三角形中位線定理有理數
平行四邊形的性質及判定定理的綜合應用
平行四邊形的邊、角、對角線及其關系進行梳理與總結
運用平行四邊形的性質定理、判定定理以及三角形的中位線定理構造新的平行四邊形
發(fā)展直觀想象、邏輯推理能力
運用平行四邊形的性質、判定定理構造新的平行四邊形
梳理平行四邊形的知識框架
任務如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，請借助這個平行四邊形的“邊”、“角”或“對角線”，構造新的平行四邊形.
1.借助平行四邊形的“邊”
如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，E，F分別在AD，BC上，DE=CF，四邊形ABFE是平行四邊形嗎？
猜想：四邊形ABFE是平行四邊形.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC.又AE=AD-DE，BF=BC-CF，DE=CF，∴AE=BF.又AE∥BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形.
延伸 如果E，F 分別是AD，BC上的動點，DE=CF，四邊形ABFE是平行四邊形嗎？
證明： ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC.又 AE=AD-DE，BF=BC-CF，∵DE=CF，∴ AE=BF.又AE∥BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形.
延伸 如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，如果E，F 分別是AD，BC上的動點，AE=CF，四邊形EBFD是平行四邊形嗎？
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC.又DE=AD-AE，BF=BC-CF，AE=CF，∴DE=BF.又DE∥BF，∴四邊形EBFD是平行四邊形.
延伸 如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，如果E，F 分別是AD，BC上的動點，AE=CF，連接CE，AF，你有新的發(fā)現嗎？
延伸 如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，如果E，F 分別是AD，BC上的動點，DE=CF，G，H 分別是AB，CD上的動點，AG=DH ，圖中共有多少個平行四邊形？
如何證明四邊形GFHE是平行四邊形？
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C.∵G，H分別是AB，CD的中點， ∴AG= AB，CH= CD.∴ AG=CH. 同理AE=CF. ∴△AGE≌△CHF.∴ EG=FH. 同理 GF=HE. ∴ 四邊形GFHE是平行四邊形.
證明： 連接AC.∵G，F分別是AB，BC的中點， ∴GF是△BAC的中位線.∴GF∥AC，GF= AC.同理EH∥AC， EH= AC.∴GF∥ EH， GF=EH. ∴四邊形GFHE是平行四邊形.
結論 如圖，在四邊形ABCD中，G，F，H，E分別是AB，BC，CD，DA的中點，則四邊形GFHE是平行四邊形.
練習 如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分別是對角線AC，BD的中點．求證：CD=2EF．
證明： 取AB的中點G，連接CG，DG.
∴AB=2AG．∵AB∥CD，AB=2CD ， ∴AG∥CD，AG=CD．∴四邊形AGCD是平行四邊形．又E是AC的中點，∴E是DG的中點.同理F是CG的中點．∴EF是△GCD的中位線． ∴CD=2EF．
延伸 如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA延長線上的點，且BE=CF=DG=AH ，四邊形HEFG是平行四邊形嗎？
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠BAD=∠DCB．∴∠HAE=∠FCG．又AE=AB+BE，CG=CD+DG，∵ BE=DG，∴AE=CG．又AH=CF，∴△AHE≌△CFG．∴HE=FG．同理EF=GH．∴四邊形HEFG是平行四邊形．
2.借助平行四邊形的“角”
猜想：四邊形FBED是平行四邊形．
證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，∴ ∠ABC=∠ADC， AB∥CD．∵ BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠FBE = ∠ABC，∠EDF= ∠ADC，∴∠FBE =∠EDF∵ AB∥CD，∴∠DEB+∠FBE=180 °，∠BFD+∠EDF=180° ，∴∠DEB=∠BFD．∴四邊形FBED是平行四邊形．
如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，四邊形FBED是平行四邊形嗎？
延伸：能否改變“BE平分∠ABC，DF平分∠ADC”這個條件，使得四邊形FBED還是平行四邊形？
∠DEB+∠EBF=180 ° ∠BFD+∠FDE=180 °
如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形， E，F分別是CD， AB上的點，且∠EBF=∠FDE．求證：四邊形FBED是平行四邊形．
延伸 如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，如果 E，F分別是CD， AB上的動點，∠EBF=∠FDE ，四邊形FBED是平行四邊形嗎？
四邊形FBED始終是平行四邊形.
如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O ，E，F是對角線AC上的兩點，且 AE=CF．求證：四邊形EBFD是平行四邊形．
3.借助平行四邊形的“對角線”
思考：如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O ，E，F分別是AC，CA延長線上的點，且 AF=CE，四邊形FBED是平行四邊形嗎？
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．∵OF=OA+AF，OE=OC+CE，AF=CE， ∴OF=OE．∴四邊形FBED是平行四邊形．
改變已知條件中點的位置
練習 如圖，已知AD是△ABC的中線，E為AC上一點，連接BE交AD于點F，且AE=FE.求證：BF=AC.
證明：延長AD到點G，使DG=AD，連接BG，CG. ∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC．又DG=AD，∴四邊形ABGC是平行四邊形．∴AC∥BG， AC=BG．∴∠EAF=∠BGF．∵AE=FE， ∴∠AFE =∠EAF．∵∠AFE=∠BFG，∴∠BGF=∠BFG．∴BF=BG．∴BF=AC．
1.如圖，由六個全等的正三角形拼成的圖中，有多少個平行四邊形？為什么？
2.如圖，在△ABC中，BD，CE分別是AC，AB上的中線，BD與CE相交于點O.BO與OD的長度有什么關系？BC邊上的中線是否一定過點O?為什么？（提示：分別取BO，CO的中點M，N，連接ED，EM，MN，ND .）

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18.1.1 平行四邊形的性質

版本： 人教版

年級： 八年級下冊

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