?第1講 空間向量及其運(yùn)算
考點(diǎn)分析
考點(diǎn)一：空間向量的共線問(wèn)題
①定義：空間中有向線段所在的直線互相平行或重合，則稱這些有向線段構(gòu)成的向量共線或者平行．
②空間直線的方向向量：在空間直線l上取一個(gè)非零向量a，則與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．
規(guī)定：零向量與任意向量平行共線，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.
③共線向量基本定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，a∥b的充要條件是存在非零實(shí)數(shù)λ使a＝λb.
考點(diǎn)二：空間向量的共面問(wèn)題
①定義：空間中平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．
②空間中共面向量基本定理：若兩個(gè)非零向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得.
③空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，
考點(diǎn)三：空間中向量數(shù)量積的運(yùn)算
①定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則a，b的數(shù)量積為．
規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積均為0.
②由數(shù)量積得出的幾個(gè)常用結(jié)論：
1.若非零向量垂直，則，即a⊥b?a·b＝0.
2.，同理
3.
題型目錄
題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算
題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用
題型三：空間向量的數(shù)量積
題型四：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角
題型五：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長(zhǎng)度
典型例題
題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算
【例1】（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中正確的是（　?。?br /> A．若，，則與所在直線平行
B．向量、、共面即它們所在直線共面
C．空間任意兩個(gè)向量共面
D．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使
【答案】C
【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)觀念逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，若，，當(dāng)時(shí)與所在直線可以不平行，因此不正確；
對(duì)于B，向量、、共面，則它們所在直線可能共面，也可能不共面，因此不正確；
對(duì)于C，根據(jù)共面向量基本定理可知：空間任意兩個(gè)向量共面，正確；
對(duì)于D，若且，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使，因此不正確．
故選：C．
【例2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）正六棱柱中，設(shè)，，，那么等于（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征并利用向量加減法的幾何意義去求.
【詳解】
正六棱柱中，


故選：B
【例3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡(jiǎn)下列各式的結(jié)果為的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】可先畫(huà)出正方體，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則計(jì)算各式，再進(jìn)行判斷.
【詳解】如圖，

，所以A錯(cuò)誤；
，所以B正確；
，所以C錯(cuò)誤；
，所以D錯(cuò)誤；
故選：B．
【例4】（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（???????）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加法減法的幾何意義并依據(jù)空間向量基本定理去求向量
【詳解】連接AG并延長(zhǎng)交BC于N，連接ON，

由G是的重心，可得，
則
則
故選：D
【題型專(zhuān)練】
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題為真命題的是（???????）
A．若兩個(gè)空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量
B．若，則?的長(zhǎng)度相等且方向相同
C．若向量?滿足，且與同向，則
D．若兩個(gè)非零向量與滿足，則.
【答案】D
【分析】由空間向量的模長(zhǎng)、共線、共面等相關(guān)概念依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】空間中任意兩個(gè)向量必然共面，A錯(cuò)誤；
若，則?的長(zhǎng)度相等但方向不確定，B錯(cuò)誤；
向量不能比較大小，C錯(cuò)誤；
由可得向量與長(zhǎng)度相等，方向相反，故，D正確.
故選：D.
2.（2022·全國(guó)·高一）如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則=（????????????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】連接根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征及空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，用表示，即可知正確選項(xiàng).
【詳解】連接
.
故選：A

3.（2021·山西·長(zhǎng)治市上黨區(qū)第一中學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（???????）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則和空間向量基本定理相關(guān)知識(shí)求解即可.
【詳解】由題意得，.
故選：D
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知為正方體且，，，則______．
【答案】
【詳解】正方體中
，則
故答案為：
5.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）平行六面體中，若，，，那么______．
【答案】
【詳解】平行六面體中
，則
故答案為：
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，E為棱上任意一點(diǎn).只考慮以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)E的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，分別寫(xiě)出：

(1)的相等向量，的負(fù)向量；
(2)用另外兩個(gè)向量的和或差表示；
(3)用三個(gè)或三個(gè)以上向量的和表示（舉兩個(gè)例子）.
【答案】(1)，，；，，，
(2)，，，（答案不唯一）
(3)，（答案不唯一）
【解析】
(1)解：的相等向量有：，，；
的負(fù)向量即相反向量有：，，，.
(2)由向量加減運(yùn)算法則得：，，，（答案不唯一）
(3)由向量加法運(yùn)算法則得：，（答案不唯一）


題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用
【例1】（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（???????）
A．若存在實(shí)數(shù)，，使，則與，共面；
B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使；
C．若存在實(shí)數(shù)，，使則點(diǎn)，，A，共面；
D．若點(diǎn)，，A，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使．
【答案】AC
【分析】由向量共面定理可判斷AC；取，為零向量可判斷B；取，A，三點(diǎn)共線，點(diǎn)P與，A，不共線可判斷D.
【詳解】由向量共面定理可知A正確；
當(dāng)，為零向量可知B錯(cuò)誤；
由向量共面定理可知共面，又因?yàn)楣彩键c(diǎn)，所以點(diǎn)，，A，共面，故C正確；
當(dāng)，A，三點(diǎn)共線，點(diǎn)P與，A，不共線時(shí)可知D錯(cuò)誤.
故選：AC
【例2】（2022·全國(guó)·高二）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（???????）
A．P∈AB B．P?AB
C．點(diǎn)P可能在直線AB上 D．以上都不對(duì)
【答案】A
【詳解】因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，
所以，即，
即，所以與共線．又，有公共起點(diǎn)A，
所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈AB.
故選：A.
【例3】（2022·江蘇常州·高二期中）對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則A，B，C，P四點(diǎn)（???????）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．與點(diǎn)位置有關(guān)
【答案】B
【詳解】由
，
所以A，B，C，P四點(diǎn)共面，故選：B

【例4】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值為_(kāi)_______.
【答案】0
【詳解】因A，B，C三點(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)k使，顯然且，否則點(diǎn)A，B重合或點(diǎn)B，C重合，
則，整理得：，令λ=k-1，m=1，n=-k，顯然實(shí)數(shù)λ，m，n不為0，
因此，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，此時(shí)λ+m+n= k-1+1+(-k)=0，
所以λ+m+n的值為0.
故答案為：0
【題型專(zhuān)練】
1．（2022·遼寧·本溪市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）下列命題中正確的是（???????）
A．若∥，則∥
B．是共線的必要條件
C．三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面
D．若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），則是三點(diǎn)共線的充要條件
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量的共線向量定理、共面向量定理及平行概念，再結(jié)合充要條件即可求解.
【詳解】對(duì)于A,由∥，則一定有∥，故A正確；
對(duì)于B，由反向共線，可得，故B不正確；
對(duì)于C，由三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任一點(diǎn)，若，則
，即，
所以四點(diǎn)共面，故C正確；
對(duì)于D,若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），
當(dāng)，即時(shí)，可得，即，
所以三點(diǎn)共線，反之也成立，即是三點(diǎn)共線的充要條件，
故D正確.
故選：ACD.
2.（2021·河南·范縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）下列命題不正確的是（???????）
A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有
B．“”是“、共線”的充要條件
C．若、共線，則與所在直線平行
D．對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)觀念逐一判斷即可.
【詳解】A項(xiàng)中四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，正確；
B項(xiàng)中、同向時(shí)，應(yīng)有，所以“”是“、共線”的充分不必要條件；
C項(xiàng)中、所在直線可能重合；
D項(xiàng)中需滿足，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面．
故選：BCD
3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)（???????）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無(wú)法判斷是否共面
【答案】B
【詳解】因?yàn)?，則
即
即
由空間向量共面定理可知，共面，則P，A，B，C四點(diǎn)一定共面
故選：B
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（???????）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【詳解】，即
整理得
由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，
可得 ，解之得
故選：B
5.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，，三點(diǎn)不共線，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，則在下列各條件中，能得到點(diǎn)與A，，一定共面的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量共面定理的推論判斷的系數(shù)之和是否等于1，即可得出答案.
【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)椋源藯l件不能保證點(diǎn)與A，，共面；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以此條件能保證點(diǎn)與A，，共面；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以此條件不能保證點(diǎn)與A，，共面；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以此條件不能保證點(diǎn)與A，，共面.
故選：B．
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t＝______．
【答案】
【詳解】P，A，B，C四點(diǎn)共面，且，
，解得.故答案為:
題型三：空間向量的數(shù)量積
【例1】已知單位正方體，求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【答案】(1)0；(2)0；(3)1；(4)1；(5)1；(6).
【解析】
【分析】利用正方體的性質(zhì)、空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的定義即求.
(1)；

(2)
；
(3)；
(4)；
(5)
；
(6)
.
【例2】（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為（???????）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由題意得，故.
故選：D.
【例3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，若E?F分別是AB?AD的中點(diǎn)，則___________，___________，___________，___________.

【答案】???? ???? ???? ???? 0
【詳解】
在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，每個(gè)面都是正三角形.所以.
因?yàn)镋?F分別是AB?AD的中點(diǎn)，所以,
所以的夾角為60°，所以；
所以的夾角為0°，所以；
所以的夾角為120°，所以；
取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG，則.
又,所以面ABG,所以AB，所以的夾角為90°.
所以的夾角為90°，所以.
故答案為：.
【例4】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)與平面的位置關(guān)系是______；當(dāng)最小且最小時(shí)，______．
【答案】???? 平面????
【詳解】
解：由四點(diǎn)共面定理及三點(diǎn)共線定理可知： 平面，直線，
當(dāng)最小且最小時(shí)，則是等邊的中心，是邊中點(diǎn).
所以，,
又因?yàn)槭沁呏悬c(diǎn)，所以
故.
故答案為：平面，

【題型專(zhuān)練】
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）三棱錐中，，，，則______．

【答案】-2
【詳解】
由題意得，故，

,
故答案為：-2
2.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，求：

（1）；（2）；（3）；（4）．

【答案】(1)0
(2)1
(3)1
(4)
【解析】
【分析】
(1) 正方體中可得，從而可得答案.
(2) 正方體中可得，從而可得答案.
(3) 在正方體中可得，且向量的夾角為，根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得答案.
(4) 在正方體中可得,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積的定義可得答案.
(1)
在正方體中，
所以，即
所以
(2)
在正方體中，
所以，即，即的夾角為
所以
(3)
在正方體中，
又向量的夾角為,且
所以
(4)
在正方體中，

3.（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．
【答案】24
【詳解】
由題設(shè)，可得如下四面體示意圖，

則，
又，，
所以.
故答案為：24
4.已知長(zhǎng)方體，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時(shí)，可證AD1⊥B1C可判斷A；當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，可證AC⊥BD1可判斷B；由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可證AB⊥AD1，分別可得數(shù)量積為0，可判斷C；可推在△BCD1中，∠BCD1為直角，可判BC與BD1不可能垂直，可得結(jié)論可判斷D.
【詳解】
選項(xiàng)A，當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時(shí)，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此時(shí)有，故正確；
選項(xiàng)B，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，可得AC⊥BD，，，
平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此時(shí)有，故正確；
選項(xiàng)C，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此時(shí)必有0，故正確；
選項(xiàng)D，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1為直角三角形，∠BCD1為直角，故BC與BD1不可能垂直，即，故錯(cuò)誤.
故選：D.

題型四：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角
【例1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，則異面直線與所成角的余弦值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)，則，根據(jù)空間向量夾角公式即可求解．
【詳解】
設(shè)，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，
，，


異面直線與所成角的余弦值為，
故選：D
【例2】（2022·全國(guó)·高二）在正四面體中，、分別為棱、中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（????????????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
設(shè)，，，設(shè)異面直線與所成角為，設(shè)，
則
，，
由空間向量數(shù)量積的定義可得，
則，
，
，
故，
故選：C.

【題型專(zhuān)練】
1．（2022·湖南·高二期末）如圖所示，平行六面體中，，，若線段，則（???????）


A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【詳解】
∵，∴
，∴，，
故選：C.
2.已知空間四邊形中，，則______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的加法的幾何意義，將化為，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則和向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】
在空間四邊形中, ,
則

,
故答案為：0
3.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，若點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，得A-BCD為正四面體，根據(jù)其幾何性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積公式，即可得答案.
【詳解】
連接AC、BD，由題意得A-BCD為正四面體，底面為等邊三角形，
因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，
所以，且，
所以.
故答案為：
4．（2022·全國(guó)·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
根據(jù)向量與的夾角為鈍角，則·

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

全冊(cè)綜合

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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