋物線經(jīng)過原點和點C(8,0),A、B是該拋物線上的兩點,AB∥x軸，OA＝5,AB＝2．點E在線段OC上，作∠MEN＝∠AOC,使∠MEN的一邊始終經(jīng)過點A，另一邊交線段BC于點F，連接AF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點F是BC的中點時，求點E的坐標；
（3）當(dāng)△AEF是等腰三角形時，求點E的坐標．





7.【試題再現(xiàn)】如圖1,Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC，直線l過點C，過點A、B分別作AD⊥l于點D,BE⊥l于點E，則DE＝AD＋BE(不用證明）．
（1）【類比探究】如圖2，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝∠ADC＝∠BEC＝100°,上述結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由：若不成立，請寫出一個你認為正確的結(jié)論．
（2）【拓展延伸】①如圖3，在△ABC中，AC＝nBC,且∠ACB＝∠ADC＝∠BEC＝100°,猜想線段DE、AD、BE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．
②若圖1的Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝nBC,并將直線l繞點C旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊AB相交，分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點D和點E，請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出線段DE、AD、BE之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫出證明過程）．


圖1 圖2

圖3 備用圖




【例題講解】(構(gòu)造“K”字型)
基本構(gòu)造方法


例題1.如圖，在直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為(4,8),將矩形沿對角線AC翻折，B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E，那么點D的坐標為_______.

解：如圖，過D作DF⊥x軸于F，
∵點B的坐標為（4，8），
∴AO＝4，AB＝8，
根據(jù)折疊可知：CD＝OA，
而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE＝DE，OA＝CD＝4，
設(shè)OE＝x，那么CE＝8﹣x，DE＝x，
∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2＋CD2，
∴（8﹣x）2＝x2＋42，
∴x＝3，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
而AD＝AB＝8，
∴AE＝CE＝8﹣3＝5，
∴＝＝，
即，
∴DF＝，AF＝，
∴OF＝﹣4＝，
∴D的坐標為（﹣，）．
故答案是：（﹣，）．



例題2.如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD,點A(0,1),點C、D在反比例函數(shù)y＝的圖象上，AB與x軸的正半軸相交于點E，若E為AB的中點，則k的值為_______．

解：如圖，作DF⊥y軸于F，過B點作x軸的平行線與過C點垂直與x軸的直線交于G，CG交x軸于K，作BH⊥x軸于H，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAF＋∠OAE＝90°，
∵∠AEO＋∠OAE＝90°，
∴∠DAF＝∠AEO，
∵AB＝2AD，E為AB的中點，
∴AD＝AE，
在△ADF和△EAO中，

∴△ADF≌△EAO（AAS），
∴DF＝OA＝1，AF＝OE，
∴D（1，k），
∴AF＝k﹣1，
同理；△AOE≌△BHE，△ADF≌△CBG，
∴BH＝BG＝DF＝OA＝1，EH＝CG＝OE＝AF＝k﹣1，
∴OK＝2（k﹣1）＋1＝2k﹣1，CK＝k﹣2
∴C（2k﹣1，k﹣2），
∴（2k﹣1）（k﹣2）＝1?k，
解得k1＝，k2＝，
∵k﹣1＞0，
∴k＝
故答案是：．


例題3、如圖,直線a∥b∥c,a與b之間的距離為3,b與c之間的距離為6,a、b、c分別經(jīng)過等邊三角形ABC的三個頂點,則三角形的邊長為______________.

簡解：構(gòu)造∠BDC=∠AEC=60°，可得△BCD≌△CAE.可求得AC=2.


例題4、如圖，拋物線y＝與坐標軸交與A、B、C三點，點M在線段BC上，將線段OM繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點M的對應(yīng)點N恰好落在第一象限的拋物線上，求N點的坐標．

簡解：A（1，0），B（3，0），C（0，－3）.直線BC：y＝x－3.
設(shè)M（t，t－3）.則N（3－t，t）.代入函數(shù)關(guān)系式可求得t＝0或1.得N（2，1）.


【鞏固練習(xí)】
1、如圖，直線l1∥l2∥l3，等腰直角三角形ABC的三個頂點A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于點D，已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，則△ABC的面積為_____________.

2．如圖，邊長為的正方形ABCD的頂點A在y軸上，頂點D在反比例函數(shù)y＝的圖象上，已知點B的坐標是則k的值為（　?。?br /> A． B． C．4 D．6

3.如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，BE＝作EF⊥DE并截取EF＝DE，連結(jié)AF并延長交射線BM于點C．設(shè)BE＝x,BC＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
4．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標(－2,1),點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是（　?。?br /> A．、 B．、
C．、 D．、

5．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AB所在直線的解析式為y＝kx＋2,頂點C、D在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若tan∠ADB＝2．則點D的坐標為_______．

6、已知拋物線y＝mx2－3mx－4m與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，當(dāng)∠ACB＝90°時，
（1）求拋物線解析式；
（2）當(dāng)拋物線開口向下時，在第一象限的拋物線上有一點P，橫坐標為a，當(dāng)∠BPC＝90°
時，求a的值.


7.若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞€”，拋物線：＝與：＝為“友好拋物線”．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點A是拋物線上在第一象限的動點，過A作AQ⊥x軸，Q為垂足，求AQ＋OQ的最大值．
（3）設(shè)拋物線的頂點為C，點B的坐標為(－1,4),問在的對稱軸上是否存在點M，使線段MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB′,且點B′恰好落在拋物線上？若存在求出點M的坐標，不存在說明理由．

8、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（－1，0），B（3，0），與y軸交于點C，直線BC的解析式為y＝kx＋3.
（1）求拋物線和直線BC的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使得∠CBP＝90°，求P點坐標；
（3）若點Q是第一象限的拋物線上一動點，當(dāng)∠CQB＝90°時，求Q點的坐標.

9.小明是一個喜歡探究鉆研的學(xué)生，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線y＝ax2（a＜0）的性質(zhì)時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題：

圖1 圖2
（1）小明測得OA＝OB＝4（如圖1），求a的值；
（2）對同一條拋物線，小明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時，過B作BF⊥x軸于點F，測得OF＝2，寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標；
（3）對該拋物線，小明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標．

參考答案
1.解：如圖，∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＋∠ADB＝120°，∠ADB＋∠FDC＝120°
∴∠BAD＝∠FDC
又∵∠B＝∠C＝60°，∴
∴△ABD～△CDF，
∴AB：BD＝CD：CF，
即9：3＝（9﹣3）：CF，
∴CF＝2．

2.解：過A作AF⊥OB于F，
∵A（6，6），B（12，0），
∴AF＝6，OF＝6，OB＝12，
∴BF＝6，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵將△OAB沿直線線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△DBE，
∴，
設(shè)CE＝a，則CA＝a，CO＝12﹣a，ED＝b，則AD＝b，DB＝12﹣b，
，
∴24b＝60a﹣5ab①，
，
∴36a＝60b﹣5ab②，
②﹣①得：36a﹣24b＝60b﹣60a，
∴＝，
即CE：DE＝．
故答案為：．



3.解：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMB＋∠NMC＝90°，
而∠AMB＋∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN，
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴AB：MC＝BM：NC，
而AB＝4，BM＝x，MC＝4﹣x，
∴4：（4﹣x）＝x：NC，
∴NC＝，
∴y＝（NC＋AB）?BC
＝（＋4）×4
＝﹣x2＋2x＋8．



4.解：（1）由題意tan∠ACB＝，
∴cos∠ACB＝，
∵四邊形ABCO為矩形，AB＝16，
∴BC＝＝12，AC＝＝20，
∴A（﹣12，0），
∵點D與點A關(guān)于y軸對稱，
∴D（12，0）；
（2）∵點D與點A關(guān)于y軸對稱，
∴∠CDE＝∠CAO，
∵∠CEF＝∠ACB，∠ACB＝∠CAO，
∴∠CDE＝∠CEF，
又∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠CDE＋∠DCE，
∴∠AEF＝∠DCE，
∴△AEF∽△DCE；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：
①當(dāng)CE＝EF時，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE＝CD＝20，
∴OE＝AE﹣OA＝20﹣12＝8，
∴E（8，0）；
②當(dāng)EF＝FC時，過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE中點，

∴CE＝2ME＝2EF?cos∠CEF＝2EF?cos∠ACB＝EF，
∵△AEF∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝AE﹣OA＝﹣12＝，
∴E（，0）；
③當(dāng)CE＝CF時，則有∠CFE＝∠CEF，
∵∠CEF＝∠ACB＝∠CAO，
∴∠CFE＝CAO，即此時點E與點D重合，這與已知條件矛盾，
綜上所述，E（8，0）或（，0）．


5.（1）證明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，
∴∠BPE＋∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，
∴∠BPE＋∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）．

（2）探究1：△BPE與△CFP還相似，
探究2：證明：連接EF，△BPE與△CFP相似，
∵△BPE∽△CFP，
∴，
又∵CP＝BP，
∴，
∴，
又∵∠B＝∠EPF，
∴△BEP∽△PEF．


6.解：（1）如圖，
∵該拋物線經(jīng)過原點和點C（8，0），
∴設(shè)該拋物線的解析式為：y＝ax（x﹣8）（a≠0）．
∵點C（8，0），
∴該拋物線的對稱軸是x＝4．
∵AB＝2，AB∥x軸，
∴設(shè)A（3，t），B（5，t），
又∵OA＝5，
∴t＝4，即A（3，4），B（5，4），
∴把點A的坐標代入解析式，得
4＝3a×（3﹣8），解得a＝﹣，
∴該拋物線的解析式是：y＝﹣x（x﹣8）（或y＝﹣x2＋x）；

（2）∵AB∥x軸，
∴根據(jù)拋物線的對稱性知OA＝CB＝5，∠AOC＝∠BCO，
∵點F是BC的中點，
∴CF＝．
∵∠MEN＝∠AOC，即∠AEF＝∠AOC，∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠AOC＋∠OAE，
∴∠CEF＝∠OAE，
∴△AOE∽△ECF，
∴＝，即＝，
解得，OE＝，或OE＝，
則E（，0）；

（3）①當(dāng)AE＝EF時，可證△AOE≌△ECF．
則OA＝CE＝5，
∴OE＝3，則E（3，0）；
②當(dāng)AF＝EF時，過點F作FK∥AO．
易證△ABF≌△FKE，求得OE＝，則E（，0）；
③當(dāng)AE＝AF時，在AO上取點Q，使得EQ＝OE．
易證△ABF≌△EQA，則EQ＝AB＝2，
∴OE＝2．則E（2，0）；
綜上所述，點E的坐標是：（3，0）、（，0）或（2，0）時，△AEF是等腰三角形．



7.解：（1）【類比探究】猜想DE＝AD＋BE．
理由：如圖2，

∵∠ADC＝100°，
∴∠DAC＋∠DCA＝80°．
∵∠ACB＝100°，
∴∠DCA＋∠ECB＝80°，
∴∠DAC＝∠ECB．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝AD＋BE；

（2）【拓展延伸】①猜想：DE＝AD＋nBE．
理由：如圖3，

∵∠ADC＝100°，
∴∠DAC＋∠DCA＝80°．
∵∠ACB＝100°，
∴∠DCA＋∠ECB＝80°，
∴∠DAC＝∠ECB．
∵∠ADC＝∠CEB，
∴△ADC∽△CEB，
∴＝＝＝n，
∴CE＝AD，CD＝nBE，
∴DE＝DC＋CE＝AD＋nBE；
②DE＝AD﹣nBE或DE＝nBE﹣AD．
提示：同①可得：CE＝AD，CD＝nBE．
如圖4，

DE＝CE﹣CD＝AD﹣nBE；
如圖5，

DE＝CD﹣DE＝nBE﹣AD．





1.簡解：構(gòu)造一對直角三角形全等，可得BC＝AC＝5.




2.解：如圖，作DE⊥OA于E，BF⊥OA于F，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵∠EAD＋∠FAB＝90°，∠FAB＋∠ABF＝90°，
∴∠EAD＝∠ABF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF，
∴AF＝ED，AE＝BF，
∵B點坐標（，），AB＝，
∴OF＝，AF＝DE＝＝＝1．
∴OE＝4，點D坐標（1，4），
∴k＝4．
故選：C．


3.解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE與△EGF中

∴△DBE≌△EGF，
∴EG＝DB，F(xiàn)G＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y(tǒng)﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC＝FG：AB，
即＝，
∴y＝﹣．
故選：A．




4.解：如圖過點A、B作x軸的垂線垂足分別為F、M．過點C作y軸的垂線交FA、
∵點A坐標（﹣2，1），點C縱坐標為4，
∴AF＝1，F(xiàn)O＝2，AE＝3，
∵∠EAC＋∠OAF＝90°，∠OAF＋∠AOF＝90°，
∴∠EAC＝∠AOF，
∵∠E＝∠AFO＝90°，
∴△AEC∽△OFA，
∴，
∴EC＝，∴點C坐標（﹣，4），
∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，
∴CN＝2，BN＝1，BM＝MN﹣BN＝3，BM＝AE＝3，OM＝EC＝，
∴點B坐標（，3），


5.解：過點D作DE⊥y軸于E，過點C作CF⊥x軸，如圖所示．
∵點A、B是直線y＝kx＋2分別與y軸、x軸的交點，
∴A（0，2），B（﹣，0），
∴OA＝2，OB＝﹣．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC．
∵tan∠ADB＝2，
∴＝2，＝2．
∵∠DEA＝∠AOB＝90°，∠EAD＝∠ABO＝90°﹣∠OAB，
∴△AED∽△BOA，
∴＝＝＝，
∴ED＝1，AE＝﹣，
∴點D（1，2﹣）．
同理：點C（1﹣，﹣）．
∵點C、D都在反比例函數(shù)y＝（m＞0）的圖象上，
∴1×（2﹣）＝（1﹣）?（﹣），
∴k＝±1．
∵k＜0，
∴k＝﹣1，
∴點D的坐標為（1，3）．




6.解：（1）A（－1，0），B（4，0），C（0，－4m）.利用AO×BO＝CO2列方程可得m＝－

(2)構(gòu)造基本圖形，設(shè)P（a,b），其中b=(a2-3a-4),CM=b-2,BN=b,PN=4-a，NP=4-a.可得方程a(4-a)=b(b-2)即，a(4-a)= (a-4)（a+1)(a2+a),得a=3(-1,0,3舍去)


7.解：（1）∵y1＝﹣2x2＋4x＋2＝﹣2（x﹣1）2＋4，
∴拋物線C1的頂點坐標為（1，4）．
∵拋物線C1與C2頂點相同，
∴＝1，﹣1＋m＋n＝4．
解得：m＝2，n＝3．
∴拋物線C2的解析式為y2＝﹣x2＋2x＋3．
（2）如圖1所示：

設(shè)點A的坐標為（a，﹣a2＋2a＋3）．
∵AQ＝﹣a2＋2a＋3，OQ＝a，
∴AQ＋OQ＝﹣a2＋2a＋3＋a＝﹣a2＋3a＋3＝﹣（a﹣）2＋．
∴當(dāng)a＝時，AQ＋OQ有最大值，最大值為．
（3）如圖2所示；連接BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），拋物線的對稱軸為x＝1，
∴BC⊥CM，BC＝2．
∵∠BMB′＝90°，
∴∠BMC＋∠B′MD＝90°．
∵B′D⊥MC
∴∠MB′D＋∠B′MD＝90°．
∴∠MB′D＝∠BMC．
在△BCM和△MDB′中，，
∴△BCM≌△MDB′．
∴BC＝MD，CM＝B′D．
設(shè)點M的坐標為（1，a）．則B′D＝CM＝4﹣a，MD＝CB＝2．
∴點B′的坐標為（a﹣3，a﹣2）．
∴﹣（a﹣3）2＋2（a﹣3）＋3＝a﹣2．
整理得：a2﹣7a＋10＝0．
解得a＝2，或a＝5．
當(dāng)a＝2時，M的坐標為（1，2），
當(dāng)a＝5時，M的坐標為（1，5）．
綜上所述當(dāng)點M的坐標為（1，2）或（1，5）時，B′恰好落在拋物線C2上．



8.解：

(1)C（0，3）,拋物線為y=－(x+1)(x－3)=－x2+2x+3.
(2)直線BC為y=－x+3,取BC的中點M（,）MP=1/2BC=3/2,得P（,±）
(3)設(shè)Q（a,b）則類似第6題，可得Q
9.解：（1）設(shè)線段AB與y軸的交點為C，由拋物線的對稱性可得C為AB中點，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AC＝OC＝BC＝4，
∴B（4，﹣4），
將B（4，﹣4）代入拋物線y＝ax2（a＜0）得，a＝﹣．

（2）過點A作AE⊥x軸于點E，
∵點B的橫坐標為2，
∴B （2，﹣1），
設(shè)A（﹣m，﹣m 2）（m＞0），則
OB2＝22＋12＝5，OA2＝m2＋m4，AB2＝（2＋m）2＋（﹣1＋m2）2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB2＝OA2＋OB2，
∴（2＋m）2＋（﹣1＋m2）2＝m2＋m4＋5，
解得：m＝0（不合題意舍去）或m＝8，即點A的橫坐標為﹣8．

（3）設(shè)A（﹣m，﹣m 2）（m＞0），B（n，﹣n 2）（n＞0），
設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx＋b，則，
①×n＋②×m得，（m＋n）b＝﹣（m2n＋mn2）＝﹣mn（m＋n），
∴b＝﹣mn，
由前可知，OB2＝n2＋n4，OA2＝m2＋m4，AB2＝（n＋m）2＋（﹣m2＋n2）2，
由AB2＝OA2＋OB2，得：n2＋n4＋m2＋m4＝（n＋m）2＋（﹣m2＋n2）2，
化簡，得mn＝16．
∴b＝﹣×16＝﹣4．由此可知不論k為何值，直線AB恒過點（0，﹣4）．




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