知識(shí)點(diǎn)01 平行四邊形的概念
平行四邊形的概念：
有兩組對(duì)邊分別 的四邊形叫做平行四邊形。用符號(hào)“?”來表示。平行四邊形ABCD表示為“?ABCD”。
知識(shí)點(diǎn)02 平行四邊形的性質(zhì)
平行四邊形的性質(zhì)：
①邊的性質(zhì)：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別 （平行由定義證明，相等由連接對(duì)角線證明全等可得）。
②角的性質(zhì)：平行四邊形的鄰角 ，對(duì)角 。（由平行與鄰角轉(zhuǎn)換可得）
③對(duì)角線的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線 （連接兩條對(duì)角線證明全等可得）。
④平行四邊形的面積計(jì)算：等于 。
⑤平行四邊形的對(duì)稱性：是一個(gè)中心對(duì)稱圖形。
⑥過對(duì)角線交點(diǎn)的直線把平行四邊形分成兩個(gè)全等的圖形。直線與對(duì)邊的交點(diǎn)到對(duì)角線的交點(diǎn)的距離相等。
【即學(xué)即練1】
1．以下平行四邊形的性質(zhì)錯(cuò)誤的是（ ）
A．對(duì)邊平行B．對(duì)角相等
C．對(duì)邊相等D．對(duì)角線互相垂直
【即學(xué)即練2】
2．如圖，在?ABCD中，∠A+∠C＝80°，則∠D＝（ ）
A．80°B．40°C．70°D．140°
【即學(xué)即練3】
3．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC+BD＝12，CD＝4，則△ABO的周長是（ ）
A．9B．10C．11D．12
知識(shí)點(diǎn)03 平行線間的距離
平行線間的距離的定義：
一組平行線中，其中一條平行線上任意一點(diǎn)到另一條平行線的 是這一組平行間的距離。
平行線間的距離的性質(zhì)：
①兩條平行線間的距離 。
②平行線間的平行線段 。
【即學(xué)即練1】
4．如圖，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于點(diǎn)E，F(xiàn)G⊥l2于點(diǎn)G，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A、B兩點(diǎn)間距離就是線段AB的長度
D．l1與l2兩平行線間的距離就是線段CD的長度
題型01 平行線的性質(zhì)的理解判斷
【典例1】關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)，下列描述錯(cuò)誤的是（ ）
A．平行四邊形的對(duì)角線相等
B．平行四邊形的對(duì)角相等
C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分
D．平行四邊形的對(duì)邊平行且相等
【變式1】平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（ ）
A．對(duì)邊平行且相等B．對(duì)角相等
C．對(duì)角線相等D．對(duì)角線互相平分
【變式2】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．AC⊥BDB．OA＝OCC．AC＝ABD．OA＝OB
【變式3】平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若∠AOB＝180°﹣2∠BAO，那么下列說法正確的是（ ）
A．AB＝OBB．AB＝OAC．AC＝BDD．AC⊥BD
題型02 平行四邊形的性質(zhì)與角度的計(jì)算
【典例1】在?ABCD中，若∠A＝∠B+50°，則∠B的度數(shù)為 度．
【變式1】在?ABCD中，∠A+∠C＝220°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．70°B．80°C．90°D．110°
【變式2】如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED＝155°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．155°B．130°C．125°D．110°
【變式3】如圖，在?ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，則∠BCE的度數(shù)為 ．
【變式4】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠AED＝80°，則∠ACE的度數(shù)是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
題型03 平行四邊形的性質(zhì)與線段長度的計(jì)算
【典例1】如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，則BD的長是（ ）
A．16B．18C．20D．22
【變式1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分線交AD于E，交CD的延長線于點(diǎn)F，則DF＝（ ）
變式1 變式2
A．4B．3C．2D．1
【變式2】在?ABCD中，尺規(guī)作圖后留下的痕跡如圖所示，若AB＝3cm，AD＝10cm，則EF的長為（ ）
A．3cmB．3.5cmC．4cmD．4.5cm
【變式3】如圖，在?ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分線交于邊AB上一點(diǎn)E，且BE＝AB＝，線段CE的長為（ ）
A．2B．3C．﹣2D．3
【變式4】如圖，?ABCD的頂點(diǎn)C在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，則CG的長為 ．
題型04 平行四邊形的面積
【典例1】觀察如圖中的三個(gè)平行四邊形，你認(rèn)為說法正確的是（ ）
A．它們形狀相同，面積相等
B．它們形狀相同，面積不相等
C．它們形狀不相同，面積相等
D．它們形狀不相同，面積不相等
【變式1】一個(gè)平行四邊形兩條鄰邊的長度分別是6cm、8cm，且一條底邊上的高是7cm，則這個(gè)平行四邊形的面積是（ ）cm2．
A．42cm2B．56cm2
C．48cm2D．42cm2或者56cm2
【變式2】圖中，平行四邊形的面積是30平方厘米，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．S甲＝S乙+S丙B．S甲：S乙：S丙＝5：2：3
C．S甲＝15平方厘米D．S丙＝6平方厘米
【變式3】如圖，F(xiàn)是?ABCD的邊CD上的點(diǎn)，Q是BF中點(diǎn)，連接CQ并延長交AB于點(diǎn)E，連接AF與DE相交于點(diǎn)P，若，，則陰影部分的面積為（ ）cm2
A．24B．17C．18D．10
題型05 平行四邊形的周長
【典例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4m，若△ACD的周長為13cm，則平行四邊形ABCD的周長為（ ）
A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm
【變式1】如圖，在?ABCD中，AD＝10，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC+BD＝24，則△BOC的周長為 ．
【變式2】如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，?ABCD的周長為30，直線EF過點(diǎn)O，且與AD，BC分別交于點(diǎn)E．F，若OE＝5，則四邊形ABFE的周長是（ ）
A．30B．25C．20D．15
【變式3】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，則平行四邊形ABCD的周長為（ ）cm．
A．11B．18C．20D．22
【變式4】在平行四邊形ABCD中，∠A的角平分線把邊BC分成長度為4和5的兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長為（ ）
A．13或14B．26或28C．13D．無法確定
題型06 利用平行四邊形的性質(zhì)求坐標(biāo)
【典例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，?ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，3），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
【變式1】（多選）29．如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2）為四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，則下列各點(diǎn)中可以作為第四個(gè)頂點(diǎn)的是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣3）C．（3，3）D．（2，3）
【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0），（2，3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ）
A．（7，3）B．（8，2）C．（3，7）D．（5，3）
【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的邊AD在x軸上，頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別是（2，0），（7，0），∠OBA＝30°，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
題型07 平行線間的距離
【典例1】如圖，直線l1∥l2，l1和AB的夾角∠DAB＝135°，且AB＝4mm，則兩平行線l1和l2之間的距離是（ ）
A．2B．4C．D．
【變式1】如圖，已知直線a∥直線b，點(diǎn)A，B分別在直線a和直線b上，若AB＝6，∠1＝60°，則直線a與直線b之間的距離是 ．
【變式2】如圖，a∥b，點(diǎn)A、B分別在直線a、b上，∠1＝45°，點(diǎn)C在直線b上，且∠BAC＝105°，若a、b之間的距離為3，則線段AC的長度為 ．
【變式3】在同一平面內(nèi)，已知a∥b，b∥c，若直線a、b之間的距離為7cm，直線b、c之間的距離為3cm，則直線a、c間的距離為（ ）
A．4cm或10cmB．4cmC．10cmD．不確定
1．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．ABCDB．OB＝ODC．AB＝ADD．∠ABC＝∠ADC
2．在?ABCD中，如果∠A+∠C＝160°，那么∠C等于（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
3．如圖，若直線m∥n，則下列哪條線段的長可以表示平行線m與n之間的距離（ ）
A．ABB．ACC．ADD．DE
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，則EC等于（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
5．平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0），（0，﹣4），（﹣3，3），以這三點(diǎn)為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，則第四個(gè)頂點(diǎn)不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
6．已知直線a，b，c在同一平面內(nèi)，且a∥b∥c，a與b之間的距離為5cm，b與c之間的距離為3cm，則a與c之間的距離是（ ）
A．2cmB．8cm
C．2cm或8cmD．以上都不對(duì)
7．如圖，在?ABCD中，AD：AB＝3：4，AE平分∠DAB交CD于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，則的值是（ ）
A．3：4B．9：16C．4：3D．16：9
8．如圖，?ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿著CD向D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止．則EF的長為10cm時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是（ ）
A．6sB．6s或10sC．8sD．8s或12s
9．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于點(diǎn)F，P是EB延長線上一點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BF＝BE；④PF＝PC．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
10．如圖所示，以?ABCD的邊AB為邊向內(nèi)作等邊△ABE，使AD＝AE，且點(diǎn)E在平行四邊形內(nèi)部，連接DE，CE，則∠CED的度數(shù)為（ ）
A．150°B．145°C．135°D．120°
11．如圖，l1∥l2，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B、C在直線l2上，AC⊥l2．如果AB＝5cm，BC＝4cm．那么平行線l1，l2之間的距離為 cm．
12．如圖，?ABCD的對(duì)角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），則BC＝ ．
13．在平行四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，AE為邊BC上的高，，CE＝2，則平行四邊形ABCD的周長為 ．
14．如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則對(duì)角線PQ的長度的最小值為 ．
15．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC邊的中點(diǎn)，延長CD至點(diǎn)G，使DG＝CD，以DG，DE為邊向平行四邊形ABCD外構(gòu)造平行四邊形DGME，連接BM交AD于點(diǎn)N，連接FN．若DG＝DE＝2，∠ADC＝60°，則FN的長為 ．
16．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．證明AE＝DF．
17．如圖，直線a∥b，AB與a，b分別相交于點(diǎn)A，B，且AC⊥AB，AC交直線b于點(diǎn)C．
（1）若∠1＝70°，求∠2的度數(shù)；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直線a與b的距離．
18．如圖，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于點(diǎn)E，AE＝3，EB＝5，DE＝4．
（1）求證：∠DEA＝90°；
（2）求CE的長．
19．如圖，在?ABCD中，BC＝3AB﹣6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，AE＝CF，直線EF分別交AD，CB的延長線交于點(diǎn)H，G．
（1）求證：DH＝BG．
（2）作HM∥AB，交BC延長線于點(diǎn)M，AM交GH于點(diǎn)O．若BE＝1，GB＝3，AB⊥AM，∠AEH＝45°，求AE的長．
20．如圖①?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．
（1）求證：OE＝OF
（2）如圖②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α，
①當(dāng)∠α為多少度時(shí)，EF⊥AC？
②在①的條件下，連接AF，求△ADF的周長．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①平行四邊形的概念
②平行四邊形的性質(zhì)
③平行線間的距離
掌握平行四邊形的概念并能夠進(jìn)行簡單的判斷。
掌握平行四邊形的性質(zhì)并能夠熟練的進(jìn)行相關(guān)的應(yīng)用。
掌握平行線間的距離并熟練應(yīng)用

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級(jí)下冊(cè)電子課本

18.1.1 平行四邊形的性質(zhì)

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