中考培優(yōu)競賽專題經(jīng)典講義第32講幾何三大變換之旋轉(zhuǎn)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第32講幾何三大變換之旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 【例題講解】例題1．如圖所示，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合擺放在桌面上，若，則　　度．【解答】解：由圖，，則度．故答案為：35．例題2．如圖，中，，，將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，設(shè)交于，連接，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度數(shù)為　　，是等腰三角形．【解答】解：繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，，，，是等腰三角形，，①，則，當(dāng)，則，這不合題意舍去，②當(dāng)，，，解得；③當(dāng)，，，解得．故答案為或．【旋轉(zhuǎn)60°】得等邊例題3. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，△AOE是等邊三角形，點(diǎn)P為x軸正半軸上任意一點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時針60°得到線段AQ，連接QE并延長交x軸于點(diǎn)F.（1）問∠QFP角度是否發(fā)生變化，若不變，請說明理由；（2）若AO=，OP=x，請表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）【解答】（1）不變（2）
【旋轉(zhuǎn)90°】構(gòu)造全等例題4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且．連結(jié)，并以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心把逆時針轉(zhuǎn)后得線段．若點(diǎn)、恰好都在同一反比例函數(shù)的圖象上，則的值等于多少？【解答】解：過作軸，過作，，，，，在和中，，，，，，，則；與都在反比例圖象上，得到，整理得：，即，△，，點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，，，則．故答案為．【旋轉(zhuǎn)180°】由中心對稱得平行四邊形例題5．如圖所示，拋物線與軸于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線，它的頂點(diǎn)為，與軸的另一個交點(diǎn)為．（1）四邊形是什么特殊四邊形，請寫出結(jié)果并說明理由；（2）若四邊形為矩形，請求出，應(yīng)滿足的關(guān)系式．【解答】解：（1）當(dāng)，時，拋物線的解析式為：．令，得：．．令，得：．，，與關(guān)于點(diǎn)中心對稱，拋物線的解析式為：；四邊形是平行四邊形．理由：連接，，，與、與都關(guān)于點(diǎn)中心對稱，，，四邊形是平行四邊形．（2）令，得：．．令，得：，，，．要使平行四邊形是矩形，必須滿足，，，．，應(yīng)滿足關(guān)系式．
例題6．如圖1，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，將繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得（點(diǎn)，，分別與點(diǎn)，，對應(yīng)），使點(diǎn)，在拋物線上，求點(diǎn)，的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線過、，，．解得，，拋物線解析式．（2）如圖2，由題意知，繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得，設(shè)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，聯(lián)結(jié)，，，，，，四邊形為平行四邊形，且．、，設(shè)，則、在拋物線上，，，解得，．，．【旋轉(zhuǎn)過后落點(diǎn)問題】例題7．如圖，中，已知，，點(diǎn)在邊上，，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)度后，如果點(diǎn)恰好落在初始的邊上，那么　　．【解答】解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，如圖1，繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)度得到△，，，，，即；當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，如圖2，繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)度得到△，，，，，，，，，即，綜上所述，的值為或．故答案為或．例題8．如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，，若將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到△，且落在的延長線上，連接交的延長線于點(diǎn)，則　　．【解答】解：過作于點(diǎn)，，，在中，，，在中：，，，，△是由旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，在和中，，，，又（對頂角相等），，．故答案為：14．例題9．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為，拋物線與軸交于點(diǎn)，直線交軸于，且與這兩個三角形的面積之比為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)與重合，此時點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好也在軸上，求拋物線的解析式．【解答】解：（1）如圖1，拋物線對稱軸，當(dāng)時，，過點(diǎn)作軸于，易知，，，，，，，；（2），，，，如圖2，作于，于，則四邊形是矩形，，，，由旋轉(zhuǎn)知，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，
【旋轉(zhuǎn)+“恰好”問題】例題10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)、，點(diǎn)、分別在軸、軸上，且，，將繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)動一周，當(dāng)與直線平行時點(diǎn)的坐標(biāo)　     ．【另外再可思考，當(dāng)“AB所在直線與MN垂直時點(diǎn)A的坐標(biāo)”】【解答】解：①，，，，，直線的解析式為，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；②圖②中的點(diǎn)與圖①中的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，故答案為：，、，．例題11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把順時針旋轉(zhuǎn)，得．記旋轉(zhuǎn)角為．為．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)恰好落在邊上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足軸時，求與之間的數(shù)量關(guān)系：（Ⅲ）當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足時，求直線的解析式（直接寫出結(jié)果即可）．【解答】解：（1）點(diǎn)，，得，，在中，由勾股定理，得，根據(jù)題意，有．如圖①，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．有，得，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（2）如圖②，由已知，得，，，在中，，軸，得，，；（3）若順時針旋轉(zhuǎn)，如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，，，設(shè)，，則，在中，，，，，，直線的解析式為：，直線與直線垂直，且過點(diǎn)，設(shè)，把，代入得，，解得，互相垂直的兩條直線的斜率的積等于，直線的解析式為．同理可得直線的另一個解析式為．
【鞏固練習(xí)】1．如圖，在等邊中，是邊上一點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．若，，則的周長是　　． 2.如圖一段拋物線：，記為，它與軸交于點(diǎn)和；將繞旋轉(zhuǎn)得到，交軸于；將繞旋轉(zhuǎn)得到，交軸于，如此進(jìn)行下去，直至得到，若點(diǎn)在第10段拋物線上，則的值為       .3．如圖，中，，，，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得△，當(dāng)落在邊上時，連接，取的中點(diǎn)，連接，則的長度是　　． 4．如圖，中，，，，繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到△處，此時線段與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，求線段的值       ．5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將直線繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到．求的函數(shù)表達(dá)式． 6．如圖，四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)恰好落在軸的正半軸上，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為　　．  7. 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)，，將四邊形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形，此時直線、直線分別與直線相交于點(diǎn)、．在四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，若使？則點(diǎn)的坐標(biāo)為             ．8．如圖，在中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，將旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在上，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為　　．9．已知正方形的邊長為5，在邊上運(yùn)動，的中點(diǎn)，繞順時針旋轉(zhuǎn)得，問　　時，、、在一條直線上． 10．如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段上，且，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到△．（1）若點(diǎn)恰好落在軸上，試求的值；（2）當(dāng)時，若△被軸分得兩部分圖形的面積比為，求該一次函數(shù)的解析式．    11．在中，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到△．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時．①求證：；②求△的面積；（2）如圖②，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，在繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是，求線段長度的最大值與最小值的差．
12．如圖（1），在中，，，，動點(diǎn)在線段上以的速度從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，將繞的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到△，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為．（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時，求的值；（2）在動點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)過程中，當(dāng)為何值時，△是以為腰的等腰三角形；（3）如圖（2），另有一動點(diǎn)與點(diǎn)同時出發(fā)，在線段上以的速度從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，將繞的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到△，連結(jié)，當(dāng)直線與的一邊垂直時，求線段的長．
13．如圖，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且，求該拋物線的解析式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)在拋物線上，且銳角，滿足，求的取值范圍．
14．如圖1，拋物線經(jīng)過的三個頂點(diǎn)，已知軸，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，將沿軸對折得到，再將繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得△，，分別與點(diǎn)，，對應(yīng)）使點(diǎn)、在拋物線上，求點(diǎn)、的坐標(biāo)；
15．點(diǎn)為圖①中拋物線為常數(shù)，上任一點(diǎn)，將拋物線繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的新圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），點(diǎn)為點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖②，若原拋物線恰好也經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，是否存在這樣的點(diǎn)使得是以為底的等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2019/9/11 22:57:03；用戶：臨城
參考答案1.【解答】解：是等邊三角形，，由逆時針旋旋轉(zhuǎn)得出，，，，，，，是等邊三角形，，的周長．故答案為：19．   2.【解答】解：令，則，解得，，，由圖可知，拋物線在軸下方，相當(dāng)于拋物線向右平移個單位，再沿軸翻折得到，拋物線的解析式為，在第10段拋物線上，．   3.【解答】解：，，，，，，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，，故答案為：．   4.【解答】解：，，，，繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到△處，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，過點(diǎn)作于，，解得，在中，，，，（等腰三角形三線合一），．     5.【解答】解：直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，、，如圖2，過點(diǎn)做交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，在和中，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)的解析式為，將，點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，的函數(shù)表達(dá)式為；    6.【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由題意可得：，，，則，故，，，，，．故答案為：．  7.【解答】解：存在這樣的點(diǎn)和點(diǎn)，使．理由如下：過點(diǎn)畫于，連接，則，，，．設(shè)，，，如圖4，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時，，在中，，解得，，（不符實(shí)際，舍去）．，，，如圖5，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時，，．在中，，解得，，，，綜上可知，存在點(diǎn)，，，使．    8.【解答】解：如圖，與的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，連接，過作軸于．點(diǎn)在上，點(diǎn)到、的距離相等，都是，即，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，由勾股定理得，，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為，．故答案為：，．     9.【解答】解：過作，交延長線于點(diǎn)，連接，，，，，，的中點(diǎn)，繞順時針旋轉(zhuǎn)得，，，，．，當(dāng)時，、、在一條直線上．則是等腰直角三角形，，，．時，、、在一條直線上．故答案為：．    10.【解答】解：（1）由題意，得，，如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，易知：，，，，，，；（2）由（1）得，當(dāng)時，點(diǎn)在軸右側(cè)；當(dāng)時，點(diǎn)在軸左側(cè)．①當(dāng)時，設(shè)與軸交于點(diǎn)，連接，由△被軸分得兩部分圖形的面積比為，△△，，，，；②當(dāng)時，同理可得：；綜上所述，或．  11.【解答】解：（1）①證明：，，，，（旋轉(zhuǎn)角相等），，；②過作于，過作于，如圖①：，，，，，，，，，，，，，△的面積為：；（2）如圖2，過作于，以為圓心為半徑畫圓交于，有最小值，此時在中，，，的最小值為；如圖，以為圓心為半徑畫圓交的延長線于，有最大值；此時，線段的最大值與最小值的差為．    12.【解答】解：（1）如圖1，在中，，，，，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時，由題意得，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，，△，，即，解得：，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時，；（2）當(dāng)時，，解得：．，；當(dāng)時，．（3）Ⅰ、當(dāng)時，如圖6，，，，，；Ⅱ、當(dāng)時，如圖7，，，，，；Ⅲ、當(dāng)時，如圖8，由（1）有，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．   13.【解答】解：（1）過點(diǎn)作軸，垂足為．，．又，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．在和中，．，．．把點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得：，．拋物線的解析式為．（2）如圖2所示：點(diǎn)，，為線段的中點(diǎn)，，．、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，軸．．當(dāng)時，恰好．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)點(diǎn)在軸上且時，則，即，解得：或（舍去）．當(dāng)點(diǎn)位于軸的下方，點(diǎn)處時，且時，則，即，解得：或（舍去）．為銳角，．由圖形可知：當(dāng)點(diǎn)在拋物線上與之間移動時，．的取值范圍是：且．    14.【解答】解：（1），設(shè)，當(dāng)時，，即，，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、解得：拋物線解析式為：（2）如圖1，旋轉(zhuǎn)后得到△的位置如圖所示，，軸，軸設(shè)坐標(biāo)為，則解得：坐標(biāo)為，坐標(biāo)為．    15.【解答】解：（1）對于，當(dāng)時，，，點(diǎn)為點(diǎn)繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，，，把，代入中，得，，該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為；；（2）存在，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，如圖2中，由題意可知，，，點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，，直線解析式為，線段的中垂線解析式為，由解得或，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)坐標(biāo)，．

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