中考培優(yōu)競(jìng)賽專(zhuān)題經(jīng)典講義第22講構(gòu)造圓問(wèn)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第22講構(gòu)造圓問(wèn)題
構(gòu)造圓問(wèn)題即圖中本來(lái)沒(méi)有圓，但可通過(guò)構(gòu)造圓來(lái)解決一些幾何問(wèn)題
模型講解

AD＝AC＝AB ∠ADB＝∠ACB 2∠ADB＝∠ACB ∠BAC＋∠BDC＝180°

【例題講解】
例題1、如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為 .

【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．
故答案為：88°．

【鞏固練習(xí)】
1、如圖，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，則∠DAO＋∠DCO＝ .

2、如圖，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，則BD的長(zhǎng)為（）
A. B. C. D.

【例題講解】
例題2、如圖，△ABC≌△ADE，且∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED，BC、DE交于點(diǎn)O，則下列四個(gè)結(jié)論中，一定成立的有（將序號(hào)填在橫線(xiàn)上）
①∠1＝∠2；②BC＝DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

【解答】解：∵△ABC≌△ADE且∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED，
∴∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，故②正確；
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠1＝∠2，故①正確；
∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，
∴，
∵∠1＝∠2，
∴△ABD∽△ACE，故③正確；
∵∠ACB＝∠AEF，∠AFE＝∠OFC，
∴△AFE∽△OFC，
∴，∠2＝∠FOC，
即，
∵∠AFO＝∠EFC，
∴△AFO∽△EFC，
∴∠FAO＝∠FEC，
∴∠EAO+∠ECO＝∠2+∠FAO+∠ECO＝∠FOC+∠FEC+∠ECO＝180°，
∴A、O、C、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，故④正確．
故選：D．

【鞏固練習(xí)】
1、如圖，點(diǎn)B為線(xiàn)段AD上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AB和BD向上作等邊△ABC和等邊△BDE，連接AE和CD相交于點(diǎn)P，連接BP，求證：BP平分∠APD.

【例題講解】
例題3、如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝kx（k≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，a）（a＞0）.線(xiàn)段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸與直線(xiàn)y＝kx上（B、C均與原點(diǎn)0不重合）滑動(dòng)，且BC＝2，分別作BP⊥x軸，CP⊥直線(xiàn)y＝kx，交點(diǎn)為P，經(jīng)探究在整個(gè)滑動(dòng)過(guò)程中，P、O兩點(diǎn)間的距離為定值 .

【解答】解：∵直線(xiàn)y＝kx（k≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，a），
∴tan∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)F，連接OP，如圖，

則∠OCE＝∠CFE＝30°，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）（不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，其他同理可求得），則OB＝x，PB＝y(tǒng)，
在Rt△PBF中，可得BF＝y(tǒng)，
∴OF＝OB+BF＝x+y，
在Rt△OCF中，OC＝OF＝，
在Rt△OCE中，OE＝OC＝，
則CE＝OE＝x+y，BE＝OB﹣OE＝x﹣＝x﹣y，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得CE2+BE2＝BC2，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝22，
整理可求得x2+y2＝，
∴OP＝＝，
即O、P兩點(diǎn)的距離為定值，
故答案為：．

例題4、如圖，定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，若AB＝8，則PM的最大值是 .

【解答】解：連接CO，MO，
∵∠CPO＝∠CMO＝90°，
∴C，M，O，P，四點(diǎn)共圓，且CO為直徑（E為圓心），
連接PM，則PM為⊙E的一條弦，當(dāng)PM為直徑時(shí)PM最大，所以PM＝CO＝4時(shí)PM最大．即PMmax＝4．

【鞏固練習(xí)】
1、如圖，AB為直徑，AB＝4，C、D為圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)，CM⊥AB于M，當(dāng)
C、D在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)保持∠CMN＝30°，則CD的長(zhǎng)（）
A.隨C、D的運(yùn)動(dòng)位置而變化，且最大值為4
B.隨C、D的運(yùn)動(dòng)位置而變化，且最小值為2
C.隨C、D的運(yùn)動(dòng)位置長(zhǎng)度保持不變，等于2
D.隨C、D的運(yùn)動(dòng)位置而變化，沒(méi)有最值

【例題講解】【構(gòu)造圓解決角度問(wèn)題】（重難點(diǎn)）
例題1、①已知在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)（5，0），在直線(xiàn)y＝k上找一點(diǎn)P，使得△OPB為直角三角形，當(dāng)P點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，求k的取值范圍.
②已知在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)（0，5），在直線(xiàn)x＝k上找一點(diǎn)P，使得∠OPB＝45°，當(dāng)P點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)時(shí)，求k的取值范圍.

例題2、已知在x軸上有A、B兩點(diǎn)，且A（－4，0），B（2，0），若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)E（4，0），M為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線(xiàn)l的解析式.

如圖，過(guò)A，B分別作x軸的垂線(xiàn)，這兩條直線(xiàn)總是與直線(xiàn)l有交點(diǎn)，即兩個(gè)點(diǎn)M1和M2，以AB為直徑的⊙G如果與直線(xiàn)l相切，就只有一個(gè)點(diǎn)M，連接GM，那么GM⊥l，

∵在RT△EGM中，GM＝3，GE＝5，
∴EM＝4，
在RT△EM1A中，
∵AE＝8，tan∠M1EA＝＝，
∴M1A＝6，
∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（﹣4，6），過(guò)M1，E的直線(xiàn)l為y＝﹣x+3，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性直線(xiàn)l還可以是y＝x﹣3．

例題3、如圖，直線(xiàn)y＝－x＋3與x軸、y軸分別交于B、A兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線(xiàn)段OB上的一動(dòng)點(diǎn)，若能在斜邊AB上找到一點(diǎn)C，使∠OCP＝90°，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），求m的取值范圍.

【解題方法提示】令y=0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a，則OD=a，PD=m-a，求出△OCD和△CPD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式表示出m，然后求出m的最小值；再根據(jù)點(diǎn)P在線(xiàn)段OB上判斷出OC⊥AB時(shí)，點(diǎn)P、B重合，m最大，然后即可寫(xiě)出m的取值范圍.
m的取值范圍是3≤m≤4．

例題4、如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（5，0），點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（1）使∠APB＝30°的點(diǎn)P有個(gè)；
（2）若點(diǎn)P在y軸上，且∠APB＝30°，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB是否存在最大值？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，
以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點(diǎn)P1、P2．
在優(yōu)弧AP1B上任取一點(diǎn)P，如圖1，
則∠APB＝∠ACB＝×60°＝30°．
∴使∠APB＝30°的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)．
故答案為：無(wú)數(shù)．

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，如圖1．
∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（5，0），
∴OA＝1，OB＝5．
∴AB＝4．
∵點(diǎn)C為圓心，CG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝2．
∴OG＝OA+AG＝3．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC＝AB＝4．
∴CG＝
＝
＝2．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）．
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，連接CP2，如圖1，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），
∴CD＝3，OD＝2．
∵P1、P2是⊙C與y軸的交點(diǎn)，
∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°．
∵CP2＝CA＝4，CD＝3，
∴DP2＝＝．
∵點(diǎn)C為圓心，CD⊥P1P2，
∴P1D＝P2D＝．
∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．
②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，
同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．
綜上所述：滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：
（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．

（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)A、B的⊙E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大．
理由：可證：∠APB＝∠AEH，當(dāng)∠APB最大時(shí)，∠AEH最大．由sin∠AEH＝得：當(dāng)AE最小即PE最小時(shí)，∠AEH最大．所以當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，∠APB最大．
①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，
連接EA，作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2．
∵⊙E與y軸相切于點(diǎn)P，
∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°．
∴四邊形OPEH是矩形．
∴OP＝EH，PE＝OH＝3．
∴EA＝3．
∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，
∴EH＝
＝
＝
∴OP＝
∴P（0，）．
②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，
同理可得：P（0，﹣）．
理由：
①若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，
在y軸的正半軸上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），
連接MA，MB，交⊙E于點(diǎn)N，連接NA，如圖2所示．
∵∠ANB是△AMN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB＝∠ANB，
∴∠APB＞∠AMB．
②若點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，
同理可證得：∠APB＞∠AMB．
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB有最大值，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）和（0，﹣）．

【鞏固練習(xí)】
1、如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，則∠BDC＝，∠DBC＝ .

2、足球射門(mén)，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門(mén)AB的張角大小時(shí)，張角越大，射門(mén)越好.如圖的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在（）
A. 點(diǎn)C B.點(diǎn)D或點(diǎn)E
C.線(xiàn)段DE（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn) D.線(xiàn)段CD（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn)

3、如圖，已知AB是⊙O的直徑，PQ是⊙O的弦，PQ與AB不平行，R是PQ的中點(diǎn)，作PS⊥AB，QT⊥AB，垂足分別為S、T（S≠T），并且∠SRT＝60°，則的值等于 .

4、如圖，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC與PB交于點(diǎn)D，且PB＝4，PD＝3，則AD·DC＝ .

5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（－6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA＝45°時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .

6、如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），且DA＝DE，則AD的取值范圍是 .

7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一點(diǎn)B，坐標(biāo)為（2，m）.過(guò)點(diǎn)B作AB⊥y軸，BC⊥x軸，垂足分別為A、C，若點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上滑動(dòng)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A、B重合），發(fā)現(xiàn)使得∠OPC＝45°的位置有兩個(gè)，則m的取值范圍為 .

8、在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△A′B′C′。
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；
（2）如圖2，連接AA1，CC1.若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；
（3）如圖3，點(diǎn)E為線(xiàn)段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線(xiàn)段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值.

圖1 圖2 圖3

9、如圖，拋物線(xiàn)y＝－x2－x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)E（4，0），M為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線(xiàn)l的解析式.

10、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝－x＋2交x軸于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)A，拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c的圖像過(guò)點(diǎn)E（－1，0），并與直線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn).
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

11、問(wèn)題探究
（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使∠APD＝90°，則BP的長(zhǎng)度為 .
（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn).當(dāng)AD＝6時(shí)，BC邊上存在點(diǎn)Q，使∠EQF＝90°，說(shuō)出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并求此時(shí)BQ的長(zhǎng)；
問(wèn)題解決
（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線(xiàn)段CD上選一點(diǎn)M安監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)視邊AB.現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳.已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m.
問(wèn)在線(xiàn)段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB＝60°？若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM的長(zhǎng)；
若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

圖1 圖2 圖3

12、如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn).例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱(chēng)點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn).同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn).
（1）如圖1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，請(qǐng)?jiān)谶匔D上作出A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）.

圖1 圖2
（2）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，直接寫(xiě)出邊CD上A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù).
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，DM＝8cm，AN＝5cm.動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿著DC方向以1cm/s的速度向右移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l平行于BC，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線(xiàn)l上.當(dāng)t＝4時(shí)，求PH的長(zhǎng).

參考答案
1.【解答】解法1：∵OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，
∵∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝70°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB＝140°，即∠OAB+∠ABC+∠OCB＝140°，
又∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD＝360°，即∠ABC+∠OCB+∠OCD+∠ADC+∠DAO+∠OAB＝360°，
∵∠ADC＝70°，∠OAB+∠ABC+∠OCB＝140°，
∴∠DAO+∠DCO＝360°﹣140°﹣70°＝150°．

2.【解答】解：以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，延長(zhǎng)BA交⊙A于F，連接DF．
∵DC∥AB，
∴＝，
∴DF＝CB＝1，BF＝2+2＝4，
∵FB是⊙A的直徑，
∴∠FDB＝90°，
∴BD＝＝．
故選：B．

參考答案
1.【解答】解：連接PB
∵∠CPA＝∠CBA＝60°，∠BAP＝∠BCP，
∴點(diǎn)A，B，C，P四點(diǎn)共圓，
∴∠APB＝∠ACB＝60°，
∵∠BPD＝∠CAB＝60°，
∴∠APB＝∠DPB

參考答案

1.【解答】解；連接：OC、ON、OD．

∵N是CD的中點(diǎn)，
∴ON⊥CD，∠CON＝∠DON．
又∵CM⊥AB，
∴∠ONC+∠CMO＝180°．
∴O、N、C、M四點(diǎn)共圓．
∴∠NOC＝∠NMC＝30°．
∴∠COD＝60°．
又∵OC＝OD，
∴△OCD為等邊三角形．
∴CD＝．
故選：C．

參考答案
1.【解答】解：法一：∵AB＝AC＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，
∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，
∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，
∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，
∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，
∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，
∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．
∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．

2.【解答】解：連接BC，AC，BD，AD，AE，BE，

已知A，B，D，E四點(diǎn)共圓，同弧所對(duì)的圓周角相等，因而∠ADB＝∠AEB，然后圓同弧對(duì)應(yīng)的“圓內(nèi)角“大于圓周角，“圓外角“小于圓周角，因而射門(mén)點(diǎn)在DE上時(shí)角最大，射門(mén)點(diǎn)在D點(diǎn)右上方或點(diǎn)E左下方時(shí)角度則會(huì)更?。?br /> 故選：C．

3.【解答】解：連結(jié)OP，OQ，OR，如圖，
∵R是PQ的中點(diǎn)，
∴OR⊥PQ，
∵OP＝OQ，
∴∠POR＝∠QOR，
∵PS⊥AB，
∴∠PSO＝∠PRO＝90°，
∴點(diǎn)P、S、O、R四點(diǎn)在以O(shè)P為直徑的圓上，
∴∠PSR＝∠POR，
同理可得∠QTR＝∠QOR，
∴∠PSR＝∠QTR，
∴∠RST＝∠RTS，
而∠SRT＝60°，
∴△RST為等邊三角形，
∴∠RST＝60°，∠RTS＝60°，
∴∠RPO＝∠RSO＝60°，∠RQO＝∠RTO＝60°，
∴△OPQ為等邊三角形，
∴PQ＝OP，
∴AB＝2PQ，
∴＝．
故答案為．

4.解析：本題主要考查三點(diǎn)共圓判定和相交弦定理。
由PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，可知：A，B，C三點(diǎn)共圓，圓心為P半徑為PB。由相交弦定理可知：AD·DC＝（PB+PD）(PB-PD)=7

5.【解答】解：設(shè)線(xiàn)段BA的中點(diǎn)為E，
∵點(diǎn)A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．
（1）如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝AB＝5，則易知△PBA為等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝；
以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長(zhǎng)為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，
∵∠BCA為⊙P的圓周角，
∴∠BCA＝∠BPA＝45°，即則點(diǎn)C即為所求．
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，則OF＝PE＝5，PF＝1，
在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝，由勾股定理得：CF＝＝7，
∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）；
（2）如答圖2所示，在第3象限可以參照（1）作同樣操作，同理求得y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣12）．
綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）或（0，﹣12）．
故答案為：（0，12）或（0，﹣12）．

6.【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
以D為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)⊙D，
①如圖1，當(dāng)⊙D與BC相切時(shí)，DE⊥BC時(shí)，
設(shè)AD＝x，則DE＝AD＝x，BD＝AB﹣AD＝5﹣x，
∵∠BED＝∠C＝90°，∠B是公共角，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
即，
解得：x＝；
②如圖2，當(dāng)⊙D與BC相交時(shí)，若交點(diǎn)為B或C，則AD＝AB＝，
∴AD的取值范圍是≤AD＜．

7.【解答】解：
如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以O(shè)C為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．

∵OC＝2，
∴OK＝KC＝，
當(dāng)EK＝KC＝時(shí)，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時(shí)m＝BC＝1+，在AB上只有一個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足∠OPC＝∠OKC＝45°，
當(dāng)BK＝時(shí)，在AB上恰好有兩個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足∠OPC＝∠OKC＝45°，此時(shí)m＝BC＝2，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的m的值的范圍為2≤m＜1+．
故答案為2≤m＜1+．

8.【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，
∴∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°．

（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，
∴，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1，
∴∠ABA1＝∠CBC1，
∴△ABA1∽△CBC1．
∴，
∵S△ABA1＝4，
∴S△CBC1＝；

（3）①如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝，
當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)，BP與AC垂直的時(shí)候，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線(xiàn)段AB上時(shí)，EP1最小，最小值為：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；
②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，EP1最大，最大值為：EP1＝BC+BE＝2+5＝7．

9.【解答】解：（1）令y＝0，即＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2，
∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣4，0）、B（2，0）．

（2）拋物線(xiàn)y＝的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣＝﹣1，
即D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是﹣1，
S△ACB＝AB?OC＝9，
在Rt△AOC中，AC＝＝＝5，
設(shè)△ACD中AC邊上的高為h，則有AC?h＝9，解得h＝．
如答圖1，在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線(xiàn)平行于AC，且到AC的距離＝h＝，這樣的直線(xiàn)有2條，分別是l1和l2，則直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣1的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D．
設(shè)l1交y軸于E，過(guò)C作CF⊥l1于F，則CF＝h＝，
∴CE＝＝．
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx+b，將A（﹣4，0），C（0，3）坐標(biāo)代入，
得到，解得，
∴直線(xiàn)AC解析式為y＝x+3．
直線(xiàn)l1可以看做直線(xiàn)AC向下平移CE長(zhǎng)度單位（個(gè)長(zhǎng)度單位）而形成的，
∴直線(xiàn)l1的解析式為y＝x+3﹣＝x﹣．
則D1的縱坐標(biāo)為×（﹣1）﹣＝，∴D1（﹣1，）．
同理，直線(xiàn)AC向上平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到l2，可求得D2（﹣1，）
綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：D1（﹣1，），D2（﹣1，）．

（3）如答圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過(guò)E點(diǎn)作⊙F的切線(xiàn)，這樣的切線(xiàn)有2條．
連接FM，過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴F（﹣1，0），⊙F半徑FM＝FB＝3．
又∵E（4，0），
∴FE＝5，
在Rt△MEF中，ME＝＝4，sin∠MFE＝，cos∠MFE＝．
在Rt△FMN中，MN＝MF?sin∠MFE＝3×＝，
FN＝MF?cos∠MFE＝3×＝，則ON＝，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
直線(xiàn)l過(guò)M（，），E（4，0），
設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y＝kx+b，則有
，解得，
所以直線(xiàn)l的解析式為y＝x+3．
同理，可以求得另一條切線(xiàn)的解析式為y＝x﹣3．
綜上所述，直線(xiàn)l的解析式為y＝x+3或y＝x﹣3．

10.【解答】解：（1）直線(xiàn)解析式為y＝x+2，令x＝0，則y＝2，
∴A（0，2），
∵拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，2），E（﹣1，0），
∴，
解得．
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝x2+x+2．

（2）∵直線(xiàn)y＝x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、點(diǎn)A，
∴P（6，0），A（0，2），
∴OP＝6，OA＝2．
∵AC⊥AB，OA⊥OP，
∴Rt△OCA∽R(shí)t△OAP，∠OAC＝∠OPA，
∴，
∴OC＝，
又C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（，0）．

（3）拋物線(xiàn)y＝x2+x+2與直線(xiàn)y＝x+2交于A、B兩點(diǎn)，
令x2+x+2＝x+2，
解得x1＝0，x2＝，
∴B（，）．
如答圖①所示，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，
則D（，0），BD＝，DP＝6﹣＝．
點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，且△MAB是直角三角形，有以下幾種情況：
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上，且BM⊥AB，如答圖①所示．
設(shè)M（m，0），則MD＝﹣m．
∵BM⊥AB，BD⊥x軸，∴，
即，
解得m＝，
∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上，且BM⊥AM，如答圖①所示．
設(shè)M（m，0），則MD＝﹣m．
∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽R(shí)t△MDB，
∴，即，
化簡(jiǎn)得：m2﹣m+＝0，
解得：m1＝，m2＝，
∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），（，0）；
（說(shuō)明：此時(shí)的M點(diǎn)相當(dāng)于以AB為直徑的圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）
③當(dāng)點(diǎn)M在y軸上，且BM⊥AM，如答圖②所示．
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；
④當(dāng)點(diǎn)M在y軸上，且BM′⊥AB，如答圖②所示．
設(shè)M′（0，m），則AM＝2﹣＝，BM＝，MM′＝﹣m．
易知Rt△ABM∽R(shí)t△BM′M，
∴，即，
解得m＝，
∴此時(shí)M′點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．
綜上所述，除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形．
符合條件的點(diǎn)M有5個(gè)，其坐標(biāo)分別為：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．

11.【解答】解：（1）①作AD的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)P，如圖①，
則PA＝PD．
∴△PAD是等腰三角形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°．
∵PA＝PD，AB＝DC，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．
∴BP＝CP．
∵BC＝4，
∴BP＝CP＝2．
②以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)P′，如圖①，
則DA＝DP′．
∴△P′AD是等腰三角形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠C＝90°．
∵AB＝3，BC＝4，
∴DC＝3，DP′＝4．
∴CP′＝＝．
∴BP′＝4﹣．
③點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)P″，如圖①，
則AD＝AP″．
∴△P″AD是等腰三角形．
同理可得：BP″＝．
綜上所述：在等腰三角形△ADP中，
若PA＝PD，則BP＝2；
若DP＝DA，則BP＝4﹣；
若AP＝AD，則BP＝．

（2）∵E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，EF＝BC．
∵BC＝12，
∴EF＝6．
以EF為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖②．
∵AD⊥BC，AD＝6，
∴EF與BC之間的距離為3．
∴OQ＝3
∴OQ＝OE＝3．
∴⊙O與BC相切，切點(diǎn)為Q．
∵EF為⊙O的直徑，
∴∠EQF＝90°．
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，如圖②．
∵EG⊥BC，OQ⊥BC，
∴EG∥OQ．
∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ＝90°，OE＝OQ，
∴四邊形OEGQ是正方形．
∴GQ＝EO＝3，EG＝OQ＝3．
∵∠B＝60°，∠EGB＝90°，EG＝3，
∴BG＝．
∴BQ＝GQ+BG＝3+．
∴當(dāng)∠EQF＝90°時(shí)，BQ的長(zhǎng)為3+．

（3）在線(xiàn)段CD上存在點(diǎn)M，使∠AMB＝60°．
理由如下：
以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG，
作GP⊥AB，垂足為P，作AK⊥BG，垂足為K．
設(shè)GP與AK交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD，垂足為H，如圖③．
則⊙O是△ABG的外接圓，
∵△ABG是等邊三角形，GP⊥AB，
∴AP＝PB＝AB．
∵AB＝270，
∴AP＝135．
∵ED＝285，
∴OH＝285﹣135＝150．
∵△ABG是等邊三角形，AK⊥BG，
∴∠BAK＝∠GAK＝30°．
∴OP＝AP?tan30°
＝135×
＝45．
∴OA＝2OP＝90．
∴OH＜OA．
∴⊙O與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為M，連接MA、MB，如圖③．
∴∠AMB＝∠AGB＝60°，OM＝OA＝90．．
∵OH⊥CD，OH＝150，OM＝90，
∴HM＝
＝
＝30．
∵AE＝400，OP＝45，
∴DH＝400﹣45．
若點(diǎn)M在點(diǎn)H的左邊，則DM＝DH+HM＝400﹣45+30．
∵400﹣45+30＞340，
∴DM＞CD．
∴點(diǎn)M不在線(xiàn)段CD上，應(yīng)舍去．
若點(diǎn)M在點(diǎn)H的右邊，則DM＝DH﹣HM＝400﹣45﹣30．
∵400﹣45﹣30＜340，
∴DM＜CD．
∴點(diǎn)M在線(xiàn)段CD上．
綜上所述：在線(xiàn)段CD上存在唯一的點(diǎn)M，使∠AMB＝60°，
此時(shí)DM的長(zhǎng)為（400﹣45﹣30）米．

12.【解答】解：（1）如圖，以線(xiàn)段AB為直徑的圓與線(xiàn)段CD的交點(diǎn)，或線(xiàn)段CD的中點(diǎn)E就是所勾股點(diǎn)；

（2）∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1時(shí)，
∴以線(xiàn)段AB為直徑的圓與線(xiàn)段CD的交點(diǎn)有兩個(gè)，加上C、D兩點(diǎn)，總共四個(gè)點(diǎn)4個(gè)；

（3）①如圖，當(dāng)t＝4時(shí)，PM＝8﹣4＝4，QN＝5﹣4＝1，
當(dāng)∠MHN＝90°時(shí)，
∵∠MPH＝∠HQN＝90°，
∴△PMH∽△QHN，
∴PH：QN＝PM：HQ，
而PH+HQ＝BC＝4，
∴PH＝2；
當(dāng)∠H''NM＝90°時(shí)，設(shè)PH＝x，那么H''Q＝4﹣x
依題意得PM2+PH''2＝QN2+H''Q2+MN2，
而MN＝＝5，
∴PH＝；
當(dāng)∠H'MN＝90°時(shí)，QH'2+QN2﹣（H'P2+PM2）＝MN2，
而H'Q＝PH'+PQ＝PH'+4，
∴PH＝3．
∴PH＝或PH＝2或PH＝3．
②當(dāng)0≤t＜4時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)4＜t＜5時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝5時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)0≤t＜4或t＝5或t＝8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)t＝4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)．

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