?專題：函數(shù)的周期性與對稱性
函數(shù)的周期性與對稱性核心知識


重點
函數(shù)的周期性、對稱性概念的理解
難點
函數(shù)的周期性、對稱性概念的理解
考試要求
考試
? 題型 選擇題、填空題、解答題
? 難度 中等、難





核心知識點一：函數(shù)的對稱性
1. 對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對稱軸（或?qū)ΨQ中心）對稱
2. 軸對稱：
關(guān)于軸對稱（當(dāng)時，恰好就是偶函數(shù)）
3. 中心對稱
（1）關(guān)于中心對稱（當(dāng)時，恰好就是奇函數(shù)）
（2）函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱
練習(xí)1：已知的圖象關(guān)于點成中心對稱，寫出該函數(shù)幾何特征的代數(shù)形式。
解：的圖象關(guān)于點成中心對稱的代數(shù)含義：
取和為的兩個值，如和，其對應(yīng)的函數(shù)值的和為
符號語言：

核心知識點二：函數(shù)的周期性
1. 定義：設(shè)的定義域為，若對，存在一個非零常數(shù)，有，則稱函數(shù)是一個周期函數(shù)，稱為的一個周期。
對定義的理解：周期為T的函數(shù)的自變量取差為T或-T的兩個值和時，對應(yīng)的函數(shù)值相等。

引例1：若函數(shù)滿足，怎么理解？
分析：這個等式從左往右看，可以理解為函數(shù)取了兩個自變量、，
當(dāng)自變量增加2個單位時，對應(yīng)的函數(shù)值相等，這兩個自變量的特征也可以理解為差為常數(shù)（這里是2或-2）
根據(jù)周期函數(shù)概念，我們知道的一個正周期為2

引例2：若函數(shù)滿足，則有什么性質(zhì)呢？
分析：（1）等式變形為 ①
∴的自變量增加2個單位后所得到的函數(shù)值的相反數(shù)加2與原函數(shù)值相等
（2）據(jù)此性質(zhì)，我們不難得出， ②
（3）由①②可知，
這個等式的含義是取和這兩個自變量的值的時候，其對應(yīng)的函數(shù)值總相等。因此：的一個正周期為4.

練習(xí)2：已知函數(shù)滿足下列條件，分別理解其含義
（1）
（2）

分析：（1）自變量增加2個單位，函數(shù)值相等，周期為2
（2）自變量增加兩個單位，函數(shù)值相反，再增加2個單位，函數(shù)值相等，故周期為4
2. 函數(shù)周期性的判定：
（1）：可得為周期函數(shù)，其周期
（2）的周期
分析：直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構(gòu)造一個等式：
所以有：，即周期
注：遇到此類問題，如果一個等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個等式，進而通過兩個等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：

1. 對稱性概念的理解：
（1）關(guān)于點對稱：函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱
（2）關(guān)于直線對稱：函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對稱
2. 周期性概念的理解：
對于這個定義的理解一定不要形式化，要從函數(shù)思維邏輯的層面進行分析.要能夠從分析其代數(shù)特征：函數(shù)的自變量分別取和時函數(shù)值相等；其幾何特征是橫坐標(biāo)相差，縱坐標(biāo)相等，因此，在間隔個單位的函數(shù)圖象重復(fù)出。


（答題時間：20分鐘）
1. 若函數(shù)fx的圖象與函數(shù)gx=10x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則f100=（ ）
A. 10 B. -1 C. 2 D. -2
2. 若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（　?。?br /> A. B. C. D.
3. 已知函數(shù)f（x）=log2|2x-a|（a∈R）滿足f（x+1）=f（1-x），則f（0）=（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1





1. 答案：C
解析：fx與gx關(guān)于y=x對稱?fx為gx的反函數(shù)，
∴fx=lgx?f100=lg100=2.
2. 答案：B
解析：為奇函數(shù)，。
當(dāng)時，，
又時，，故選B。
3. 答案：B
解析：由于f（x+1）=f（1-x），所以x=1是f（x）圖象的對稱軸
又y=log2|2x|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱
將y=log2|2x|的圖象向右平移1個單位，可得f（x）的圖象，則a=2
所以f（x）=log2|2x-2|，則有f（0）=log2|-2|=1故選：B




函數(shù)的周期性與對稱性綜合訓(xùn)練

典例一：周期性應(yīng)用
例題1 （1）若函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為
f（x）＝則f＋f＝________。
（2）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）＝2－，且對任意的x都有f（x＋2）＝，則f（2 020）＝________。
（3）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x＋4）＝f（x－2）。若當(dāng)x∈[－3,0]時，f（x）＝6－x，則f（919）＝________
答案：（1）；（2）－2－；（3）6
解析：（1）由于函數(shù)f（x）是周期為4的奇函數(shù)，
所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝。
（2）由f（x＋2）＝，得f（x＋4）＝＝f（x），所以函數(shù)f（x）的周期為4，所以f（2 020）＝f（4）。因為f（2＋2）＝，所以f（4）＝＝－＝－2－。
故f（2 020）＝－2－。
（3）∵f（x＋4）＝f（x－2），∴f（（x＋2）＋4）＝f（（x＋2）－2），即f（x＋6）＝f（x），
∴f（x）是周期為6的周期函數(shù)，∴f（919）＝f（153×6＋1）＝f（1）。
又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（1）＝f（－1）＝6，即f（919）＝6.

總結(jié)提升：
函數(shù)周期的常見結(jié)論：
設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈R，a>0。
（1）若f（x＋a）＝f（x－a），則函數(shù)的周期為2a；
（2）若f（x＋a）＝－f（x），則函數(shù)的周期為2a；
（3）若f（x＋a）＝，則函數(shù)的周期為2a；
（4）若f（x＋a）＝，則函數(shù)的周期為2a；
（5）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則其周期為2a；
（6）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則其周期為4a.

典例二：對稱性應(yīng)用
例題2?。?）已知函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），當(dāng)時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，設(shè)a=f（log412）,b=f（log133）,c=f（log39），則a,b,c的大小關(guān)系是（ ）
A. a

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