?第10講 最值問題之將軍飲馬問題
最值問題是老師們最愛考的熱門題型之一，綜合性較強(qiáng)，需要一定的基本功，一般考察時(shí)一般放在壓軸位置。
模型講解
【基本模型】

問題：在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB的值最小
解析：連接AB，與直線l交點(diǎn)即為點(diǎn)P(兩點(diǎn)之間線段最短)
【拓展模型1】
問題：在直線/上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB的值最小

解析：點(diǎn)A作關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接BA'，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PB的最小值即為線段BA′的長(zhǎng)度．

【練習(xí)】
1、尺規(guī)作圖：在直線MN上找一點(diǎn)P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作圖痕跡)


【模型拓展2】
1、如圖，已知點(diǎn)P為定點(diǎn)，定長(zhǎng)線段AB在直線MN上運(yùn)動(dòng)，在什么位置時(shí)，PA＝PB最??？

思維轉(zhuǎn)化：將線段AB移動(dòng)，點(diǎn)P不動(dòng)，理解為線段AB不動(dòng)，點(diǎn)P在直線CD上移動(dòng)，將模型轉(zhuǎn)化為
最基本模型

【模型拓展3】
問題：∠MON內(nèi)一定點(diǎn)A，點(diǎn)P、Q分別為OM、ON上的動(dòng)點(diǎn)，求△APQ周長(zhǎng)的最小值．

解析：點(diǎn)A作關(guān)于ON 和OM的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，，連接A1A2，與ON、OM交點(diǎn)即為Q、P，線段A1A2的長(zhǎng)度即為△APQ周長(zhǎng)的最小值．

基本結(jié)論：

①△A1OA2必為等腰三角形，且腰長(zhǎng)等于線段OA的長(zhǎng)．
②∠A1OA2＝2∠MON．

四邊形ABPQ周長(zhǎng)最小的模型，最小值即為線段AB＋A'B'的長(zhǎng)度和．

【模型拓展4】
問題：求AB＋BC＋CD的最小值問題

解析：作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A'，點(diǎn)D關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接A'D′，最小值即為線段A'D'的長(zhǎng)度．
(作點(diǎn)A和點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)的過程中，也可以直接將OM、ON整個(gè)對(duì)稱過去，使得圖形更加完整)

【模型拓展5】
MN垂直兩平行線，求AM＋MN＋NB的最小值模型．

其中MN為定值，故只需求AM＋NB的最小值，將點(diǎn)A向下平移MN的長(zhǎng)度得到A′，連接A′B，線段A′B的長(zhǎng)度即為AM＋NB的最小值
直線l上有一長(zhǎng)度不變線段MN移動(dòng)，求AM＋MN＋NB最小值的模型．

將A點(diǎn)向右平移MN的長(zhǎng)度，以此轉(zhuǎn)化為基本模型，最小值即為MN＋A2B

【例題講解】
例題1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，0)，點(diǎn)P為斜邊OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為　　　　?。?br /> 　
　
解：作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，
則此時(shí)PA＋PC的值最小，
∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，)，∴AB＝，OA＝3，
∵tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2，
由三角形面積公式得：×OA×AB＝×OB×AM，∴AM＝，∴AD＝2×＝3，
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，
∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝AD＝，由勾股定理得：DN＝，
∵C(，0)，∴CN＝3﹣﹣＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝，
即PA＋PC的最小值是．

【思考】
若把題中條件點(diǎn)“C的坐標(biāo)為(，0)”改為“點(diǎn)C為OA邊上一動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，那么此時(shí)PA＋PC最小值又是多少呢？
解答：∵PA＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN＝，∴PA＋PC的最小值為．

例題2、某長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、5，
(1)如圖1，點(diǎn)A、B分別為該長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，已知螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體側(cè)面爬到點(diǎn)B，則最短路線長(zhǎng)是多少？
(2)如圖2，點(diǎn)A、C分別為該長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)C，那么所用細(xì)線最短長(zhǎng)度是　　　?。?br /> (3)如圖2，點(diǎn)A、C分別為該長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞三圈到達(dá)點(diǎn)C，那么所用細(xì)線最短長(zhǎng)度是　　　?。?br /> (4)如圖3，已知圓柱高4米，底面周長(zhǎng)1米．如果用花圈從上往下均勻纏繞圓柱3圈(如圖)，那么螺旋形花圈的長(zhǎng)至少　　　　米．

答案：
(1)
(2)
(3)
(4)

例題3、如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N．
(1)當(dāng)△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN＋∠ANM＝　　　??；
(2)求△AMN的周長(zhǎng)最小值．


解：作A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交ED于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．
⑴作EA延長(zhǎng)線的垂線，垂足為H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，
∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，
也就是說∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.
⑵過點(diǎn)A′作EA延長(zhǎng)線的垂線，垂足為H，
∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，
則Rt△A′HA中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，
∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝AA′＝1，∴A′H＝，A″H＝1＋4＝5，
∴A′A″＝2，

例題4、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上且CE＝1，長(zhǎng)為的線段MN在AC上運(yùn)動(dòng)．
(1)求四邊形BMNE周長(zhǎng)最小值；
(2)當(dāng)四邊形BMNE的周長(zhǎng)最小時(shí)，則tan∠MBC的值為　　　?。?br /> 　　

解：作EF∥AC且EF＝，連結(jié)DF交AC于M，在AC上截取MN＝，延長(zhǎng)DF交BC于P，
作FQ⊥BC于Q，作出點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，則CE′＝CE＝1，將MN平移至E′F′處，
則四邊形MNE′F′為平行四邊形，
當(dāng)BM＋EN＝BM＋FM＝BF′時(shí)，四邊形BMNE的周長(zhǎng)最小，
由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，
∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，
∴＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，
由對(duì)稱性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝．

例題5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(一2，0)，點(diǎn)B(0，4)，點(diǎn)E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△AE′O′，連接A'B、BE'．當(dāng)AB＋BE'取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E'的坐標(biāo)．

【提示】

將△AEO向右平移轉(zhuǎn)化為△AEO不動(dòng)，點(diǎn)B向左平移，則點(diǎn)B移動(dòng)的軌跡為一平行于x軸的直線，所以作點(diǎn)E關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)E1，連接AE1，與該直線交點(diǎn)F即為最小時(shí)點(diǎn)B的位置，求出BF長(zhǎng)度即可求出點(diǎn)E向右平移的距離．

例題6、如圖，已知正比例函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖像與x軸相交所成的銳角為70°，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，4)，P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM＋MP＋PN的最小值為　　　?。?br />

解：如圖所示，直線OC、y軸關(guān)于直線y＝kx對(duì)稱，直線OD、直線y＝kx關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于直線y＝kx的對(duì)稱點(diǎn)．
作A′E⊥OD垂足為E，交y軸于點(diǎn)P，交直線y＝kx于M，作PN⊥直線y＝kx垂足為N，
∵PN＝PE，AM＝A′M，∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E最小(垂線段最短)，
在RT△A′EO中，∵∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°，
∴OE＝OA′＝2，A′E＝＝2．
∴AM＋MP＋PN的最小值為2．

【鞏固練習(xí)】
1、如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD＋PE的和最小，則這個(gè)最小值為　　　?。?br /> 　　

2、在菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝6，BD＝8，點(diǎn)E、F、P分別是邊AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，PE＋PF的最小值是　　　?。?br /> 　　　

3、如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE＋DE的最小值為　　　?。?br /> 　

4、如圖，鈍角三角形ABC的面積為9，最長(zhǎng)邊AB＝6，BD平分∠ABC，點(diǎn)M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM＋MN的最小值為　　　?。?br /> 　

5、如圖，在△ABC中，AM平分∠BAC，點(diǎn)D、E分別為AM、AB上的動(dòng)點(diǎn)，
(1)若AC＝4，S△ABC＝6，則BD＋DE的最小值為　　　　
(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，則BD＋DE的最小值為　　　?。?br /> (3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，則BD＋DE的最小值為　　　?。?br />

6、如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4，點(diǎn)P、Q、K分別為線段AB、BC、AC上任意一點(diǎn)，則PK＋QK的最小值為　　　?。?br />


7、如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM＋PN的最小值為　　　?。?br />
　　

8、如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是　　　?。?br /> 　　　


9、如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為　　　　cm．
　　

10、如圖，菱形OABC中，點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，)，動(dòng)點(diǎn)D、E分別在射線OC、OB上，則CE＋DE＋DB的最小值是　　　?。?br /> 　　　　

11、如圖，點(diǎn)A(a，1)、B(－1，b)都在雙曲線y＝－(x＜0)上，點(diǎn)P、Q分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，PQ所在直線的解析式是　　　?。?br /> 　　

12、如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是　　　?。?br /> 　　


13、如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是　　　?。?br /> 　　

14、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，過D作DE⊥BC于點(diǎn)E．
(1)點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段BC上找一點(diǎn)P，使得AP＋PD最小，在下圖中畫出點(diǎn)P；
(2)在(1)的條件下，連接CD交AP于點(diǎn)Q，求AQ與PQ的數(shù)量關(guān)系；


15、在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G為邊AD的中點(diǎn)．
(1)如圖1，若E為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CGE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求AE的長(zhǎng)．
(2)如圖2，若E、F為邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝4，當(dāng)四邊形CGEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求AF的長(zhǎng)．



16、圖1，圖2為同一長(zhǎng)方體房間的示意圖，圖2為該長(zhǎng)方體的表面展開圖．
(1)蜘蛛在頂點(diǎn)A′處，
①蒼蠅在頂點(diǎn)B處時(shí)，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線；
②蒼蠅在頂點(diǎn)C處時(shí)，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD爬行的最近路線A'GC和往墻面BB'C'C爬行的最近路線A'HC，試通過計(jì)算判斷哪條路線更近？
(2)在圖3中，半徑為10dm的OM與D'C'相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，蜘蛛P在線段AB上，蒼蠅Q在OM的圓周上，線段PQ為蜘蛛爬行路線．若PQ與OM相切，試求PQ的長(zhǎng)度的范圍．










17.如圖，拋物線交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A為x軸上的一點(diǎn)，OA=2，過點(diǎn)A作直線MNAB交拋物線與M、N兩點(diǎn).
（1）求直線AB的解析式；
（2）將線段AB沿y軸負(fù)方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段，求取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t的值.


參考答案
1.　

解：連接BD，
∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面積為12，∴AB＝2，
又∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝2，故所求最小值為2．


2.

解：∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，
作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，連接PE，則E′F即為PE＋PF的最小值，
∵×AC×BD＝AD×E′F，∴E′F＝，∴PE＋PF的最小值為.

3.
　
解：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接BB′、B′D，交AC于E，此時(shí)BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，
∵B、B′關(guān)于AC的對(duì)稱，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四邊形ABCB′是平行四邊形，
∵三角形ABC是邊長(zhǎng)為2，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，
作B′G⊥BC的延長(zhǎng)線于G，∴B′G＝AD＝，
在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D＝．
故BE＋ED的最小值為．


4.

解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于點(diǎn)E，MN⊥BC于N，∴MN＝ME，
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN是最小值．
∵三角形ABC的面積為9，AB＝6，∴×6×CE＝9，∴CE＝3．
即CM＋MN的最小值為3．


5.

提示：作點(diǎn)E關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E′，BH⊥AC于H，易知BD＋DE的最小值即為BH的長(zhǎng).
答案：(1)3；(2)4；(3)8．


6.

解：如圖，過A作AH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于H，
∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4，∴AH＝2，
∴cos∠HAB＝＝＝，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，
∵∠BAC＝∠C＝30°，
作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)P′，過P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，
則P′Q 的長(zhǎng)度＝PK＋QK的最小值，
∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，
∴四邊形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝2，
即PK＋QK的最小值為2．


7.

解：作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接OM、ON、ON′、MN′，
則MN′與AB的交點(diǎn)即為PM＋PN的最小時(shí)的點(diǎn)，PM＋PN的最小值＝MN′，
∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，
∵N是弧MB的中點(diǎn)，∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°，
由對(duì)稱性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，
∴△MON′是等邊三角形，∴MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4，
∴PM＋PN的最小值為4，


8.

解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過M′點(diǎn)作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′＋M′N′為所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分線，∴M′H＝M′N′，∴BH是點(diǎn)B到直線AC的最短距離，
∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB×sin45°＝4×＝2．
∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2．
9.　
解：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH，
過C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交EH于P，連接AP，
則AP＋PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案為：15．

10.

解：連接AC，作B關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，交OC于D，交OB于E，此時(shí)CE＋DE＋BD的值最小，
∵四邊形OCBA是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A和C關(guān)于OB對(duì)稱，
∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，
∵B和E′關(guān)于OC對(duì)稱，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，
過C作CN⊥OA于N，∵C(1，)，∴ON＝1，CN＝，
由勾股定理得：OC＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，
∵四邊形COAB是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，
∵B和E′關(guān)于OC對(duì)稱，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝BC＝1，由勾股定理得：BF＝＝E′F，
在Rt△EBA中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB的最小值是4．

11.

解：把點(diǎn)A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，則A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，
作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，所以C點(diǎn)為(﹣3，﹣1)，D點(diǎn)為(1，3)，
連結(jié)CD分別交x軸、y軸于P點(diǎn)、Q點(diǎn)，此時(shí)四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b，則，解得，
所以直線CD的解析式為y＝x＋2．

12.

解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，
連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；


13.
　
解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，
連接M′N′，即為MP＋PQ＋QN的最小值．
根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′＝90°，
∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝．故答案為．


14.

解：(1)作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連DA′交BC于點(diǎn)P.
(2)由(1)可證得PA垂直平分CD，∴AQ＝CQ＝3PQ


15.

解：(1)∵E為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，連接CM交AB于E，那么E滿足使△CGE的周長(zhǎng)最??；
∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G為邊AD的中點(diǎn)，∴AG＝AM＝4，MD＝12，
而AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝＝2；
(2)∵E為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，在CD上截取CH＝4，然后連接HM交AB于E，接著在EB上截取EF＝4，那么E、F兩點(diǎn)即可滿足使四邊形CGEF的周長(zhǎng)最?。?br /> ∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G為邊AD的中點(diǎn)，
∴AG＝AM＝4，MD＝12，而CH＝4，∴DH＝2，
而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝，
∴AF＝4＋＝．


16.解：(1)①根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知：線段A′B為最近路線，如圖1所示．

②Ⅰ．將長(zhǎng)方體展開，使得長(zhǎng)方形ABB′A′和長(zhǎng)方形ABCD在同一平面內(nèi)，如圖2①．

在Rt△A′B′C中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60，∴AC＝＝20．
Ⅱ．將長(zhǎng)方體展開，使得長(zhǎng)方形ABB′A′和長(zhǎng)方形BCC′B′在同一平面內(nèi)，如圖2②．

在Rt△A′C′C中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30，∴A′C＝＝10．
∵＜，∴往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC更近；
(2)過點(diǎn)M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．

∵半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，BC′＝60dm，
∴MH＝60﹣10＝50，HB＝15，AH＝40﹣15＝25，
根據(jù)勾股定理可得AM＝＝，MB＝＝，∴50≤MP≤．
∵⊙M與PQ相切于點(diǎn)Q，∴MQ⊥PQ，∠MQP＝90°，∴PQ＝．
當(dāng)MP＝50時(shí)，PQ＝＝20；
當(dāng)MP＝時(shí)，PQ＝＝55．
∴PQ長(zhǎng)度的范圍是20dm≤PQ≤55dm．

17.解：（1）依題意，易得B（0，4），A（2，0），則AB解析式：
（2） ∵AB⊥MN
∴直線MN：
與拋物線聯(lián)立可得：
解得：M（-2，-2）
將AB向負(fù)方向平移t個(gè)單位后，A1（2，-t），B1（0，4-t）
則A1關(guān)于直線x=-2的對(duì)稱點(diǎn)A2為（-6，-t）
當(dāng)A2、M、B1三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值
∴








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