第11課  二次函數(shù)y=a（x-h)2＋k(a≠0)的圖象與性質(zhì) 課程標準1.會用描點法畫出二次函數(shù)(a、h、k常數(shù)，a≠0)的圖象．掌握拋物線與圖象之間的關(guān)系；2.熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，并能用函數(shù)的性質(zhì)解決一些實際問題；3.經(jīng)歷探索的圖象及性質(zhì)的過程，體驗與、、之間的轉(zhuǎn)化過程，深刻理解數(shù)學建模思想及數(shù)形結(jié)合的思想方法． 知識點01  函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。?/span>時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．知識點02  函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 要點詮釋：二次函數(shù)的圖象常與直線、三角形、面積問題結(jié)合在一起，借助它的圖象與性質(zhì)．運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問題． 知識點02  二次函數(shù)的平移1.平移步驟：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標；⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2.平移規(guī)律：    在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．要點詮釋：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）     考法01   二次函數(shù)圖象及性質(zhì)【典例1】已知是由拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到的拋物線．    (1)求出a、h、k的值；    (2)在同一坐標系中，畫出與的圖象；    (3)觀察的圖象，當x取何值時，y隨x的增大而增大；當x取何值時，y隨x增大而減小，并求出函數(shù)的最值；(4)觀察的圖象，你能說出對于一切x的值，函數(shù)y的取值范圍嗎?【答案與解析】 (1)∵  拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到的拋物線是，∴  ，，．(2)函數(shù)與的圖象如圖所示．(3)觀察的圖象知，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x增大而減小，當x＝1時，函數(shù)y有最大值是2．    (4)由圖象知，對于一切x的值，總有函數(shù)值y≤2．【總結(jié)升華】先根據(jù)平移的性質(zhì)求出拋物線平移后的拋物線的解析式，再對比得到a、h、k的值，然后畫出圖象，由圖象回答問題．【即學即練1】把二次函數(shù)的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)的圖象．（1）試確定a、h、k的值；（2）指出二次函數(shù)的開口方向，對稱軸和頂點坐標，分析函數(shù)的增減性．【答案】（1）.（2）開口向下，對稱軸x=1, 頂點坐標為（1，-5），         當x≥1時，y隨x的增大而減?。?/span>  當x＜1時，y隨x的增大而增大. 【典例2】已知函數(shù)，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（    ）A．0   B．1  C．2????????????? ????????????? D．3【答案】D；【解析】函數(shù) 的圖象如圖：，根據(jù)圖象知道當y=3時，對應(yīng)成立的x恰好有三個，∴k=3．故選D．【總結(jié)升華】此題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象解決交點問題，解題的關(guān)鍵是把解方程的問題轉(zhuǎn)換為根據(jù)函數(shù)圖象找交點的問題．考法01   二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例3】二次函數(shù)y=（x﹣1）2+1，當2≤y＜5時，相應(yīng)x的取值范圍為　                　．【思路點撥】把y=2和y=5分別代入二次函數(shù)解析式，求x的值，已知對稱軸為x=1，根據(jù)對稱性求x的取值范圍． 【答案】﹣1＜x≤0或2≤x＜3．【解析】解：當y=2時，（x﹣1）2+1=2，解得x=0或x=2，當y=5時，（x﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1，又拋物線對稱軸為x=1，∴﹣1＜x≤0或2≤x＜3．【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)的增減性，對稱性．關(guān)鍵是求出函數(shù)值y=2或5時，對應(yīng)的x的值，再結(jié)合圖象確定x的取值范圍．【即學即練2】已知拋物線y=2（x﹣1）2﹣8．（1）直接寫出它的頂點坐標：　　，對稱軸：　　；（2）x取何值時，y隨x增大而增大？【答案與解析】解：（1）拋物線y=2（x﹣1）2﹣8的頂點坐標為（1，﹣8），對稱軸為直線x=1；故答案為（1，﹣8），直線x=1；（2）當x＞1時，y隨x增大而增大． 【典例4】如圖所示，拋物線的頂點為C，與y軸交點為A，過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點B．    (1)求直線AC的解析式；    (2)求△ABC的面積；    (3)當自變量x滿足什么條件時，有?【答案與解析】 (1)由知拋物線頂點C(-1，0)，令x＝0，得，∴  ．由待定系數(shù)法可求出，，∴  ．(2)∵  拋物線的對稱軸為x＝-1，根據(jù)拋物線對稱性知． ∴  ．(3)根據(jù)圖象知或時，有．【總結(jié)升華】 圖象都經(jīng)過A點和C點，說明A點、C點同時出現(xiàn)在兩個圖象上，A、C兩點的坐標均滿足兩個函數(shù)的解析式，解答這類題時，要畫出函數(shù)圖象，結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合的思想和拋物線的對稱性，特別要慎重處理平面直角坐標系中的坐標(數(shù))與線段長度(形)之間的關(guān)系，不要出現(xiàn)符號上的錯誤，充分利用函數(shù)圖象弄清函數(shù)值與自變量的關(guān)系，利用圖象比較函數(shù)值的大小，或根據(jù)函數(shù)值的大小，確定自變量的變化范圍．  題組A  基礎(chǔ)過關(guān)練1．拋物線y=-（x-1）2-2的頂點坐標是（　  ?。?/span>A．（-1，2） B．（-1，-2） C．（1，-2） D．（1，2）【答案】C【分析】由拋物線解析式即可得出答案.【詳解】∵拋物線解析式為：y=-（x-1）2-2∴頂點坐標為（1，-2）故答案選擇C.【點睛】本題考查的是學生對二次函數(shù)中頂點式的掌握，難度系數(shù)較低.2．對于函數(shù)y=-2（x-3）2，下列說法不正確的是（　　）A．開口向下 B．對稱軸是 C．最大值為0 D．與y軸不相交【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可一一判斷．【詳解】對于函數(shù)y=-2(x-3)2的圖象，∵a=-2＜0，∴開口向下，對稱軸x=3，頂點坐標為(3，0)，函數(shù)有最大值0， 故選項A、B、C正確， 選項D錯誤，故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．3．對于拋物線y＝﹣（x+2）2﹣1，下列說法錯誤的是（　?。?/span>A．開口向下B．對稱軸是直線x＝﹣2C．x＞﹣2時，y隨x的增大而增大D．x＝﹣2，函數(shù)有最大值y＝﹣1【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各個選項后即可解答．【詳解】∵y＝﹣（x+2）2﹣1，∴該拋物線的開口向下，頂點坐標是（﹣2，﹣1），對稱軸為直線x＝﹣2，當x＝﹣2時，函數(shù)有最大值y＝﹣1，當x＞﹣2時，y隨x的增大而減小，故選項C的說法錯誤.故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.4．在平面直角坐標系中，作拋物線關(guān)于軸對稱的拋物線，再將拋物線向左平移2個單位，向上平移1個單位，得到的拋物線的函數(shù)解析式是，則拋物線所對應(yīng)的的函數(shù)解析式是(    )A． B．C． D．【答案】D【分析】易得拋物線C的頂點，進而可得拋物線B的頂點坐標，根據(jù)頂點式及平移前后二次項系數(shù)不變可得拋物線B的解析式，而根據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩條拋物線的頂點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)可得拋物線A所對應(yīng)的的函數(shù)表達式【詳解】易得拋物線C的頂點（-1，-1），∵是向左平移2個單位，向上平移1個單位得到拋物線C，∴拋物線B的頂點坐標（1，-2），可設(shè)拋物線B的解析式為y=2+k，代入得y=2-2，易得拋物線A的二次項系數(shù)為-2，頂點坐標為（1,2），∴拋物線A的解析式為y=-2+2，故正確答案為D.【點睛】此題主要考查二次函數(shù)圖像的平移問題，只需看頂點坐標的如何平移得到即可；關(guān)于x軸對稱的兩條拋物線的頂點的橫坐標相等，縱坐標相反，二次項系數(shù)互為相反數(shù)5．二次函數(shù)的最小值是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由頂點式可知當x=1時，y取得最小值-3．【詳解】解：∵，∴頂點坐標為，∴當x=1時，y取得最小值-3．故選．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．二次函數(shù)y＝2＋3的圖象是一條拋物線，則下列說法錯誤的是（    ）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸是直線x＝1C．拋物線的頂點是(1，3) D．當x＞1時，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】二次函數(shù)y=2（x﹣1）2+3．∵a=2＞0，∴拋物線開口向上，頂點坐標為（1，3），對稱軸是直線x=1，故A，B，C正確．故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．7．已知二次函數(shù)y＝(x﹣2)2+3，當x＜2時，y隨x的增大而_____．(填“增大”或“減小”)【答案】減小【分析】對于二次函數(shù)頂點式y=a（x-h）2+k，當a＞0時，x＞h：y隨x的增大而減增大，x＜h：y隨x的增大而減??；當a＜0時，x＞h：y隨x的增大而減小，x＜h：y隨x的增大而增大．【詳解】∵a＝1＞0，對稱軸x＝2，∴當x＜2時，y隨著x的增大而減?。?/span>故答案為減?。?/span>【點睛】本題考查二次函數(shù)頂點式y=a（x-h）2+k增減性．解決本類題目的關(guān)鍵是分清a的符號和h的符號．8．已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三點都在二次函數(shù)y=a(x+2)2+c（a>0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為__________．【答案】y2? y1?y3（y3>y1>y2 也可）【分析】先確定拋物線的開口方向和對稱軸，然后比較三個點距離對稱軸的距離，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷對應(yīng)函數(shù)值的大小．【詳解】二次函數(shù)y=a(x+2)2+c（a>0）的圖像開口方向向上，對稱軸是x=-2，A(-4，y1) 距對稱軸的距離是2，B(-1，y2)距對稱軸的距離是1， C(2，y3) 距對稱軸的距離是4所以y2? y1?y3故答案為：y2? y1?y3【點睛】此題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出拋物線的對稱軸和開口方向是解題關(guān)鍵．題組B  能力提升練1．對于拋物線，下列說法正確的是（ ）A．開口向下，頂點坐標 B．開口向上，頂點坐標C．開口向下，頂點坐標 D．開口向上，頂點坐標【答案】A【詳解】∵拋物線∴a＜0，∴開口向下，∴頂點坐標（5，3）．故選A．2．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)（）的圖象可能是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=a（x-h）2（a≠0）的頂點坐標為（h，0），它的頂點坐標在x軸上，即可解答．【詳解】二次函數(shù)（）的頂點坐標為（h，0），它的頂點坐標在x軸上，故選D．3．將拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達式為（ ）A．  B．C．  D．【答案】A【分析】先確定拋物線y=x2的頂點坐標為（0，0），再根據(jù)點平移的規(guī)律得到點（0，0）平移后所得對應(yīng)點的坐標為（-2，-3），然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式．【詳解】拋物線y=x2的頂點坐標為（0，0），把點（0，0）向左平移1個單位，再向下平移2個單位長度所得對應(yīng)點的坐標為（-2，-3），所以平移后的拋物線解析式為y=（x+2）2-3．
故選A．4．二次函數(shù)的圖像大致為（   ）A．B．C． D．【答案】D【解析】試題分析：a=1＞0，拋物線開口向上，由解析式可知對稱軸為x=﹣2，頂點坐標為（﹣2，﹣1）．故選D．考點：二次函數(shù)的圖象．5．在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y＝ax＋c和二次函數(shù)y＝a(x＋c)2的圖象大致為()A． B． C． D．【答案】B【詳解】選項A，由圖象可知二次函數(shù)開口向下，可得a＜0，對稱軸在y軸的右側(cè)，可得c＜0；一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，可得a＞0，c＞0，所以A選項錯誤；選項B，由圖象可知二次函數(shù)開口向下，可得a＜0，對稱軸在y軸的左側(cè)，可得c＞0；一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以B選項正確；選項C，由圖象可知二次函數(shù)開口向上，可得a＞0，對稱軸在y軸的左側(cè)，可得c＞0；一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，可得a＞0，c＜0，所以C選項錯誤；選項C，由圖象可知二次函數(shù)開口向上，可得a＞0，對稱軸在y軸的右側(cè)，可得c＜0；一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以D選項錯誤；故選B.點睛：本題考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，所用到的知識點：二次函數(shù)和一次函數(shù)的常數(shù)項是圖象與y軸交點的縱坐標；一次函數(shù)的一次項系數(shù)大于0，圖象經(jīng)過一、三象限；小于0，經(jīng)過二、四象限；二次函數(shù)的二次項系數(shù)大于0，圖象開口向上；二次項系數(shù)小于0，圖象開口向下．6．二次函數(shù)y＝a(x﹣m)2﹣n的圖象如圖，則一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過(　　)A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【答案】A【分析】由拋物線的頂點坐標在第四象限可得出m＞0，n＞0，再利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，即可得出一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過第一、二、三象限．【詳解】解：觀察函數(shù)圖象，可知：m＞0，n＞0，∴一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過第一、二、三象限．故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記“k＞0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、三象限”是解題的關(guān)鍵．7．若拋物線y＝(x－m)2＋(m＋1)的頂點在第一象限，則m的取值范圍為(　　)A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0【答案】B【分析】利用y=ax2+bx+c的頂點坐標公式表示出其頂點坐標，根據(jù)頂點在第一象限，所以頂點的橫坐標和縱坐標都大于0列出不等式組．【詳解】頂點坐標（m,m+1）在第一象限，則有 解得：m>0,故選B.考點：二次函數(shù)的性質(zhì)．8．如圖，拋物線y=2（x-2）2與平行于x軸的直線交于點A，B，拋物線頂點為C，△ABC為等邊三角形，求S△ABC;【答案】 【分析】過B作BP⊥x軸交于點P，連接AC，BC，由拋物線y=得C（2，0），于是得到對稱軸為直線x=2，設(shè)B（m，n），根據(jù)△ABC是等邊三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到（m-2）=，解方程得到m的值，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)果．【詳解】解：過B作BP⊥x軸交于點P，連接AC，BC，由拋物線y=得C（2，0），∴對稱軸為直線x=2，設(shè)B（m，n），∴CP=m-2，∵AB∥x軸，∴AB=2m-4，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，∴PB=PC=（m-2），∵PB=n=，∴（m-2）=，解得m=，m=2（不合題意，舍去），∴AB=，BP=，∴S△ABC=．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì).9．填表．解析式開口方向頂點坐標對稱軸y＝(x－2)2－3   y＝－(x＋3)2＋2         y＝3(x－2)2   y＝－3x2＋2   【答案】解析式開口方向頂點坐標對稱軸y＝(x－2)2－3向上(2，－3)直線x＝2y＝－(x＋3)2＋2向下(－3，2)直線x＝－3向下(－5，－5)直線x＝－5向上(，1)直線x＝y＝3(x－2)2向上(2，0)直線x＝2y＝－3x2＋2向下(0，2)直線x＝0【解析】【分析】各個函數(shù)都是頂點坐標式，根據(jù)頂點式可求拋物線的開口方向，頂點坐標及對稱軸．【詳解】解析式開口方向頂點坐標對稱軸y＝(x－2)2－3向上(2，－3)直線x＝2y＝－(x＋3)2＋2向下(－3，2)直線x＝－3向下(－5，－5)直線x＝－5向上(，1)直線x＝y＝3(x－2)2向上(2，0)直線x＝2y＝－3x2＋2向下(0，2)直線x＝0【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．在拋物線的頂點式方程y=a（x-h）2+k中，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h．題組C  培優(yōu)拔尖練1．已知二次函數(shù)y=（x﹣h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則h的值為（　?。?/span>A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3【答案】B【分析】討論對稱軸的不同位置，可求出結(jié)果.【詳解】∴①若h＜1≤x≤3，x=1時，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x≤3＜h，當x=3時，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）．綜上，h的值為﹣1或5，故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和最值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和最值分類討論是解題的關(guān)鍵．由解析式可知該函數(shù)在x=h時取得最小值1、x＞h時，y隨x的增大而增大、當x＜h時，y隨x的增大而減小，根據(jù)1≤x≤3時，函數(shù)的最小值為5可分如下兩種情況：①若h＜1≤x≤3，x=1時，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，當x=3時，y取得最小值5，分別列出關(guān)于h的方程求解即可．2．下列關(guān)于二次函數(shù)（為常數(shù)）的結(jié)論，①該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同；②該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點；③當時，y隨x的增大而減??；④該函數(shù)的圖象的頂點在函數(shù)的圖像上，其中所有正確的結(jié)論序號是__________．【答案】①②④【分析】①兩個二次函數(shù)可以通過平移得到，由此即可得兩個函數(shù)的圖象形狀相同；②求出當時，y的值即可得；③根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得；④先求出二次函數(shù)的頂點坐標，再代入函數(shù)進行驗證即可得．【詳解】當時，將二次函數(shù)的圖象先向右平移m個單位長度，再向上平移個單位長度即可得到二次函數(shù)的圖象；當時，將二次函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度即可得到二次函數(shù)的圖象該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同，結(jié)論①正確對于當時，即該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點，結(jié)論②正確由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小則結(jié)論③錯誤的頂點坐標為對于二次函數(shù)當時，即該函數(shù)的圖象的頂點在函數(shù)的圖象上，結(jié)論④正確綜上，所有正確的結(jié)論序號是①②④故答案為：①②④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．已知二次函數(shù)y＝(x－2a)2＋(a－1)(a為常數(shù))，當a取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”．如圖分別是當a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2時二次函數(shù)的圖象．它們的頂點在一條直線上，這條直線的解析式是____________________．【答案】y=0.5x-1【分析】已知拋物線的頂點式，寫出頂點坐標，用x、y代表頂點的橫坐標、縱坐標，消去a得出x、y的關(guān)系式．【詳解】解：由已知得拋物線頂點坐標為（2a，a-1），設(shè)x=2a①，y=a-1②，①-②×2，消去a得，x-2y=2，即y=x-1．故答案填y=x-1．【點睛】本題考查了根據(jù)頂點式求頂點坐標的方法，消元的思想． 4．把二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)y=(x+1)2-1的圖象.（1）試確定a，h，k的值；（2）指出二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的開口方向，對稱軸和頂點坐標.【答案】（1） （2）開口向下，對稱軸是x=1的直線，頂點（1，-5）【詳解】試題分析：（1）二次函數(shù)的平移，可以看作是將二次函數(shù)y= (x+1)2-1先向右平移2個單位，再向下平移4個單位得到二次函數(shù)y=a(x-h)2+k，然后再按二次函數(shù)圖象的平移法則，確定函數(shù)解析式，即可得到結(jié)論；（2），直接根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，進行回答即可.試題分析：（1）∵二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)y= (x+1)2-1，∴可以看作是將二次函數(shù)y= (x+1)2-1先向右平移2個單位，再向下平移4個單位得到二次函數(shù)y=a(x-h)2+k，而將二次函數(shù)y= (x+1)2-1先向右平移2個單位，再向下平移4個單位得到二次函數(shù)為：y= (x-1)2-5，∴a=，b=1，k=-5；（2）二次函數(shù)y= (x-1)2-5，開口向上，對稱軸為x=1，頂點坐標為（1，-5）.5．在直角坐標系中，二次函數(shù)圖象的頂點為A（1、﹣4），且經(jīng)過點B（3，0）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）當﹣3＜x＜3時，函數(shù)值y的增減情況；（3）將拋物線怎樣平移才能使它的頂點為原點．【答案】（1）y=（x﹣1）2﹣4;（2）當﹣3＜x＜1時，y隨x的增大而減小，當1≤x＜3，y隨x的增大而增大;（3）將拋物線y=（x﹣1）2﹣4向左平移1個單位，再向上平移4個單位即可實現(xiàn)拋物線頂點為原點．【分析】（1）由已知條件可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，再代入點（3，0）解出a的值即可得到二次函數(shù)的解析式；（2）由（1）中所求解析式可得第（2）問答案；（3）根據(jù)（1）中所得解析式可確定原來頂點的位置，這樣就可確定怎樣平移可將頂點移到原點了.【詳解】（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點為A（1，﹣4），∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x﹣1）2﹣4，又∵二次函數(shù)圖象過點B（3，0）∴a（3﹣1）2﹣4=0，解得：a=1，∴y=（x﹣1）2﹣4（2）∵拋物線對稱軸為直線x=1，且開口向上，∴當﹣3＜x＜1時，y隨x的增大而減小；當1≤x＜3，y隨x的增大而增大，（3）將拋物線y=（x﹣1）2﹣4向左平移1個單位，再向上平移4個單位即可實現(xiàn)拋物線頂點為原點．【點睛】（1）當已知拋物線的頂點坐標，求解析式時，一般把解析式設(shè)為頂點式：的形式；（2）本題中頂點的橫坐標x=1在﹣3＜x＜3內(nèi)，因此要分為：①﹣3＜x＜1和②1≤x＜3兩段來討論函數(shù)值y的增減情況；（3）將拋物線進行平移時，“h”的值是“左移加，右移減”；“k”的值是“上移加，下移減”.6．已知函數(shù).（1）寫出函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；（2）求出圖象與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標；（3）當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x取何值時，y隨x的增大而減??？（4）當x取何值時，函數(shù)有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？【答案】（1）拋物線的開口向上，對稱軸是直線，頂點坐標是（-1,-8）；（2）圖象與y軸交于（0,-6）；（3）得當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減??；（4）由頂點坐標，得當時，y有最小值，最小值是-8.【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，即可得到答案；（2）令y=0，x=0，分別代入解析式，即可得到與坐標軸交點坐標；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得解；（4）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，以及a的值，即可得到答案.【詳解】解：（1）由函數(shù)，∵，，，∴拋物線的開口向上，對稱軸是直線，頂點坐標是（-1,-8）.（2）令，即，解得，.∴圖象與x軸交于（1,0），（-3,0）.令，即，∴圖象與y軸交于（0,-6）.（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)，得：當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小.（4）由頂點坐標，得：當時，y有最小值，最小值是-8.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)，并正確求出與坐標軸的交點坐標.7．已知二次函數(shù)y=﹣(x+1)2+2．（1）填空：此函數(shù)圖象的頂點坐標是　   　；（2）當x　   　時，函數(shù)y的值隨x的增大而減?。?/span>（3）設(shè)此函數(shù)圖象與x軸的交于點A、B，與y軸交于點C，連接AC及BC，試求△ABC的面積．【答案】（1）（﹣1，2）；（2）x＞﹣1（或x≥﹣1）；（3）3.【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)頂點式的形式解答即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，圖像的開口方向及對稱軸解答即可；（3）先求出A、B、C三點坐標，再求出AB的距離，即可求出△ABC的面積；【詳解】（1）二次函數(shù)y=﹣ +2的頂點坐標是（﹣1，2）．故答案是：（﹣1，2）；（2）因為二次函數(shù)y=﹣+2的開口方向向下，且對稱軸是直線x=﹣1，所以當x＞﹣1（或x≥﹣1）時，函數(shù)y的值隨x的增大而減?。?/span>故答案是：x＞﹣1（或x≥﹣1）；（3）令x=0時，易求： y=，∴點C的坐標為（0，）即：OC=令y=0時，易求：x1=1，x2=﹣3易求：AB=4．∴=3．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵.  

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22.1.1 二次函數(shù)

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