2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué) 人教A版2019選擇性必修第一冊(cè) 同步講義第08講對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 Word版含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第8講對(duì)稱(chēng)問(wèn)題考點(diǎn)分析考點(diǎn)一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則易知點(diǎn)為的中點(diǎn)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得的坐標(biāo)為考點(diǎn)二：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則易知直線垂直于直線，且的中點(diǎn)在直線上所以，解出即可求得對(duì)成點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn)三：直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線問(wèn)題法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)方法求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程即可；法二：設(shè)直線為ax+by+c=0，直線上一點(diǎn)為P(u, v)關(guān)于點(diǎn)(p, q)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'坐標(biāo)為(x, y)，則有x=(p+u)/2, y=(q+v)/2,
得u=2x-p, v=2y-q，代入直線方程得：a(2x-p)+b(2y-q)+c=0，即ax+by+(c-ap-bq)/2=0，這就是所求的對(duì)稱(chēng)直線的方程。考點(diǎn)四：直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線問(wèn)題法一：特殊點(diǎn)法：在直線上取兩點(diǎn)，利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)方法求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程即可；法二：在所求直線上設(shè)任意一點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題解出，帶入直線即可題型目錄題型一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題題型二：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題題型三：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題題型四：直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題典型例題題型一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題【例1】（點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（全國(guó)高二單元測(cè)試）若點(diǎn)，關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，那么直線l的方程為________.【答案】【解析】求得，∵點(diǎn)，關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，∴直線l的斜率1，直線l過(guò)AB的中點(diǎn)，∴直線l的方程為，即.故答案為：.【題型專(zhuān)練】1.（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）一條光線從點(diǎn)出發(fā)射向軸，經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】根據(jù)題意：關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為而反射光線直線又過(guò)∴其直線為：即：，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：.題型二：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題【例1】（點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)）（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)M（﹣1，1）關(guān)于直線l：x﹣y﹣1=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N的坐標(biāo)（x，y）則MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：KMN==﹣1，且 ﹣﹣1=0，解得：x=2，y=﹣2，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)（2，﹣2），故答案為（2，﹣2）．【例2】（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）入射光線沿直線射向直線，被反射后的光線所在直線的方程是_____．【答案】【分析】在入射光線上取點(diǎn)，它關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)在反射光線上，再求得入射光線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率后得直線方程．【詳解】在入射光線上取點(diǎn)，則關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在反射光線上，又由得，，所以反射光線所在直線方程為，即．故答案為：．【例3】（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，∠的平分線所在直線方程為，則直線的方程為_____．【答案】【分析】由題意可知，點(diǎn)在角平分線上，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，利用的中點(diǎn)在直線上，可解出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且在直線上，利用兩點(diǎn)式方程可得答案．【詳解】由題意可知，點(diǎn)在角平分線上，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的中點(diǎn)，在直線上，，解得：，故點(diǎn)．設(shè)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則有，，即則由在直線上，可得的方程為，即，即，故答案為：．【題型專(zhuān)練】1.（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)(3,4)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)垂直和中點(diǎn)列方程組可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以點(diǎn)（3，4）關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：2.（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．【答案】【分析】設(shè)所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線與對(duì)稱(chēng)軸垂直，兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線段中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上列方程組，解之可得．【詳解】設(shè)原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得．要求的點(diǎn)()．故答案為：．3．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí) 點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x＋y＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是____________．【答案】(－4，－1)【解析】設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．4.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線和點(diǎn)，．(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最小；(2)在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最大．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）通過(guò)找出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，利用三角形三邊的關(guān)系可知，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo);（2）利用三角形的三邊關(guān)系可知，再求出直線AB的方程，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).（1）設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，故，又∵P為直線l上的一點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值，點(diǎn)P即是直線與直線l的交點(diǎn)．由，解得，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（2）由題意，知A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，P是直線l上的一點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，點(diǎn)P即是直線AB與直線l的交點(diǎn),又∵直線AB的方程為，∴由，解得，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為．5.（浙江高二期末）已知直線過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.【答案】【解析】由，則，令，則，，所以點(diǎn)，設(shè)的坐標(biāo)是，則，解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：；6．（全國(guó)高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線即，故，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為．則解得．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．題型三：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題【例1】（浙江）直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)在直線上，則在所求直線上所求直線的斜率，則所求直線方程為故選：A【例2】（·四川省瀘縣第二中學(xué)高二月考（文））直線與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，若的方程是，則的方程是__________【答案】【解析】在直線上任取一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)一定在直線上，故有，即．故直線的方程為．故答案為：．【例3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且________，若直線m與直線l關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求直線m的方程．試從①與直線垂直，②在y軸上的截距為，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并解答．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，若選①，可設(shè)直線l的方程為，然后將交點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出，可得直線的方程，在直線上任取兩個(gè)點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，從而可求出直線m的方程，若選②，則直線過(guò)點(diǎn)，從而可求出直線的方程，在直線上任取兩個(gè)點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，從而可求出直線m的方程，【詳解】由，得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為．若選①，可設(shè)直線l的方程為，將點(diǎn)代入可得，即．在直線l上取兩點(diǎn)和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線m的方程為．若選②，可得直線l的斜率，所以直線l的方程為．在直線l上取兩點(diǎn)和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線m的方程為，即．【題型專(zhuān)練】1．（2019·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則直線恒過(guò)定點(diǎn)A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，設(shè)直線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，又由點(diǎn)在直線上，代入求得直線的方程，即可求解答案.【詳解】由題意，設(shè)直線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，又由點(diǎn)在直線上，即，整理得，令，即時(shí)，，可得直線過(guò)定點(diǎn)，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，以及直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，其中解答中根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得直線的方程，進(jìn)而判定直線過(guò)定點(diǎn)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線的方程為________．【答案】【分析】方法一：設(shè)對(duì)稱(chēng)直線上一點(diǎn)，則將點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線上，代入即可.方法二：顯然點(diǎn)不在直線上，設(shè)對(duì)稱(chēng)直線方程為，利用點(diǎn)到這兩條直線的距離相等解出即可.方法三：在上任取兩點(diǎn)，解出這兩點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式即可得到直線方程.【詳解】方法一：設(shè)對(duì)稱(chēng)直線上一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以點(diǎn)在直線上，代入得．方法二：易知直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線與直線平行，故設(shè)為．由點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，得，解得（舍去）或－11，即所求直線方程為．方法三：易知點(diǎn)，在直線上，且它們關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為，，則所求直線的方程為，即．故答案為：.3.（·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二月考（文））直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線方程為____________.【答案】【解析】設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線方程為，在上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知點(diǎn)在直線上，故，整理可得.故答案為：4.（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則______.【答案】-10【解析】在直線上取點(diǎn)，，M，N關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)分別為.點(diǎn)在直線上，，解得，.故答案為：題型四：直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題【例1】（全國(guó)高二專(zhuān)題練習(xí)）直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線上一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，整理可得：，，即直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線方程為：.故選：A.【例2】（2021·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)是關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系求得,代入直線的方程整理即得所求.【詳解】解：設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)是關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，解得,由對(duì)稱(chēng)性得在直線上，,即,故選：A.【點(diǎn)睛】根據(jù)“一垂直二中點(diǎn)”列出方程組，求得是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，利用軌跡方程思想方法求直線的方程也是重要的思想之一.【例3】（廣東湛江）已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：（1）點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（2）直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)直線m′的方程；（3）直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)的直線l′的方程．【答案】（1）A′；（2）9x－46y＋102＝0；（3）2x－3y－9＝0.【解析】（1）設(shè)A′(x，y)，則解得即A′.（2）在直線m上取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在m′上．設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′(a，b)，則解得即M′.設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由得N(4，3)．又m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4，3)，∴由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如P(1，1)，N(4，3)，則P，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，N′均在直線l′上．易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.法二：設(shè)Q(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，則Q(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.【題型專(zhuān)練】1.（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高一期末）直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線方程為__________．【答案】【分析】先求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后在任取一點(diǎn)，求得其關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即可求得答案.【詳解】聯(lián)立和直線，求得它們的交點(diǎn)為,在直線取點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，故直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)的直線為AC,其斜率為，直線方程為，即，故答案為：2.（2018·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室高一期末）直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線方程為___________.【答案】【分析】結(jié)合點(diǎn)斜式求得直線方程.【詳解】直線的斜率為，直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線的斜率為，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線方程為.故答案為：3．（全國(guó)高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)和，在軸上求一點(diǎn)，使得最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】找出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，與軸的交于點(diǎn)，連接，此時(shí)為最短，由與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，所以，又，則直線的方程為化簡(jiǎn)得：，令，解得，所以故選：D．

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