第8講 最值問題之垂線段最短模型講解如圖，直線l外一點P與直線上的點的所有連線段中，PB線段長度最短． 【例題講解】例題1、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的取值范圍是　　　　．　　　解：連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M為EF中點，∴AM＝EF＝AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，當(dāng)AP⊥BC時，AP值最小，此時S△BAC＝×3×4＝×5×AP，∴AP＝，即AP的范圍是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范圍是AM≥，∵AP＜AC，∴AP＜4，∴AM＜2，∴≤AM＜2．例題2、已知點D與點A(8，0)，B(0，6)，C(a，－a)是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為　　　　．解：有兩種情況：①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB＝CD＝10②CD是平行四邊形的一條對角線，過C作CM⊥AO于M，過D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過B作BN⊥DF于N，則∠BND＝∠DFA═∠CMA＝∠QFA＝90°，∠CAM＋∠FQA＝90°，∠BDN＋∠DBN＝90°，∵四邊形ACBD是平行四邊形，∴BD＝AC，∠C＝∠D，BD∥AC，∴∠BDF＝∠FQA，∴∠DBN＝∠CAM，在△DBN和△CAM中，，∴△DBN≌△CAM(AAS)，∴DN＝CM＝a，BN＝AM＝8﹣a，D(8﹣a，6＋a)，由勾股定理得：CD2＝(8﹣a﹣a)2＋(6＋a＋a)2＝8a2﹣8a＋100＝8(a﹣)2＋98，當(dāng)a＝時，CD有最小值，是，∵＜10，∴CD的最小值是＝7． 例題3、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CA．、CB分別相交于點P、Q，則線段PQ長度的最小值是　　　　　．　　解：如圖，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，∴PQ是⊙F的直徑，設(shè)QP的中點為F，圓F與AB的切點為D，連接FD，連接CF，CD，則FD⊥AB．∴FC＋FD＝PQ，∴CF＋FD＞CD，∵當(dāng)點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，PQ＝CD有最小值∴CD＝BC?AC÷AB＝4.8．     【鞏固練習(xí)】1、已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，點P是AB上(不與A、B重合)，過P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別是E、F，連結(jié)EF，M為EF的中點，則CM的最小值為　　　　． 2、如圖，線段AB的長為10，C為AB上的一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直角△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是　　　　．3、如圖，已知平行四邊形OABC的頂點A、C分別在直線x＝1和x＝4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為　　　　．　  4、在平面直角坐標系中，己知平行四邊形ABCD的點A(0，－2)、點B(3m，4m＋1)(m≠－1)，點C(6，2)，則對角線BD的最小值是　　　　．   5、如圖，等邊△ABC的邊長是2cm，將邊AC沿射線BC的方向平移2cm，得到線段DE，連接AD、CE．(1)求證：四邊形ACED是菱形；(2)將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CA′與DE交于一點M，CB′與AD交于一點N時，點M、N和點D構(gòu)成△DMN，試探究△DMN的周長是否存在最小值？如果存在，求出該最小值；如果不存在，請說明理由．
參考答案1.解：如圖，連接CP．∵AC＝3，BC＝4，AB＝5∴∠ACB＝90°，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，∴四邊形CFPE是矩形，∴EF＝CP，由垂線段最短可得CP⊥AB時，線段EF的值最小，則CM最小，此時，S△ABC＝BC?AC＝AB?CP，即×4×3＝×5?CP，解得CP＝2.4．∴EF＝2.4，∵M為EF中點，∴CM＝1.2 2.解：設(shè)AC＝x，BC＝10﹣x，∵△ABC，△BCD′均為等腰直角三角形，∴CD＝x，CD′＝(10﹣x)，∵∠ACD＝45°，∠BCD′＝45°，∴∠DCE＝90°，∴DE2＝CD2＋CE2＝x2＋(10﹣x)2＝x2﹣10x＋50＝(x﹣5)2＋25，∴當(dāng)x取5時，DE取最小值，最小值為：5，  3.解：過點B作BD⊥直線x＝4，交直線x＝4于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E，直線x＝1與OC交于點M，與x軸交于點F，直線x＝4與AB交于點N，如圖：∵四邊形OABC是平行四邊形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，∵直線x＝1與直線x＝4均垂直于x軸，∴AM∥CN，∴四邊形ANCM是平行四邊形，∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD．∴BD＝OF＝1，∴OE＝4＋1＝5，∴OB＝．由于OE的長不變，所以當(dāng)BE最小時(即B點在x軸上)，OB取得最小值，最小值為OB＝OE＝5． 4.解：如圖，∵點B(3m，4m＋1)，∴令，∴y＝x＋1，∴B在直線y＝x＋1上，∴當(dāng)BD⊥直線y＝x＋1時，BD最小，∵平行四邊形對角線交于一點，且AC的中點一定在x軸上，∴F是AC的中點，∵A(0，﹣2)，點C(6，2)，∴F(3，0)．設(shè)直線BF的解析式為y＝﹣x＋b，則﹣×3＋b＝0，解得b＝，則直線BF的解析式為y＝﹣x＋，∴4m＋1＝﹣×3m＋，解得m＝，∴B(，)，∴BF＝＝3，∴BD＝2BF＝6，則對角線BD的最小值是6．  5.證明：(1)由平移可得：AD∥CE，AD＝CE，∴四邊形ACED是平行四邊形，又∵AD＝2cm＝AC，∴□ACED是菱形；(2)連接CD，∵∠ACD＝∠B'CA'＝60°即∠ACN＋∠NCD＝∠NCD＋∠DCA'＝60°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM(ASA)，∴AN＝DM，同理，CN＝CM，∵∠NCD＋∠DCM＝60°，∴△CMN是等邊三角形，∴MN＝CN＝CM，則AN＋DN＝AD＝2．∴△DMN的周長即為DN＋DM＋MN＝AD＋CN，當(dāng)CB′⊥AD時，(CN)最小＝，即△DMN的周長的最小值是2＋．      

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