中考培優(yōu)競(jìng)賽專(zhuān)題經(jīng)典講義第7講雙直角三角形模型-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第7講雙直角三角形模型雙直角三角形模型是在解三角形中最常見(jiàn)的模型，模型的特點(diǎn)為：有一條直角邊為公共邊，另外一條直角邊共線。但在不同的背景下會(huì)有不同的變化，需要從中看出模型的本質(zhì)．模型講解一般類(lèi)型：將兩個(gè)直角三角形組合，一條直角邊為公共邊，其中∠a和∠β的三角函數(shù)值為已知．【例題講解】例題1、如圖，在一筆直的海岸線l上有AB兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向，AB＝2(單位：km)．有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測(cè)得小船在北偏西60°的方向，從B測(cè)得小船在北偏東45°的方向．(1)求點(diǎn)P到海岸線l的距離；(2)小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處，此時(shí)，從B測(cè)得小船在北偏西15°的方向．求點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離．(上述兩小題的結(jié)果都保留根號(hào))．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．設(shè)PD＝xkm．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm．在RtA△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝PD＝xkm．∵BD＋AD＝AB，∴x＋x＝2，x＝－1，∴點(diǎn)P到海岸線l的距離為(－1)km；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F．在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝lkm．在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°．在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝BF＝km，∴點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離為km．例題2、如圖，在一條筆直的東西向海岸線l上有一長(zhǎng)為1.5km的碼頭MN和燈塔C，燈塔C距碼頭的東端N有20km．一輪船以36km/h的速度航行，上午10：00在A處測(cè)得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向，上午10：40在B處測(cè)得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向，且與燈塔C相距12km．(1)若輪船照此速度與航向航行，何時(shí)到達(dá)海岸線？(2)若輪船不改變航向，該輪船能否停靠在碼頭？請(qǐng)說(shuō)明理由．(參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7)解：(1)延長(zhǎng)AB交海岸線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥海岸線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥l于F，如圖所示．∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°，∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°，∵BC＝12，AB＝36×＝24，∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，∴∠BDC＝∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝12，∴時(shí)間t＝＝小時(shí)＝20分鐘，∴輪船照此速度與航向航行，上午11：00到達(dá)海岸線．(2)∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝EC，在RT△BEC中，BC＝12，∠BCE＝30°，∴BE＝6，EC＝6≈10.2，∴CD＝20.4，∵20＜20.4＜21.5，∴輪船不改變航向，輪船可以?？吭诖a頭．【鞏固練習(xí)】1、如圖，從熱氣球C上測(cè)定建筑物A、B底部的俯角分別為30°和60°，如果這時(shí)氣球的高度CD為150米，且點(diǎn)A、D、B在同一直線上，建筑物A、B間的距離為　　　　． 2、如圖，在高樓前D點(diǎn)測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?0°，向高樓前進(jìn)60米到C點(diǎn)，又測(cè)得仰角為45°，則該高樓的高度大約為　　　　．(保留整數(shù)) 3、如圖是一山谷的橫斷面示意圖，寬AA′為15m，用曲尺(兩直尺相交成直角)從山谷兩側(cè)測(cè)量出OA＝1m，OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m(點(diǎn)A，O，O′,A′在同一條水平線上)，則該山谷的深h為　　　　m． 4、如圖所示，一條自西向東的觀光大道l上有A、B兩個(gè)景點(diǎn)，A、B相距2km，在A處測(cè)得另一景點(diǎn)C位于點(diǎn)A的北偏東60°方向，在B處測(cè)得景點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的北偏東45°方向，求景點(diǎn)C到觀光大道l的距離．(結(jié)果精確到0.1km) 5、如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線y＝－x的最短距離PQ的長(zhǎng)度為　　　　． 6、如圖，在△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)AC平分∠A′CB′時(shí)，BD的長(zhǎng)為　　　　；(2)連接AA′，當(dāng)△AA′C為等邊三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為　　　　． 7、如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．(1)若AD＝2，求AB；(2)若AB＋CD＝2＋2，求AB． 8、如圖所示，山坡上有一棵與水平面垂直的大樹(shù)，一場(chǎng)臺(tái)風(fēng)過(guò)后，大樹(shù)被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹(shù)的頂部恰好接觸到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得樹(shù)干傾斜角∠BAC＝38°，大樹(shù)被折斷部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．(1)求∠CAE的度數(shù)；(2)求這棵大樹(shù)折斷前的高度．(結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.4)　 9、2014年3月8日凌晨，馬來(lái)西亞航空公司吉隆坡飛北京的MH370航班在起飛一個(gè)多小時(shí)后在雷達(dá)上消失，至今沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)蹤跡．飛機(jī)上有239名乘客，其中154名是中國(guó)同胞，中國(guó)政府啟動(dòng)了全面應(yīng)急和搜救機(jī)制，派出多艘中國(guó)艦船在相關(guān)海域進(jìn)行搜救．如圖，某日在南印度洋海域有兩艘自西向東航行的搜救船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻兩船同時(shí)測(cè)得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一疑似物C，求此時(shí)疑似物C與搜救船A、B的距離各是多少？(結(jié)果保留根號(hào))　　 10、如圖，一艘船以每小時(shí)24海里的速度向北偏西75°方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得燈塔P在船的西北方向．航行40分鐘后到達(dá)點(diǎn)B處，這時(shí)燈塔P恰好在船的正北方向．已知距離燈塔9海里以外的海區(qū)為安全航行區(qū)域．問(wèn)：這艘船能否按原方向繼續(xù)向前航行？為什么？ 11、學(xué)習(xí)了勾股定理的逆定理，我們知道：在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形為直角三角形．類(lèi)似地，我們定義：對(duì)于任意的三角形，設(shè)其三個(gè)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若滿足x2＋y2＝z2，則稱(chēng)這個(gè)三角形為勾股三角形．(1)根據(jù)“勾股三角形”的定義，請(qǐng)你直接判斷命題：“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題？(2)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙0，AB＝，AC＝1＋，BC＝2，⊙O的直徑BE交AC于點(diǎn)D，①求證：△ABC是勾股三角形；②求DE的長(zhǎng)．　　
參考答案1.解：∵∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，又∵CD⊥AB，CD⊥EF，∴∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，在Rt△ADC中，tan ∠ACD＝∴4D＝tan 60°?DC＝×90＝90，在Rt△BCD中，tan ∠BCD＝， BD＝tan30°?DC＝×90＝30，∴AB＝AD＋BD＝90＋30＝120．答：建筑物A、B間距離為120米． 2.解：設(shè)樓高AB為x．在Rt△ADB中有：DB＝＝x，在Rt△ACB中有：BC＝＝x．而CD＝BD－BC＝(－1)x＝60，解得x＝82． 3.解：設(shè)A、A′到谷底的水平距離為AC＝m，A′C＝n，∴m＋n＝15，根據(jù)題意知，OB∥CD∥O′B′．∵OA＝1，OB＝3，0′A′＝0.5，O′B′＝3．∴＝＝3，＝＝6，∴(＋)h＝15，解得h＝30(m)． 4.解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D，設(shè)CD＝xkm，在△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝xkm，在△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝xkm，∵AD－BD＝AB，∴x－x＝2，∴X＝＋1＝2.7(k m)．答：景點(diǎn)C到觀光大道的距離約為2.7km． 5.解：可知點(diǎn)P為(4，3),作PH⊥y軸交直線y＝－x于點(diǎn)H，則H(4，－4)，PH＝7,∴最短距離PQ＝＝＝ 6.解：過(guò)D作DH⊥BC于H，(1)可知∠BCD＝45°，設(shè)CH＝DH＝t，則BH＝t，∴BC＝t＋t＝4，解得t＝，∴BD＝t＝.(2)可知∠BCD＝∠A′CA＝60°，設(shè)CH＝DH＝t，則BH＝t，∴BC＝t＋t＝4，解得t＝2(－1)，∴BD＝×2(－1)＝. 7.解：(1)過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝360°﹣45°﹣45°﹣105°＝165°，∴∠BDF＝∠ADC﹣∠ADB＝165°﹣105°＝60°，△ADE與△BCF為等腰直角三角形，∵AD＝2，∴AE＝DE＝＝，∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°﹣(180°﹣45°﹣60°)＝30°，∴BE＝＝＝，∴AB＝＋；(2)設(shè)DE＝x，則AE＝x，BE＝＝＝x，∴BD＝2x，∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝BD＝x，∴BF＝x，∴CF＝x，∵AB＝AE＋BE＝x＋x，CD＝DF＋CF＝x＋x，AB＋CD＝2＋2，∴AB＝＋1 8.解：(1)延長(zhǎng)BA交EF于點(diǎn)G．在Rt△AGE中，∠E＝23°，∴∠GAE＝67°，又∵∠BAC＝38°，∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．(2)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為H．在△ADH中，∠ADC＝60°，AD＝8，cos∠ADC＝，∴DH＝4，sin∠ADC＝，∴AH＝4．在Rt△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴CH＝AH＝4，AC＝4．∴AB＝AC＋CD＝4＋4＋4≈20 (米)．答：這棵大樹(shù)折斷前高約20米． 9.解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D．由題意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°．在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB?sin∠BAD＝20×＝10 (海里)，在Rt△BCD中，BC＝＝＝20 (海里)，DC＝＝＝10 (海里)，∴AD＋CD＝10＋10＝10(＋)(海里)．答：疑似物C與搜救船A的距離是10(＋)海里，與搜救船B的距離是20海里． 10.解：這艘船能按原方向繼續(xù)向前航行．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP于H，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于M．由題意，知AB＝24×＝16(海里)，∠BAP＝75°﹣45°＝30°．∵PB∥AC，∴∠BPH＝∠CAP＝45°．在Rt△ABH中，BH＝AB＝8，AH＝BH＝8．在Rt△PBH中，PH＝BH＝8，∴PA＝PH＋AH＝8＋8，∴PM＝PA?sin∠PAM＝PA＝4＋4＞9，∴能按原方向繼續(xù)向前航行． 11.解：(1)∵對(duì)于任意的三角形，設(shè)其三個(gè)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若滿足x2＋y2＝z2，則稱(chēng)這個(gè)三角形為勾股三角形，∴無(wú)法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命題；(2)由題意可得：，解得：x＋y＝102；(3)①證明：過(guò)B作BH⊥AC于H，設(shè)AH＝x，Rt△ABH中，BH＝，Rt△CBH中，()2＋(1＋﹣x)2＝4，解得：x＝，所以，AH＝BH＝，HC＝1，∴∠A＝∠ABH＝45°，∴tan∠HBC＝＝＝，∴∠HBC＝30°，∴∠BCH＝60°，∠B＝75°，∴452＋602＝752，∴△ABC是勾股三角形；②連接CE，∵∠A＝45°，∴∠BEC＝∠BAC＝45°，又∵BE是直徑，∴∠BCE＝90°，∴BC＝CE＝2，過(guò)D作DK⊥AB于K，設(shè)KD＝h，∵∠EBC＝45°，∠ABC＝75°，∴∠ABE＝30°，∴BK＝h，AK＝h，∴h＋h＝，解得：h＝，∴BD＝2KD＝2h＝3﹣，∴BE﹣BD＝2﹣(3﹣)＝﹣．

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