?第3講 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
考點分析
考點一：空間直角坐標(biāo)系
從空間某一定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點O叫做坐標(biāo)原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.
注：空間中一般建立右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.
考點二：空間中點的坐標(biāo)
空間一點A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo).
考點三：空間直角坐標(biāo)系中對稱問題
在空間直角坐標(biāo)系中，點，則有
點關(guān)于原點的對稱點是；
點關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點是；
點關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點是；
點關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點是；
點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；
點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；
點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是.
考點四：空間中向量的坐標(biāo)運算及距離公式
①空間中知道兩點求向量：若，則

即:一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。
②空間中知道兩點求距離：若，則

考點五：空間兩點中點坐標(biāo)的運算
空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標(biāo)為.
考點六：向量加減法、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運算
若，則
①; ②;
③; ④
考點七：空間向量的模及兩向量夾角的坐標(biāo)計算公式
若，則
①
②
考點八：空間向量平行和垂直的條件
若，則
①
②
規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直
典型例題
題型一：空間向量的坐標(biāo)表示
【例1】（2022·江蘇·高二）已知，，，若，則點B的坐標(biāo)為（???????）．
A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）
C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）
【例2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點，分別與點關(guān)于軸和軸對稱，則（???????）
A． B． C． D．


【例3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，，是空間直角坐標(biāo)系中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，且，則點的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．


【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．



【例5】（2022·福建三明·高二期末（多選題））已知正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（???????）

A．點的坐標(biāo)為（2，0，2） B．
C．的中點坐標(biāo)為（1，1，1） D．點關(guān)于y軸的對稱點為（－2，2，－2）


【例6】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若四邊形ABCD是平行四邊形，且，，，則頂點D的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．
【題型專練】
1．（2021·北京·人大附中高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，點滿足，則點的坐標(biāo)是（???????）
A． B．
C． D．

2．（2022·全國·高二單元測試）已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．

3.（2022·江蘇常州·高二期中）平行六面體中，，則點的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．

4.（2022·全國·高二課時練習(xí)）在正方體中，若點是側(cè)面的中心，則在基底下的坐標(biāo)為（???????）

A． B． C． D．
5．（2022·河北·武安市第三中學(xué)高二階段練習(xí)（多選題））如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點分別為，以為原點，分別以的方向為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點及向量坐標(biāo)表示正確的是（???????）

A． B．
C． D．


6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，的起點坐標(biāo)是，則的終點坐標(biāo)為______．


7．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知點，，，則點的坐標(biāo)為______．


8．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長為1，則的坐標(biāo)為____，的坐標(biāo)為____，的坐標(biāo)為_______．

題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運算
【例1】（2021·湖南·郴州市第三中學(xué)高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，則向量（???????）
A． B．
C． D．


【例2】（2022·浙江寧波·高一期中）已知向量，，則的坐標(biāo)為（??????????）
A． B． C． D．


【例3】（2022·重慶·高二期末）在四面體中，，則以下選項正確的有（???????）
A． B． C． D．


【例4】（2022·廣東·高二階段練習(xí)）如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是正方形，平面，且，若，則點的空間直角坐標(biāo)為（???????）

A． B．
C． D．

【例5】（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知正六棱柱的底面邊長為1，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．


【題型專練】
1.（2021·廣東·潮州市湘橋區(qū)南春中學(xué)高二階段練習(xí)）若，則=（???????）
A． B． C． D．


2.（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高二階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是面的中心，則的值為（???????）
A．4 B． C．2 D．不確定

3.（2022·江蘇·東?？h教育局教研室高二期中）已知，，則_______.


4．（2022·湖南益陽·高二期末（多選題））已知四面體的所有棱長都是分別是棱的中點，則（???????）
A． B．
C． D．

5．（2022·上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）棱長為1的正方體，在正方體的12條棱上運動，則的取值范圍是___________.

6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知空間三點，，，四邊形是平行四邊形，其中，為對角線，則______．


7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為1，P為上一點，且.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求點P的坐標(biāo).



題型三：空間向量的三點共線與四點共面問題
【例1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若、、三點共線，則（???????）．
A． B． C． D．

【例2】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）向量，，，中，共面的三個向量是（???????）
A． B． C． D．

【例3】（2022·云南省瀘西縣第一中學(xué)高二期中）已知空間向量，若共面，則(???????)
A． B．0 C．1 D．

【例4】（2022·福建龍巖·高二期中）已知空間中三點，，．
(1)若，，三點共線，求的值；
(2)若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．



【例5】（2022·全國·高二課時練習(xí)）證明，，，四點共面，你能給出幾種證明方法？


【題型專練】
1．（2022·河南·平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開學(xué)考試（理））已知空間三點，，，若三點共線，則（???????）．
A． B．1 C． D．2

2.（2022·陜西榆林·高二期末（理））已知，， ，若、、三個向量共面，則實數(shù)
A．3 B．5
C．7 D．9

3.（2022·浙江·效實中學(xué)高二期中）（1）設(shè)，，則______；
（2）若與，，（，，三點不共線）四點共面，且對于空間任一點，都有，則______．

4.（2022·全國·高二單元測試）已知，，．若、、三向量共面，則實數(shù)______．
5．（2022·遼寧·遼河油田第二高級中學(xué)高二期中）已知向量，，．
(1)當(dāng)時，求實數(shù)x的值；
(2)若向量與向量，共面，求實數(shù)x的值．


題型四：空間向量模長坐標(biāo)表示
【例1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）若，，則（???????）
A． B． C．5 D．10


【例2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量，，則在的方向上的數(shù)量投影為（???????）
A． B． C． D．


【例3】（2022·福建龍巖·高二期中）已知向量，，則（???????）
A． B．40 C．6 D．36


【例4】（2022·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高二期末（多選題））在空間直角坐標(biāo)系中，，則（???????）
A． B．
C． D．



【例5】（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（???????）

A． B． C．1 D．



【題型專練】
1．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知點B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（　　）
A． B． C．5 D．5


2．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間三點A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是______.


3．（2022·江蘇常州·高二期中）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，，點N為B1B的中點，則___________.

4．（2022·全國·高二單元測試）若向量，，且，則實數(shù)______．


5．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）已知長方體的四個頂點分別為，，，，求其余各頂點的坐標(biāo)以及對角線的長．


題型五：空間向量平行垂直坐標(biāo)表示
【例1】（2021·全國·高二單元測試）在空間直角坐標(biāo)系中，若三點，，滿足，則實數(shù)a的值為（???????）．
A． B．1 C． D．


【例2】（2022·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高二期中）已知向量，，，且向量與互相垂直，則的值是（???????）
A．1 B． C． D．0


【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若四邊形ABCD是平行四邊形，且，，，則頂點D的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．


【例4】（2021·安徽省潛山第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知向量，，且與互相垂直，則的值是（　?。?br /> A． B． C． D．



【例5】（2022·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)、，向量，，且，，則（??????????）
A． B． C． D．


【例6】（2022·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高二期中（理））空間中，與向量同向共線的單位向量為（???????）
A． B．或
C． D．或


【例7】（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，正方體的棱長為6，點為的中點，點為底面上的動點，滿足的點的軌跡長度為（???????）

A． B． C． D．

【題型專練】
1.（2022·福建·廈門一中高二階段練習(xí)）設(shè)x，,向量，且，則的值為（　?。?br /> A．-1 B．1 C．2 D．3

2．（2022·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）已知空間向量，，，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．且 B．且
C．且 D．以上都不對

3．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知，，，若，則（???????）
A． B． C．11 D．4


4．（2022·全國·高二）已知向量，若，則實數(shù)x的值為（???????）
A．7 B．8 C．9 D．10

5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如果，，三點在同一直線上，那么__________，__________．


6．（2022·山東省鄆城第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知向量 ， 若 ，則實數(shù)________．


7.（2022·湖北·高二期末）已知空間直角坐標(biāo)系中，點，，若，與同向，則向量的坐標(biāo)為______.

8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知四點、、，點M是直線OC上的動點，當(dāng)取得最小值時，求點M的坐標(biāo)．

9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為4，P是的中點，點M在側(cè)面（含邊界）內(nèi)，若.則△BCM面積的最小值為（　　）


A．8 B．4 C． D．

10．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在長方體中，已知AB=2，BC=t，若在線段AB上存在點E，使得，則實數(shù)t的取值范圍是______．


11．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知點，，點P在直線AB上．
(1)若，寫出點P的坐標(biāo)；
(2)若點O是坐標(biāo)原點，且，寫出點P的坐標(biāo)．

題型六：空間向量夾角坐標(biāo)表示
【例1】（2022·四川內(nèi)江·高二期末（理））已知，，則（???????）
A． B． C．0 D．1

【例2】（2022·全國·高二）已知，，且，則向量與的夾角為（???????）
A． B． C． D．

【例3】（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，則在上的投影向量為（???????）
A． B． C． D．


【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，、分別為、的中點，是正方形的中心，則的大小為（???????）
A． B． C． D．


【例5】（2021·安徽省六安中學(xué)高二期中（文））已知，，向量與的夾角，則（???????）
A． B． C． D．


【例6】（2022·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高二期末）如圖，在三棱錐中，平面，，，，以B為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PAB和平面PBC的一個法向量分別為，，則下列結(jié)論中正確的是（???????）

A．點P的坐標(biāo)為 B．
C． D．


【例7】（2022·河北石家莊·一模）《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動點在“塹堵”的側(cè)面上運動，且，則的最大值為（???????）.
A． B． C． D．

【題型專練】
1.（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，與的夾角為，則的值為（???????）
A．1 B． C．或 D．17或

2．（2022·江蘇·馬壩高中高二期中（多選題））若，，與的夾角為120°，則的值為（???????）
A． B．17 C．1 D．


3.（2022·福建寧德·高二期末多選題）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A． B．
C．為鈍角 D．在方向上的投影向量為

4.（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知、、，則______.

5．（2022·全國·高二單元測試）已知空間三點，，，則下列說法正確的是（???????）
A． B． C． D．

6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知、、，與的夾角為 ，則實數(shù)______．




7．（2022·全國·高二單元測試）若空間兩個單位向量、與的夾角都等于，則______．




8．（2022·福建龍巖·高二期中）已知空間中三點，，．
(1)若，，三點共線，求的值；
(2)若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．

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