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?第6講巧用旋轉(zhuǎn)解題
【例題講解】
一、當(dāng)條件中出現(xiàn)“鄰邊相等＋對(duì)角互補(bǔ)＋半角”
例題1、如圖，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，∠EAF＝∠BAD，連結(jié)EF，試猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【解析】如圖，延長(zhǎng)CB到Q，使BQ＝DF，連接AQ，

∵△ABC與△ADC關(guān)于AC對(duì)稱，
∴△ABC≌△ADC，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D.
∵∠ABC＝90°，∴∠ABQ＝∠D＝90°.
易證△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ＝AF，∠QAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF＋∠BAE＝∠EAF，∴∠BAQ＋∠BAE＝∠EAF，
即∠EAQ＝∠EAF，
易證△EAQ≌△EAF（SAS），
∴EF＝EQ＝BE＋BQ＝BE＋DF.

二、當(dāng)條件中出現(xiàn)“鄰邊相等＋半角”
例題2、如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)P，Q在邊BC上，且∠PAQ＝30°.若BP＝2，QC＝3，則△ABC的邊長(zhǎng)為 .

【解析】將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACP＇，連接QP＇，

易證△AQP≌△AQP＇，
∴∠P＇CD＝60°，
過P＇D作P＇D⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，
在Rt△P＇CD中，可得CD＝1，P＇D＝，
在Rt△P＇QD中，可計(jì)算出QP＇＝，
∴PQ＝，∴邊長(zhǎng)為5＋.

三、當(dāng)條件中出現(xiàn)“鄰邊相等＋對(duì)角互補(bǔ)”
例題3、如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是 .

【解析】由點(diǎn)C為弧BD中點(diǎn)，可得BC＝CD，∠BAC＝∠CAD，即出現(xiàn)“鄰邊相等”，所以將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至BC與CD重合，如圖可得△ACE為等腰三角形，頂角∠ACE＝∠BCD＝120°，底邊長(zhǎng)AE＝AD＋DE＝AD＋AB＝3＋5＝8，所以在底角為30°的等腰△ACE中即可求出AC＝.

四、僅有“鄰邊相等”
例題4、如圖，在等邊△ABC中有一點(diǎn)P，PA＝2，PB＝4，PC＝2.
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）求△ABP的面積；
（3）求△APC的面積；
（4）求△ABC的面積.

【解析】
（1）如圖，△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，到△ACQ的位置，連接PQ；

則AQ＝AP＝2，CQ＝BP＝4；
∵∠PAQ＝60°，
∴△APQ為等邊三角形，
∴PQ＝PA＝2，∠AQP＝60°；
在△PQC中，滿足PC2＝PQ2＋CQ2，
∴∠PQC＝90°，∠AQC＝150°，
∴∠APB＝∠AQC＝150°，
故答案為150.
（2）由（1）可知∠APB＝150°，如圖，延長(zhǎng)BP，過點(diǎn)A作AD⊥BD，交BP延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

∴∠APD＝30°，AD＝AP＝，
∵S△APB＝BP×AD＝×4×＝2.
（3）可知S△ABP＋S△APC＝S四邊形APCQ.
∵S四邊形APCQ＝S△APQ＋S△PQC，
∴S△ABP＋S△APC＝S△APQ＋S△PQC，
∴2＋S△APC＝×（2）2＋×4×2＝7.
∴S△APC＝5，
（4）在Rt△ABD中，AD＝，BD＝4＋3＝7，
∴AB＝＝2.
由等邊三角形面積公式可得S△ABC＝×（2）2＝13.
【鞏固練習(xí)】
1、如圖△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N，連接MN，則△AMN的周長(zhǎng)為 .

2、如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于點(diǎn)E.若AE＝18，BC＝10，CD＝6，則四邊形ABCD的面積為 .

3、已知點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝112°，∠APC＝122°，若以AP、BP、CP為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，那么所構(gòu)成三角形的各內(nèi)角的度數(shù)是 .

4、如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PC＝3，∠APB＝135°，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CP＇B，連接PP＇.若BP的長(zhǎng)為整數(shù)，則AP＝ .

5、如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，E到點(diǎn)A、D、B的距離EA、ED、EB分別為1、3、2，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F，則四邊形BCFE的面積為 .

6、如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE＝DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H.給出如下幾個(gè)結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，則BG＝6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值.其中正確的結(jié)論是 .

7、五邊形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°，求證：AD平分∠CDE.

8.如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC和BC，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求證：AC＋BC＝CD.

9、正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，E是⊙O上的一點(diǎn).
（1）如圖1，若點(diǎn)E在弧AB上，F(xiàn)是DE上的一點(diǎn)，DF＝BE.求證：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE－BE＝AE.
請(qǐng)你說明理由；
（3）如圖2，若點(diǎn)E在弧AD上.寫出線段DE、BE、AE之間的等量關(guān)系.（不必證明）.

10、問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn).且∠EAF＝60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.
小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG＝BE.連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
實(shí)際應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

11、如圖，己知直線l1∥l2，一個(gè)45°角的頂點(diǎn)A在l1上，過A作AD⊥l2，垂足為D，AD＝6.將這個(gè)角繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)（角的兩邊足夠長(zhǎng)）.
（1）如下圖，旋轉(zhuǎn)過程中，若角的兩邊與l2分別交于B、C，且AB＝AC，求BD的長(zhǎng).為了解決這個(gè)問題，下面提供一種解題思路：如圖，作∠DAP＝45°，AP與l2相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作CQ⊥AP于點(diǎn)Q.∠DAP＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠CAQ，請(qǐng)你接下去完成解答.
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，若角的兩邊與l2，分別交于E、F（E在F左面），且AE＞AF，DF＝2，求DE的長(zhǎng).請(qǐng)你借鑒（1）的做法在備用圖中畫圖并解答這個(gè)問題.

參考答案
1.解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°
∴∠BCD＝∠DBC＝30°
∵△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
∴∠DBA＝∠DCA＝90°
延長(zhǎng)AB至F，使BF＝CN，連接DF，

在Rt△BDF和Rt△CND中，BF＝CN，DB＝DC
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN
∵∠MDN＝60°
∴∠BDM＋∠CDN＝60°
∴∠BDM＋∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM為公共邊
∴△DMN≌△DMF，
∴MN＝MF
∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6．

2.解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F，連接AC，

則∠ADF＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
易證△ABE≌△ADF（AAS），
∴AF＝AE＝19，
∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝BC?AE＋CD?AF＝×10×19＋×6×19＝95＋57＝152.
故答案為：152．

3.解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，連接PE．

∵AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴△EAP是等邊三角形，∠EAB＝∠PAC，
∴∠AEP＝∠APE＝60°，PA＝PE，
易證△EAP≌△PAC，
∴EB＝PC，
∴PA、PB、PC組成的三角形就是△PEB，
∵∠APB＝112°，∠APE＝60°，
∴∠EPB＝52，
∵∠AEB＝∠APC＝122°，∠AEP＝62°，
∴∠PEB＝66°，
∴∠EBP＝180°－∠BEP－∠EPB＝66°．
故答案為52°、62°、66°．

4.解：∵△BP'C是由△BPA旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠APB＝∠CP'B＝135°，∠ABP＝∠CBP'，BP＝BP'，AP＝CP'，
∵∠ABP＋∠PBC＝90°，
∴∠CBP'＋∠PBC＝90°，即∠PBP'＝90°，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P＝45°，
∵∠APB＝∠CP'B＝135°，
∴∠PP'C＝90°，
設(shè)BP＝BP'＝a，AP＝CP'＝b，
則PP'＝a，
在Rt△PP'C中，∵PP'2＋P'C2＝PC2，且PC＝3，
∴CP′＝＝，
∵BP的長(zhǎng)a為整數(shù)，
∴滿足上式的a為1或2，
當(dāng)a＝1時(shí)，AP＝CP＇＝，
當(dāng)a＝2時(shí)，AP＝CP＇＝1，
故答案為：或1.

5.解：如圖，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，作DN⊥AF垂足為N，

∵AM＝AE＝1，∠MAE＝90°，
∴ME＝＝＝，
∵BM2＋ME2＝（3）2＋（）2＝20，BE2＝（2）2＝20，
∴BM2＋ME2＝BE2，
∴∠BME＝90°，∵∠AME＝∠AEM＝45°，
∴AMB＝∠AED＝135°
在RT△DEN中，∵DE＝3，∠DEN＝45°，
∴DN＝EN＝3，AN＝4，
∴AD＝＝＝5，
∵∠DAN＝∠DAF，∠AND＝∠ADF＝90°，
∴△ADN∽△AFD，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝，NF＝，
∵S△ABE＋S△ADE＝S△ABM＋S△ABE＝S△AME＋S△BME＝×1×1＋××3＝，
S△EDF＝×（3＋）×3＝，
∴S四邊形BCFE＝S正方形ABCD－（S△ABE＋S△AED）－S△EFD＝25－－＝.
故答案為.

6.解：①∵ABCD為菱形，∴AB＝AD，
∵AB＝BD，∴△ABD為等邊三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB，故本選項(xiàng)正確；
②∵∠BGE＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60°＝∠BCD，
即∠BGD＋∠BCD＝180°，
∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，
∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°，
∴∠BGC＝∠DGC＝60°，
過點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），

則△CBM≌△CDN（AAS），
∴S四邊形BCDG＝S四邊形CMGN
S四邊形CMGN＝2S△CMG，
∵∠CGM＝60°，
∴GM＝CG，CM＝CG，
∴S四邊形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③過點(diǎn)F作FP∥AE交DE于P點(diǎn)（如圖2），

∵AF＝2FD，
∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，
∵AE＝DF，AB＝AD，
∴BE＝2AE，
∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，
∵FP∥AE，
∴PF∥BE，
∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，
即BG＝6GF，故本選項(xiàng)正確，
④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)（如圖3），

由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，
∵點(diǎn)E， F分別是AB，AD中點(diǎn)，
∴∠BDE＝∠DBG＝30°，
∴DG＝BG，
易證△GDC≌△BGC，
∴∠DCG＝∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
⑤∵∠BGE＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60°，為定值，
故本選項(xiàng)正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，共3個(gè)，
故選：B．

證明：如圖，連接AC，將△ABC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°到△AEF，

∵AB＝AE，∠BAE＝120°，
∴AB與AE重合，并且AC＝AF，
又∵∠ABC＋∠AED＝180°，
而∠ABC＝∠AEF，
∵∠AEF＋∠AED＝180°，
∴D，E，F(xiàn)在一條直線上，
而BC＝EF，BC＋DE＝CD，
∴CD＝DF，
又∵AC＝AF，
∴△ACD≌△AFD，
∴∠ADC＝∠ADF，
即AD平分∠CDE．

8.證明：過點(diǎn)D作DF⊥CA，垂足F在CA的延長(zhǎng)線上，作DG⊥CB于點(diǎn)G，連接DA，DB．

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴DF＝DG，＝，
∴DA＝DB.
∵∠AFD＝∠BGD＝90°，
易證Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF＝BG，
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF＝CG。
∴AC＋BC＝CF－AF＋AG＋BG＝CF＋CG＝2CF，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CF＝CD，
∴AC＋BC＝2CF＝CD；

9.答案：（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵∠1和∠2都對(duì)，
∴∠1＝∠2，
易證△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF＝AE，∠3＝∠4.
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°.
∴∠BAF＋∠3＝90°.
∴∠BAF＋∠4＝90°.
∴∠EAF＝90°.
∴△EAF是等腰直角三角形.
∴EF2＝AE2＋AF2.
∴EF2＝2AE2.
∴EF＝AE.
即DE－DF＝AE.
∴DE－BE＝AE.
（3）BE－DE＝AE．理由如下：
在BE上取點(diǎn)F，使BF＝DE，連接AF.

易證△ADE≌△ABF，
∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF.
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°.
∴∠BAF＋∠DAF＝90°.
∴∠DAE＋∠DAF＝90°.
∴∠EAF＝90°.
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF2＝AE2＋AF2.
∴EF2＝2AE2.
∴EF＝AE.
即BE－BF＝AE.
∴BE－DE＝AE.
10.答案：
問題背景：EF=BE+FD.
探索眼神：成立，提示，在CD的延長(zhǎng)線上截取DG=BE，如圖，

先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論.

實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB，
∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的條件
∴結(jié)論EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×（60+80）=210海里，
答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．

11.解：（1）∵AD⊥l2，CQ⊥AP，
∴∠ADB＝∠AQC＝90°，
又∵AB＝AC，
易證△ABD≌△ACQ（AAS），
∴BD＝CQ，AQ＝AD＝6，
∵∠DAP＝∠BAC＝45°，
∴△ADP、△CQP是等腰直角三角形，
∴AP＝6，
∴QP＝6?6，
∴BD＝CQ＝QP＝6?6.
（2）①如圖1：
作∠DAP＝45°，AP與l2相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FQ⊥AP于點(diǎn)Q.

∵∠DAP＝∠EAF＝45°，
∴∠EAD＝∠FAQ，
∵AD⊥l2，F(xiàn)Q⊥AP，
∴∠ADE＝∠AQF＝90°，
∴△AED∽△AFQ，
∴＝
∴△ADP、△FQP是等腰直角三角形，
∴DP＝AD＝6，AP＝6，
∵DF＝2，
∴FP＝DP－DF＝4，
∴FQ＝QP＝2，
∴AQ＝6?2＝4，
∴＝，
∴DE＝3.
②如圖2：
作∠DAP＝45°，AP與l2相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FQ⊥AP于點(diǎn)Q．

∵∠DAP＝∠EAF＝45°，
∴∠EAD＝∠FAQ，
∵AD⊥l2，F(xiàn)Q⊥AP，
∴∠ADE＝∠AQF＝90°
∴△AED∽△AFQ，
∴＝.
∴△ADP、△FQP是等腰直角三角形，
∴DP＝AD＝6，AP＝6，
∵DF＝2，
∴FP＝DP＋DF＝8，
∴FQ＝QP＝4，
∴AQ＝6?4＝2，
∴＝，
∴DE＝12．

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