一、單選題
1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)是
A．奇函數(shù)，且最大值為2B．偶函數(shù)，且最大值為2
C．奇函數(shù)，且最大值為D．偶函數(shù)，且最大值為
5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（2021·全國(guó)·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿(mǎn)足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
9．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
10．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且 ，則等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
12．（2018·全國(guó)·高考真題）若，則
A．B．C．D．
13．（2018·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最小正周期為
A．B．C．D．
14．（2018·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，則
A．的最小正周期為，最大值為
B．的最小正周期為，最大值為
C．的最小正周期為，最大值為
D．的最小正周期為，最大值為
15．（2018·全國(guó)·高考真題）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則
A．B．C．D．
16．（2019·全國(guó)·高考真題）已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，則sinα=
A．B．
C．D．
二、多選題
17．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線(xiàn)與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
18．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
19．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）若，則__________，_________．
20．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)_______．
21．（2018·全國(guó)·高考真題）已知，則__________．
22．（2018·全國(guó)·高考真題）已知，，則__________．
23．（2019·江蘇·高考真題）已知，則的值是_____.
四、解答題
24．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
25．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
26．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
27．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
28．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的最大值.
29．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范圍．
30．（2018·北京·高考真題）在中，．
（1）求；
（2）求邊上的高．
31．（2018·浙江·高考真題）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β滿(mǎn)足sin（α+β）=，求csβ的值．
32．（2018·北京·高考真題）已知函數(shù).
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.
33．（2018·江蘇·高考真題）已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．
34．（2019·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（1）若a=3c，b=，csB=，求c的值；
（2）若，求的值．
35．（2019·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
36．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
37．（2019·北京·高考真題）在△ABC中，a=3，b?c=2，csB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
38．（2019·天津·高考真題） 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
五、雙空題
39．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________；________．
參考答案：
1．C
【分析】化簡(jiǎn)得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?
對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).
故選：C.
2．D
【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)，，
所以，，
所以
，其中，，
因?yàn)?，所以，即?br>故選：D

3．C
【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設(shè)β=0則sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
[方法三]：三角恒等變換

所以
即
故選：C.
4．D
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.
【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，
又，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值.
故選：D.
5．D
【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【詳解】由題意，
.
故選：D.
6．C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個(gè)代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值.
【詳解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，
故選：C.
法2：不妨設(shè)，則，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，
故選：C.
【點(diǎn)睛】思路分析：代數(shù)式的大小問(wèn)題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.
7．A
【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.
【詳解】
，
，，，解得，
，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出.
8．B
【分析】通過(guò)做輔助線(xiàn)，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．
【詳解】
過(guò)作，過(guò)作，
故，
由題，易知為等腰直角三角形，所以．
所以．
因?yàn)?，所?br>在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長(zhǎng)度通過(guò)作輔助線(xiàn)的方式轉(zhuǎn)化為．
9．C
【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.
【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.
故選：C．
10．C
【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．
【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過(guò)齊次化處理，可以避開(kāi)了這一討論．
11．A
【分析】利用余弦定理求出，并進(jìn)一步判斷，由正弦定理可得，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；
【詳解】，，
，
，
，，
，
，
故選：A.
12．B
【詳解】分析：由公式可得結(jié)果.
詳解：
故選B.
點(diǎn)睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.
13．C
【詳解】分析:將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可
詳解：由已知得
的最小正周期
故選C.
點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和最小正周期公式，屬于中檔題
14．B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，將解析式化簡(jiǎn)為，之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)題意有，
所以函數(shù)的最小正周期為，
且最大值為，故選B.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)化簡(jiǎn)三角函數(shù)解析式，并且通過(guò)余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過(guò)程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡(jiǎn)結(jié)果.
15．B
【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得，從而得到，再結(jié)合，從而得到，從而確定選項(xiàng).
【詳解】由三點(diǎn)共線(xiàn)，從而得到，
因?yàn)椋?br>解得，即，
所以，故選B.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)角的終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差值的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共線(xiàn)的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，余弦的倍角公式，余弦函數(shù)的定義式，根據(jù)題中的條件，得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果.
16．B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．
【詳解】，．
，又，，又，，故選B．
【點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負(fù)，運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問(wèn)題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺(jué)．
17．AC
【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線(xiàn)切點(diǎn)為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線(xiàn)的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類(lèi)討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線(xiàn)的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線(xiàn)切點(diǎn)為B，
所以，因?yàn)?，所以在雙曲線(xiàn)的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線(xiàn)的兩支，因?yàn)椋栽陔p曲線(xiàn)的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線(xiàn)的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線(xiàn)
，
過(guò)且與圓相切的一條直線(xiàn)為，
兩交點(diǎn)都在左支,，
，
則，
特值雙曲線(xiàn)，
過(guò)且與圓相切的一條直線(xiàn)為，
兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線(xiàn)切點(diǎn)為，
若分別在左右支，
因?yàn)?，且，所以在雙曲線(xiàn)的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線(xiàn)的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
18．AC
【分析】A、B寫(xiě)出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷正誤.
【詳解】A：，，所以，，故，正確；
B：，，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；
C：由題意得：，，正確；
D：由題意得：，
，故一般來(lái)說(shuō)故錯(cuò)誤；
故選：AC
19．
【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來(lái)再求．
【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理
∵，∴，即，
即，令，，
則，∴，即，
∴ ，
則.
故答案為：；.
[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程
∵，∴，即，
又，將代入得，解得，
則.
故答案為：；.
20．（均可）
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得，即可解出.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得，故可取.
故答案為：（均可）.
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應(yīng)用，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
21．
【分析】方法一：利用兩角差的正切公式展開(kāi)，解方程可得.
【詳解】［方法一］：直接使用兩角差的正切公式展開(kāi)
因?yàn)椋?，解之得?br>故答案為：．
［方法二］：整體思想＋兩角和的正切公式
．
故答案為：．
［方法三］：換元法＋兩角和的正切公式
令，則，且．
．
故答案為：．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接利用兩角差的正切公式展開(kāi)，解方程，思路直接；
方法二：利用整體思想利用兩角和的正切公式求出；
方法三：通過(guò)換元法結(jié)合兩角和的正切公式求出，是給值求值問(wèn)題的常用解決方式．
22．
【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出．
【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】
兩式兩邊平方相加得，．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，兩式兩邊平方相加得，則．
又或，所以．
［方法三］： 誘導(dǎo)公式＋二倍角公式
由，可得，則或．
若，代入得，即．
若，代入得，與題設(shè)矛盾．
綜上所述，．
［方法四］：平方關(guān)系＋誘導(dǎo)公式
由，得．
又，，即，則．從而．
［方法五］：和差化積公式的應(yīng)用
由已知得
，則或．
若，則，即．
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，由，得，又，所以．
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，，得，這與已知矛盾．
若，則．則，得，這與已知矛盾．
綜上所述，．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：結(jié)合兩角和的正弦公式，將兩式兩邊平方相加解出，是該題的最優(yōu)解；
方法二：通過(guò)平方關(guān)系利用方程思想直接求出四個(gè)三角函數(shù)值，進(jìn)而解出；
方法三：利用誘導(dǎo)公式尋求角度之間的關(guān)系，從而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是尋找角度關(guān)系的方式不同；
方法五：將兩式相乘，利用和差化積公式找出角度關(guān)系，再一一驗(yàn)證即可解出，該法稍顯麻煩．
23．.
【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問(wèn)題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.
【詳解】由，
得，
解得，或.
，
當(dāng)時(shí)，上式
當(dāng)時(shí)，上式=
綜上，
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類(lèi)討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；
（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；
（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．
【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，代入得，解得：?br>（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因?yàn)?，所以，故，又?所以，，而，所以，
故．
25．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).
【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周長(zhǎng)為.
26．(1)；
(2)證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；
（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開(kāi)得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．
【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡(jiǎn)得：
，故原等式成立．
27．（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可計(jì)算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.
【詳解】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
28．（1）；（2）.
【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）由輔助角公式得，
則，
所以該函數(shù)的最小正周期;
（2）由題意，
，
由可得，
所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值.
29．（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大??；
（II）方法二：結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.
【詳解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
結(jié)合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵為銳角三角形，∴，
∴，
所以，
又B為的一個(gè)內(nèi)角，故.
[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角
由，結(jié)合正弦定理可得：
為銳角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因?yàn)?，并利用余弦定理整理得?br>即.
結(jié)合，得.
由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?
而為銳角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化簡(jiǎn)得
故的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)
結(jié)合(1)的結(jié)論有：
.
由可得：，，
則，.
即的取值范圍是.
【整體點(diǎn)評(píng)】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得，運(yùn)算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡(jiǎn)，運(yùn)算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡(jiǎn)潔明快，確定為最優(yōu)解.
30．（1）∠A=；（2）AC邊上的高為．
【分析】（1）方法一：先根據(jù)平方關(guān)系求,再根據(jù)正弦定理求，即得；
（2）方法一：利用誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式求，即可解得邊上的高．
【詳解】（1）［方法一］：平方關(guān)系＋正弦定理
在中,∵.由正弦定理得

［方法二］：余弦定理的應(yīng)用
由余弦定理知．因?yàn)?，代入上式可得或（舍）．所以，又，所以?br>（2）［方法一］：兩角和的正弦公式＋銳角三角函數(shù)的定義
在△ABC中，
∵=．
如圖所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，
∴AC邊上的高為．
［方法二］：解直角三角形＋銳角三角函數(shù)的定義
如圖1，由（1）得，則．
作，垂足為E，則，故邊上的高為．
［方法三］:等面積法
由（1）得，易求．如圖1，作，易得，即．所以根據(jù)等積法有，即，
所以邊上的高為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：已知兩邊及一邊對(duì)角，利用正弦定理求出；
方法二：已知兩邊及一邊對(duì)角，先利用余弦定理求出第三邊，再根據(jù)余弦定理求出角；
（2）方法一：利用兩角和的正弦公式求出第三個(gè)角，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出；
方法二：利用初中平面幾何知識(shí)，通過(guò)銳角三角函數(shù)定義解直角三角形求出；
方法三：利用初中平面幾何知識(shí)，通過(guò)等面積法求出．
31．（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【分析】分析：（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得結(jié)果，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后根據(jù)，利用兩角差的余弦公式求結(jié)果.
【詳解】詳解：（Ⅰ）由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，
所以.
（Ⅱ）由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，
由得.
由得，
所以或.
點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的兩種類(lèi)型
(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).
(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.
①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；
②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.
32．（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【分析】（I）將化簡(jiǎn)整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據(jù)，可求的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（Ⅰ），
所以的最小正周期為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因?yàn)?，所?
要使得在上的最大值為，
即在上的最大值為1.
所以，即.
所以的最小值為.
點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準(zhǔn)確性，及公式中符號(hào)的正負(fù).
33．（1）；（2）
【詳解】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果.
詳解：解：（1）因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因此，．
（2）因?yàn)闉殇J角，所以．
又因?yàn)椋裕?br>因此．
因?yàn)?，所以?br>因此，．
點(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問(wèn)題的三個(gè)變換角度
(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.
(2)變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱(chēng)達(dá)到減少函數(shù)種類(lèi)的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.
(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.
34．（1）；（2）.
【分析】(1)由題意結(jié)合余弦定理得到關(guān)于c的方程，解方程可得邊長(zhǎng)c的值；
(2)由題意結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系首先求得的值，然后由誘導(dǎo)公式可得的值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由余弦定理，得，即.
所以.
（2）因?yàn)椋?br>由正弦定理，得，所以.
從而，即，故.
因?yàn)?，所以，從?
因此.
【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.
35．（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；
（2）[方法一]由題意利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和可得，然后結(jié)合輔助角公式可得，據(jù)此由兩角和差正余弦公式可得．
【詳解】（1），
即：，
由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]正弦定理+兩角和差正余弦
由（1）知，，所以由，
得，
整理得，即．
又，所以，即，
則．
[方法二]正弦定理+方程思想
由，得，
代入，
得，
整理得，則．
由，得，
所以．
[方法三]余弦定理
令．由，得．
將代入中，可得，
即，解得或（舍去）．
所以，
從而．
[方法四]攝影定理
因?yàn)?，所以?br>由射影定理得，
所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：首先由正弦定理邊化角，然后由兩角和差正余弦公式求解的值；
方法二：首先由正弦定理邊化角，然后結(jié)合題意列方程，求解方程可得的值；
方法三：利用余弦定理求得的值，然后結(jié)合正弦定理可得的值；
方法四：利用攝影定理求得的值，然后由兩角和差正余弦公式求解的值；
【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.
36．(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.
(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來(lái)計(jì)算的定義域，最后求解的值域.
【詳解】(1)
[方法一]【最優(yōu)解：利用三角形內(nèi)角和為結(jié)合正弦定理求角度】
由三角形的內(nèi)角和定理得，
此時(shí)就變?yōu)椋?br>由誘導(dǎo)公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此時(shí)就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
兩邊平方得，即．
又，即，所以，
進(jìn)一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和為求得的比例關(guān)系】
根據(jù)題意，由正弦定理得，
因?yàn)椋剩?br>消去得．
，，因?yàn)楣驶蛘撸?br>而根據(jù)題意，故不成立，所以，
又因?yàn)椋氲?，所?
(2)
[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】
因?yàn)槭卿J角三角形，又，所以，
則．
因?yàn)?，所以，則，
從而，故面積的取值范圍是．
[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】
由題設(shè)及（1）知的面積．
因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面積的取值范圍是．
[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】
如圖1，在中，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為，作與交于點(diǎn)．
由題設(shè)及（1）知的面積，因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以點(diǎn)C位于在線(xiàn)段上且不含端點(diǎn)，從而，
即，即，所以，
故面積的取值范圍是．
【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，與三角形內(nèi)角和相結(jié)合是常用的方法；
方法二：方程思想是解題的關(guān)鍵，解三角形的問(wèn)題可以利用余弦值確定角度值；
方法三：由正弦定理結(jié)合角度關(guān)系可得內(nèi)角的比例關(guān)系，從而確定角的大小.
(2)方法一：由題意結(jié)合角度的范圍求解面積的范圍是常規(guī)的做法；
方法二：將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的問(wèn)題，然后求解邊長(zhǎng)的范圍可得面積的范圍；
方法三：極限思想和數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)了思維的靈活性，要求學(xué)生對(duì)幾何有深刻的認(rèn)識(shí)和靈活的應(yīng)用.
37．(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】(Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；
(Ⅱ)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.
【詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.
(Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，
結(jié)合正弦定理可得：，
很明顯角C為銳角，故，
故.
【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
38．(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.
【詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因?yàn)椋玫剑?
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
從而，.
故.
【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查計(jì)算求解能力.
39． 1
【分析】先代入零點(diǎn)，求得A的值，再將函數(shù)化簡(jiǎn)為，代入自變量，計(jì)算即可.
【詳解】∵，∴
∴
故答案為：1，

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