一、單選題
1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
2．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且 ，則等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
3．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，則csB=（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，則tanB=（ ）
A．B．2C．4D．8
5．（2018·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則
A．B．C．D．
6．（2019·全國(guó)·高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，csA=－，則=
A．6B．5C．4D．3
7．（2018·全國(guó)·高考真題）在中，,BC=1,AC=5，則AB=
A．B．C．D．
8．（2019·北京·高考真題）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為
A．4β+4csβB．4β+4sinβC．2β+2csβD．2β+2sinβ
二、多選題
9．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
10．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱(chēng)為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．
11．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．
12．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．
13．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．
14．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cs∠FCB=______________.
15．（2019·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的面積為_(kāi)_________.
16．（2018·全國(guó)·高考真題）△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則△的面積為_(kāi)_______．
17．（2019·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA+acsB=0，則B=___________.
18．（2018·江蘇·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_(kāi)_______．
四、解答題
19．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
20．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
21．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
22．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
23．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
24．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
25．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
26．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
27．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．
（1）若，求的面積；
（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．
28．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，，．
（1）求；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長(zhǎng)．
條件①：；
條件②：的周長(zhǎng)為；
條件③：的面積為；
29．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
30．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知 ．
（Ⅰ）求角的大??；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
31．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面積．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
32．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B的大??；
（II）求csA+csB+csC的取值范圍．
33．（2020·海南·高考真題）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．
問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
34．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．
35．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面積；
（2）若sinA+sinC=，求C.
36．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.
37．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，證明：△ABC是直角三角形．
38．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
39．（2019·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
40．（2018·全國(guó)·高考真題）在平面四邊形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
41．（2019·北京·高考真題）在△ABC中，a=3，b?c=2，csB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
42．（2018·天津·高考真題）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.
（1）求角B的大??；
（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.
43．（2019·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（1）若a=3c，b=，csB=，求c的值；
（2）若，求的值．
44．（2018·北京·高考真題）在中，．
（1）求；
（2）求邊上的高．
五、雙空題
45．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則___________，___________.
46．（2019·浙江·高考真題）在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則____；________.
47．（2018·北京·高考真題）若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B=_________；的取值范圍是_________.
48．（2018·浙江·高考真題）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，b=2，A=60°，則sin B=___________，c=___________．
參考答案：
1．B
【分析】通過(guò)做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．
【詳解】
過(guò)作，過(guò)作，
故，
由題，易知為等腰直角三角形，所以．
所以．
因?yàn)?，所?br>在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長(zhǎng)度通過(guò)作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為．
2．A
【分析】利用余弦定理求出，并進(jìn)一步判斷，由正弦定理可得，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；
【詳解】，，
，
，
，，
，
，
故選：A.
3．A
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.
【詳解】在中，，，
根據(jù)余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
4．C
【分析】先根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求
【詳解】設(shè)
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
5．C
【詳解】分析：利用面積公式和余弦定理進(jìn)行計(jì)算可得．
詳解：由題可知
所以
由余弦定理
所以
故選C.
點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理．
6．A
【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.
【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得
，故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．
7．A
【詳解】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求csC,再根據(jù)余弦定理求AB.
詳解：因?yàn)?br>所以，選A.
點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.
8．B
【分析】由題意首先確定面積最大時(shí)點(diǎn)P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.
【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S取最大值，
此時(shí)∠BOP=∠AOP=π-β, 面積S的最大值為+S△POB+ S△POA=4β+
.
故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運(yùn)算求解能力，有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時(shí)的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.
9．AC
【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線切點(diǎn)為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類(lèi)討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線切點(diǎn)為B，
所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過(guò)且與圓相切的一條直線為，
兩交點(diǎn)都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過(guò)且與圓相切的一條直線為，
兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線切點(diǎn)為，
若分別在左右支，
因?yàn)椋?，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
10．.
【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故答案為：.
11．##
【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設(shè)，
則在中，，
在中，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)取最小值時(shí)，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
[方法四]：判別式法
設(shè)，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時(shí)
所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.

12．
【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.
【詳解】由題意，，
所以，
所以，解得（負(fù)值舍去）.
故答案為：.
13．或0
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】∵三點(diǎn)共線，
∴可設(shè)，
∵，
∴，即，
若且，則三點(diǎn)共線，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
設(shè)，，則，.
∴根據(jù)余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的長(zhǎng)度為.
當(dāng)時(shí)， ，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，
當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.
故答案為：0或.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．
14．
【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計(jì)算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.
【詳解】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
15．
【分析】本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計(jì)算求解，本題屬于常見(jiàn)題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查．
【詳解】由余弦定理得，
所以，
即
解得（舍去）
所以，
【點(diǎn)睛】本題涉及正數(shù)開(kāi)平方運(yùn)算，易錯(cuò)點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開(kāi)方導(dǎo)致錯(cuò)誤．解答此類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計(jì)算．
16．.
【分析】方法一：由正弦定理可得，化簡(jiǎn)求得，利用余弦定理，結(jié)合題中的條件，可以得到，由為銳角，求得， ，利用三角形面積公式即可解出.
【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】邊化角
因?yàn)?，由正弦定理得?br>因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋?br>由余弦定理，可得，
所以，即為銳角，且，從而求得，
所以的面積為.
故答案為：.
［方法二］：角化邊
因?yàn)?，由正弦定理得，即，又，所以，．又因?yàn)椋?br>由余弦定理，可得，
所以，即為銳角，且，從而求得，
所以的面積為.
故答案為：.
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：利用正弦定理邊化角，求出，再結(jié)合余弦定理求出，即可求出面積，該法是本題的最優(yōu)解；
方法二：利用正弦定理邊化角，求出，再結(jié)合余弦定理求出，即可求出面積．
17．.
【分析】先根據(jù)正弦定理把邊化為角，結(jié)合角的范圍可得.
【詳解】由正弦定理，得．，得，即，故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取定理法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變化求角．
18．9
【分析】方法一：先根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得條件，再利用基本不等式即可解出．
【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】角平分線定義＋三角形面積公式＋基本不等式
由題意可知，,由角平分線定義和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，即，
因此
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.
故答案為：.
［方法二］： 角平分線性質(zhì)＋向量的數(shù)量積＋基本不等式
由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得向量式．
因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即，亦即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如圖5，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，．因?yàn)锳，D，C三點(diǎn)共線，則，即，則有，所以．
下同方法一．
［方法四］：角平分線定理＋基本不等式
在中，，同理．根據(jù)內(nèi)角平分線性質(zhì)定理知，即，兩邊平方，并利用比例性質(zhì)得，整理得，當(dāng)時(shí)，可解得．當(dāng)時(shí)，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在與中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如圖6，作，交的延長(zhǎng)線于E．易得為正三角形，則．
由，得，即，從而．下同方法一．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：利用角平分線定義和三角形面積公式建立等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式“1”的代換求出最小值，思路常規(guī)也簡(jiǎn)潔，是本題的最優(yōu)解；
方法二：利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)建向量的等量關(guān)系，再利用數(shù)量積得到的關(guān)系，最后利用基本不等式求出最值，關(guān)系構(gòu)建過(guò)程運(yùn)算量較大；
方法三：通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，由三點(diǎn)共線得等量關(guān)系，由基本不等式求最值；
方法四：通過(guò)解三角形和角平分線定理構(gòu)建等式關(guān)系，再由基本不等式求最值，計(jì)算量較大；
方法五：多次使用正弦定理構(gòu)建等量關(guān)系，再由基本不等式求最值，中間轉(zhuǎn)換較多；
方法六：由平面幾何知識(shí)中的相似得等量關(guān)系，再由基本不等式求最值，求解較為簡(jiǎn)單．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；
（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；
（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．
【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，代入得，解得：?br>（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因?yàn)?，所以，故，又?所以，，而，所以，
故．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【詳解】（1）由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).
【詳解】（1）解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周長(zhǎng)為.
22．(1)；
(2)證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；
（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開(kāi)得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．
【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡(jiǎn)得：
，故原等式成立．
23．(1)見(jiàn)解析
(2)14
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因?yàn)椋?br>由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長(zhǎng)為.
24．(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．
【詳解】（1）由于， ，則．因?yàn)椋?br>由正弦定理知，則．
（2）因?yàn)?，由余弦定理，得?br>即，解得，而，，
所以的面積．
25．(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)?，即?br>而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．
26．（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可計(jì)算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.
【詳解】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
27．（1）；（2）存在，且.
【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；
（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，則，故，，
，所以，為銳角，則，
因此，；
（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，
由余弦定理可得，
解得，則，
由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.
28．（1）；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．
【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；
（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；
若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；
若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.
【詳解】（1），則由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，
與矛盾，故這樣的不存在；
若選擇②：由（1）可得，
設(shè)的外接圓半徑為，
則由正弦定理可得，
，
則周長(zhǎng)，
解得，則，
由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：
；
若選擇③：由（1）可得，即，
則，解得，
則由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：
.
29．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.
（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因?yàn)椋?，即?br>又因?yàn)?，所以?br>（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因?yàn)?，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時(shí)，（舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡(jiǎn)得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)
如圖，作，交于點(diǎn)E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因?yàn)椋?br>所以，
整理得．
又因?yàn)椋裕?br>即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因?yàn)?，所以?br>以向量為基底，有．
所以，
即，
又因?yàn)?，所以．?br>由余弦定理得，
所以④
聯(lián)立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，
長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.
30．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運(yùn)算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先計(jì)算出進(jìn)一步求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.
【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因?yàn)?，所以?br>（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得 ，
進(jìn)而，
所以.
【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
31．選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【分析】選擇條件①（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；
選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.
【詳解】選擇條件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
選擇條件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
32．（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大小；
（II）方法二：結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.
【詳解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
結(jié)合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵為銳角三角形，∴，
∴，
所以，
又B為的一個(gè)內(nèi)角，故.
[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角
由，結(jié)合正弦定理可得：
為銳角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因?yàn)?，并利用余弦定理整理得?br>即.
結(jié)合，得.
由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?
而為銳角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化簡(jiǎn)得
故的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)
結(jié)合(1)的結(jié)論有：
.
由可得：，，
則，.
即的取值范圍是.
【整體點(diǎn)評(píng)】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得，運(yùn)算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡(jiǎn)，運(yùn)算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡(jiǎn)潔明快，確定為最優(yōu)解.
33．詳見(jiàn)解析
【分析】方法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系，設(shè)出長(zhǎng)度長(zhǎng)度，由余弦定理得到的長(zhǎng)度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.
【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理
由可得：，不妨設(shè)，
則：，即.
若選擇條件①：
據(jù)此可得：，，此時(shí).
若選擇條件②：
據(jù)此可得：，
則：，此時(shí)：，則：.
若選擇條件③：
可得，，與條件矛盾，則問(wèn)題中的三角形不存在.
［方法二］：正弦定理
由，得．
由，得，即，
得．由于，得．所以．
若選擇條件①：
由，得，得．
解得．所以，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)．
若選擇條件②：
由，得，解得，則．
由，得，得．
所以，選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)．
若選擇條件③：
由于與矛盾，所以，問(wèn)題中的三角形不存在．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)正弦定理以及余弦定理可得的關(guān)系，再根據(jù)選擇的條件即可解出，是本題的通性通法,也是最優(yōu)解；
方法二：利用內(nèi)角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角，可求出角，從而可得，再根據(jù)選擇條件即可解出．
34．（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進(jìn)而求得的值.
【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法
過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法
在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：幾何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：構(gòu)造直角三角形法
如圖，作，垂足為E，作，垂足為點(diǎn)G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，從而．
在中，．
所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特點(diǎn)，作出輔助線，利用幾何方法簡(jiǎn)單計(jì)算即得答案，運(yùn)算尤其簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進(jìn)而求解；方法二：適當(dāng)作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得的正弦值，進(jìn)而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進(jìn)而求解，也是很優(yōu)美的方法.
35．（1）；（2）.
【分析】（1）已知角和邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結(jié)論；
（2）方法一 ：將代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有關(guān)角的三角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解.
【詳解】（1）由余弦定理可得，
的面積；
（2）[方法一]：多角換一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化邊
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.其中第二問(wèn)法一主要考查三角恒等變換解三角形，法二則是通過(guò)余弦定理找到三邊的關(guān)系，進(jìn)而求角.
36．（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，
解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)周長(zhǎng)的最大值為．
[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合
在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時(shí)，，
所以周長(zhǎng)的最大值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長(zhǎng)最大值的求解問(wèn)題；
方法一：求解周長(zhǎng)最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.
方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進(jìn)行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.
方法三巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問(wèn)題.
37．（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，
再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>即，
解得，又，
所以；
（2）因?yàn)?，所以?br>即①，
又②， 將②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系的應(yīng)用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題．
38．(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.
(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來(lái)計(jì)算的定義域，最后求解的值域.
【詳解】(1)
[方法一]【最優(yōu)解：利用三角形內(nèi)角和為結(jié)合正弦定理求角度】
由三角形的內(nèi)角和定理得，
此時(shí)就變?yōu)椋?br>由誘導(dǎo)公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此時(shí)就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
兩邊平方得，即．
又，即，所以，
進(jìn)一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和為求得的比例關(guān)系】
根據(jù)題意，由正弦定理得，
因?yàn)?，故?br>消去得．
，，因?yàn)楣驶蛘撸?br>而根據(jù)題意，故不成立，所以，
又因?yàn)椋氲茫?
(2)
[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】
因?yàn)槭卿J角三角形，又，所以，
則．
因?yàn)?，所以，則，
從而，故面積的取值范圍是．
[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】
由題設(shè)及（1）知的面積．
因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面積的取值范圍是．
[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】
如圖1，在中，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為，作與交于點(diǎn)．
由題設(shè)及（1）知的面積，因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以點(diǎn)C位于在線段上且不含端點(diǎn)，從而，
即，即，所以，
故面積的取值范圍是．
【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，與三角形內(nèi)角和相結(jié)合是常用的方法；
方法二：方程思想是解題的關(guān)鍵，解三角形的問(wèn)題可以利用余弦值確定角度值；
方法三：由正弦定理結(jié)合角度關(guān)系可得內(nèi)角的比例關(guān)系，從而確定角的大小.
(2)方法一：由題意結(jié)合角度的范圍求解面積的范圍是常規(guī)的做法；
方法二：將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的問(wèn)題，然后求解邊長(zhǎng)的范圍可得面積的范圍；
方法三：極限思想和數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)了思維的靈活性，要求學(xué)生對(duì)幾何有深刻的認(rèn)識(shí)和靈活的應(yīng)用.
39．（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；
（2）[方法一]由題意利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和可得，然后結(jié)合輔助角公式可得，據(jù)此由兩角和差正余弦公式可得．
【詳解】（1），
即：，
由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]正弦定理+兩角和差正余弦
由（1）知，，所以由，
得，
整理得，即．
又，所以，即，
則．
[方法二]正弦定理+方程思想
由，得，
代入，
得，
整理得，則．
由，得，
所以．
[方法三]余弦定理
令．由，得．
將代入中，可得，
即，解得或（舍去）．
所以，
從而．
[方法四]攝影定理
因?yàn)?，所以?br>由射影定理得，
所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：首先由正弦定理邊化角，然后由兩角和差正余弦公式求解的值；
方法二：首先由正弦定理邊化角，然后結(jié)合題意列方程，求解方程可得的值；
方法三：利用余弦定理求得的值，然后結(jié)合正弦定理可得的值；
方法四：利用攝影定理求得的值，然后由兩角和差正余弦公式求解的值；
【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.
40．（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理得到，求得，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得；
（2）方法一：根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論可以求得，在中，根據(jù)余弦定理即可求出．
【詳解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方關(guān)系
在中，由正弦定理得，代入數(shù)值并解得．又因?yàn)?，所以，即為銳角，所以．
［方法2］：余弦定理
在中，，即，解得：，所以，
．
［方法3］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識(shí)
如圖，過(guò)B點(diǎn)作，垂足為E，，垂足為F．在中，因?yàn)椋?，所以．在中，因?yàn)椋瑒t．
所以．
［方法4］：坐標(biāo)法
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（圖略）．
設(shè)，則．因?yàn)?，所以?br>從而，又是銳角，所以，．
（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理
在，由（1）得，，
，所以．
［方法2］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識(shí)
作，垂足為F，易求，，，由勾股定理得．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對(duì)角，利用正弦定理和平方關(guān)系解三角形，屬于通性通法；
方法二：根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對(duì)角，利用余弦定理解三角形，也屬于通性通法；
方法三：根據(jù)題意利用幾何知識(shí)，解直角三角形，簡(jiǎn)單易算．
方法四：建立坐標(biāo)系，通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，這是解析思想的體現(xiàn)．
（2）方法一：已知兩邊及夾角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．
方法二：利用幾何知識(shí)，解直角三角形，簡(jiǎn)單易算．
41．(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】(Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；
(Ⅱ)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.
【詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.
(Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，
結(jié)合正弦定理可得：，
很明顯角C為銳角，故，
故.
【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
42．(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【詳解】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得
詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因?yàn)?，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因?yàn)閍

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