一、單選題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（ ）
A．14B．12C．6D．3
2．（2021·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（ ）
A．直線和圓B．直線和橢圓C．直線和雙曲線D．直線和拋物線
4．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．12B．24C．30D．32
5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
6．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）數(shù)列中，，對任意 ，若，則 （ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）在等比數(shù)列中，，，則等于（ ）
A．256B．-256C．512D．-512
8．（2019·全國·統(tǒng)考高考真題）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則
A．16B．8C．4D．2
二、多選題
9．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設正整數(shù)，其中，記．則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
10．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結論：
①的第2項小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項．
其中所有正確結論的序號是__________．
11．（2019·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=____________．
12．（2019·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=___________．
13．（2018·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，若，則_____________．
四、解答題
14．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
15．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
(1)證明：；
(2)求集合中元素個數(shù)．
16．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．
(1)若，求；
(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
17．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
18．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
19．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
20．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
21．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設等比數(shù)列{an}滿足，．
（1）求{an}的通項公式；
（2）記為數(shù)列{lg3an}的前n項和．若，求m．
22．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．
23．（2020·海南·高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）求.
24．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設求數(shù)列的前項和．
25．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．
26．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．
（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；
（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；
（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，
27．（2019·全國·高考真題）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}和{bn}的通項公式.
28．（2018·全國·高考真題）等比數(shù)列中，．
（1）求的通項公式；
（2）記為的前項和．若，求．
29．（2019·全國·高考真題）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，.
（1）求的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前n項和.
30．（2018·全國·高考真題）已知數(shù)列滿足，，設．
（1）求；
（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）求的通項公式．
31．（2019·全國·高考真題）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．
(i)證明：為等比數(shù)列；
(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．
參考答案：
1．D
【分析】設等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.
【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
2．A
【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.
【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項和，
∴，，成等比數(shù)列
∴，
∴，
∴.
故選：A.
3．C
【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進行恒等變形即可確定其軌跡方程.
【詳解】由題意得，即，
對其進行整理變形：
，
，
，
，
所以或，
其中為雙曲線，為直線.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關鍵之處在于由題意對所得的等式進行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)，屬于中等題.
4．D
【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結果.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，
，
因此，.
故選：D.
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題．
5．B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式進行求解即可.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，
由可得：，
所以，
因此.
故選：B.
【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量計算，考查了等比數(shù)列前項和公式的應用，考查了數(shù)學運算能力.
6．C
【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關于的等式，由可求得的值.
【詳解】在等式中，令，可得，，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，
，
，則，解得.
故選：C.
【點睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算能力，屬于中等題.
7．A
【分析】求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，
因為，，所以，
所以，
故選：A.
8．C
【解析】利用方程思想列出關于的方程組，求出，再利用通項公式即可求得的值．
【詳解】設正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，
解得，，故選C．
【點睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應用公式是解題的關鍵．
9．ACD
【分析】利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.
【詳解】對于A選項，，，
所以，，A選項正確；
對于B選項，取，，，
而，則，即，B選項錯誤；
對于C選項，，
所以，，
，
所以，，因此，，C選項正確；
對于D選項，，故，D選項正確.
故選：ACD.
10．①③④
【分析】推導出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.
【詳解】由題意可知，，，
當時，，可得；
當時，由可得，兩式作差可得，
所以，，則，整理可得，
因為，解得，①對；
假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，
所以，，可得，解得，不合乎題意，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；
當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；
假設對任意的，，則，
所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.
故答案為：①③④.
【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.
11．.
【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關于等比數(shù)列公比的方程，應用等比數(shù)列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，
所以所以．
【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．
12．.
【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關于等比數(shù)列公比的方程，應用等比數(shù)列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．
【詳解】詳解：設等比數(shù)列的公比為，由已知
，即
解得，
所以．
【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．
一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計算，避免繁分式計算．
13．
【分析】首先根據(jù)題中所給的，類比著寫出，兩式相減，整理得到，從而確定出數(shù)列為等比數(shù)列，再令，結合的關系，求得，之后應用等比數(shù)列的求和公式求得的值.
【詳解】根據(jù)，可得，
兩式相減得，即，
當時，，解得，
所以數(shù)列是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
所以，故答案是.
點睛：該題考查的是有關數(shù)列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項之間的關系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令，求得數(shù)列的首項，最后應用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對既有項又有和的式子的變形方向即可得結果.
14．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．
【詳解】（1）因為，即①，
當時，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當或時，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當或時，．
【整體點評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達式；
法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．
15．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）設數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；
（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．
【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式及前項和公式化簡條件，求出，再求；
(2)由等比數(shù)列定義列方程，結合一元二次方程有解的條件求的范圍.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因為，，成等比數(shù)列，
所以，
，
，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對于任意的恒成立，
所以對于任意的恒成立，
當時，，
當時，由，可得
當時，，
又
所以
17．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式進行基本量運算即可得解；
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關系結合分析法即可得證；
（3）先求得，進而由并項求和可得，再結合錯位相減法可得解.
【詳解】（1）設公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因為所以要證，
即證，即證，
即證，
而顯然成立，所以；
（3）因為
，
所以
，
設
所以，
則，
作差得
，
所以，
所以.
18．（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和
，
，
．
設， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構造裂項法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導函數(shù)法
設，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；
方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結論,為最優(yōu)解；
方法三采用構造數(shù)列裂項求和的方法，關鍵是構造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，
方法四利用導數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）由，結合與的關系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結論；
（2）由結合的結論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉化為與關于的函數(shù)的范圍關系，即可求解.
【詳解】（1）當時，，
，
當時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.
20．（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運算可得的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得的通項公式；
（II）（i）運算可得，結合等比數(shù)列的定義即可得證；
（ii）放縮得，進而可得，結合錯位相減法即可得證.
【詳解】（I）因為是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．
所以，所以，
所以；
設等比數(shù)列的公比為，
所以，解得（負值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：
最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因為無法直接求解，應先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組，求得首項和公比，進而求得通項公式；
（2）由（1）求出的通項公式，利用等差數(shù)列求和公式求得，根據(jù)已知列出關于的等量關系式，求得結果.
【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，
根據(jù)題意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根據(jù)，可得，
整理得，因為，所以，
【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算，以及等差數(shù)列求和公式的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題目.
22．（1）；（2）.
【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉化為的形式，求解出，由此求得數(shù)列的通項公式.
（2）方法一：通過分析數(shù)列的規(guī)律，由此求得數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以數(shù)列的通項公式為.
（2）［方法一］：規(guī)律探索
由于，所以
對應的區(qū)間為，則；
對應的區(qū)間分別為，則，即有2個1；
對應的區(qū)間分別為，則，即有個2；
對應的區(qū)間分別為，則，即有個3；
對應的區(qū)間分別為，則，即有個4；
對應的區(qū)間分別為，則，即有個5；
對應的區(qū)間分別為，則，即有37個6．
所以．
［方法二］【最優(yōu)解】：
由題意，，即，當時，．
當時，，則
．
［方法三］：
由題意知，因此，當時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，．
所以
．
所以數(shù)列的前100項和．
【整體點評】（2）方法一：通過數(shù)列的前幾項以及數(shù)列的規(guī)律可以得到的值，從而求出數(shù)列的前項和，這是本題的通性通法；方法二：通過解指數(shù)不等式可得數(shù)列的通項公式，從而求出數(shù)列的前項和，是本題的最優(yōu)解；方法三，是方法一的簡化版．
23．（1）；（2）
【分析】(1)由題意得到關于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確定數(shù)列的通項公式；
(2)首先求得數(shù)列的通項公式，然后結合等比數(shù)列前n項和公式求解其前n項和即可.
【詳解】(1) 設等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，
整理可得：，
，
數(shù)列的通項公式為：.
(2)由于：，故：
.
【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎.
24．（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項公式得到結果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結論首先求得數(shù)列前n項和，然后利用作差法證明即可；
(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項公式，然后分別利用指數(shù)型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據(jù)此進一步計算數(shù)列的前2n項和即可.
【詳解】(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.
由，，可得d=1.
從而的通項公式為.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
從而的通項公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而，
所以.
(Ⅲ)當n為奇數(shù)時，，
當n為偶數(shù)時，，
對任意的正整數(shù)n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.
因此，.
所以，數(shù)列的前2n項和為.
【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項求和，錯位相減求和等，屬于中等題.
25．（I）；（II）證明見解析.
【分析】（I）根據(jù)，求得，進而求得數(shù)列的通項公式，利用累加法求得數(shù)列的通項公式.
（II）利用累乘法求得數(shù)列的表達式，結合裂項求和法證得不等式成立.
【詳解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依題意設，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
【點睛】本小題主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和法，屬于中檔題.
26．（1）1
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)定義得，再根據(jù)和項與通項關系化簡得，最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結果；
（2）根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，即得；
（3）根據(jù)定義得，利用立方差公式化簡得兩個方程，再根據(jù)方程解的個數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，解得結果
【詳解】（1）
（2）
，
（3）假設存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列.
或
或
∵對于給定的，存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列，且
或有兩個不等的正根.
可轉化為，不妨設，則有兩個不等正根，設.
① 當時，，即，此時，，滿足題意.
② 當時，，即，此時，，此情況有兩個不等負根，不滿足題意舍去.
綜上，
【點睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項求通項、一元二次方程實根分步，考查綜合分析求解能力，屬難題.
27．（1）見解析；（2），．
【分析】(1)可通過題意中的以及對兩式進行相加和相減即可推導出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)可通過(1)中的結果推導出數(shù)列以及數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項公式即可得出結果．
【詳解】(1)由題意可知，，，，
所以，即，
所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，，
因為，
所以，數(shù)列是首項、公差為的等差數(shù)列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【點睛】本題考查了數(shù)列的相關性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．
28．（1）或 .
（2）.
【詳解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項和，解方程可得m．
詳解：（1）設的公比為，由題設得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解．
若，則．由得，解得．
綜上，．
點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎題．
29．（1）；（2）.
【分析】(1)本題首先可以根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列將轉化為，轉化為，再然后將其帶入中，并根據(jù)數(shù)列是各項均為正數(shù)以及即可通過運算得出結果；
(2)本題可以通過數(shù)列的通項公式以及對數(shù)的相關性質(zhì)計算出數(shù)列的通項公式，再通過數(shù)列的通項公式得知數(shù)列是等差數(shù)列，最后通過等差數(shù)列求和公式即可得出結果．
【詳解】(1)因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，
所以令數(shù)列的公比為，，，
所以，解得(舍去)或，
所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，．
(2)因為，所以，，，
所以數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列，．
【點睛】本題考查數(shù)列的相關性質(zhì)，主要考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列求和公式的使用，考查化歸與轉化思想，考查計算能力，是簡單題．
30．（1），，；（2）是首項為，公比為的等比數(shù)列．理由見解析；（3）.
【分析】（1）根據(jù)，求得和，再利用，從而求得，，；
（2）方法一：利用條件可以得到，從而可以得出，這樣就可以得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；
（3）方法一：借助等比數(shù)列的通項公式求得，從而求得.
【詳解】（1）由條件可得，
將代入得，，而，所以，．
將代入得，，所以，．
從而，，；
（2）[方法1]：【通性通法】定義法
由以及可知，，，
所以，，又，所以為等比數(shù)列．
[方法2]：等比中項法
由知，所以，．
由知，所以．
所以為等比數(shù)列．
（3）[方法1]：【最優(yōu)解】定義法
由（2）知，所以．
[方法2]：累乘法
因為，累乘得：．
所以．
【整體點評】（2）方法一：利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列，是通性通法；
方法二：利用等差中項法判斷數(shù)列為等比數(shù)列，也是常用方法；
（3）方法一：根據(jù)（2）中結論利用等比數(shù)列的通項公式求解，是該題的最優(yōu)解；
方法二：根據(jù)遞推式特征利用累乘法求通項公式．
31．（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.
【分析】（1）首先確定所有可能的取值，再來計算出每個取值對應的概率，從而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，從而整理出符合等比數(shù)列定義的形式，問題得證；（ii）列出證得的等比數(shù)列的通項公式，采用累加的方式，結合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【詳解】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，
；；
則的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以為首項，為公比的等比數(shù)列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最終認為甲藥更有效的.由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.
【點睛】本題考查離散型隨機變量分布列的求解、利用遞推關系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項公式和數(shù)列中的項的問題.本題綜合性較強，要求學生能夠熟練掌握數(shù)列通項求解、概率求解的相關知識，對學生分析和解決問題能力要求較高.

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